精品解析：吉林四平市第三中学校等校2025-2026学年下学期综合试九年级数学试题

九年级综合测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，掌握定义是解题的关键； 根据主视图是从物体正面看，所得到的图图形，即可解答． 【详解】解：从正面观察该几何体，能看到一个长方形，上方有一个半圆与长方形相连，且中间是圆孔，选项B符合． 故选：B． 3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可先设出反比例函数解析式，利用图象上已知点求出函数表达式，再将给定压强代入解析式求出对应木板面积． 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴ ． 4. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 关于直线的对称点是， ∵， ∴． 故选：A． 5. 如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】地毯的长度为的长，利用正切定义求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为（米）． 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，点在边上，，与交于点，若的面积为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平行四边形性质得到对边平行且相等，证明与相似，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 8. 随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握增长率模型是解题关键．设增长率为，根据“第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次”可列方程． 【详解】解：设增长率为， 根据题意，得， 故答案为：． 9. 如图，在中，．若，，则_________． 【答案】12 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据等腰三角形性质得到，，根据，得到，根据勾股定理得，即可得到答案. 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 11. 如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，再根据证明，根据全等三角形的性质得到，从而得到矩形是正方形，再求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先提取公因式，移项，再提取公因式，用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， 提取公因式，得：， 移项，得：， 提取公因式，得：， 解得：，． 13. 如图，，且，试说明． 【答案】 证明：∵， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明得到，从而可证明，即可得出结论． 【详解】略． 14. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 15. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． （1）四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形及列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图， （1）根据中心对称图形的概念求解； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人购买到同一幅作品的概率． 【小问1详解】 解：在四幅山西刺绣作品中是中心对称的图形有②③④共3个． 故答案为：3； 【小问2详解】 解：将依次编号为， 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种可能性，其中两人购买到同一幅作品的可能性有3种， 故两人购买到同一幅作品的概率为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点在反比例函数的图象上，连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． （1）把点代入反比例函数解析式中，求得n的值，即可求得反比例函数解析式； （2）求得点A、B、D的坐标，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知：点在直线上， 将代入中，得：． 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得：， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令，则， 点的坐标为，即， 令，则，解得， 点的坐标为，即， 点在反比例函数的图象上， ，解得， ． 17. 已知是的直径，点是延长线上一点，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为点，的半径为8，求的长． 【答案】（1） 、证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理得，，再根据等边对等角得，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论； （2）先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径，，垂足为M，的半径是8， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 18. 如图是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； （2）在图②中，线段上找一点，使． 【答案】（1） 以为直角顶点，在网格中取点，使，，连接，得到的即为所求，如图①； （2） 点为一个锐角顶点，构造一个直角三角形，使得对边：邻边，连接这一点与点，交于点，如图②； 【解析】 【分析】（1）根据，相似比为，确定直角顶点和对应边，直角边按比例扩大倍，再连接两锐角顶点形成斜边即可． （2）根据，利用网格格点构造这样的直角三角形，另一个锐角顶点和点的连线与的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿方向运动，到点停止运动，当点与、两点不重合时，过点作交于点，过点作于点，以为一边作，另一边交射线于点，连接．设点的运动时间为，与重叠部分的面积为． （1）_________； （2）当点与点重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正切值的定义列式求解即可； （2）易知，且，由，可得，再由，可得，即可求得答案； （3）分两种情况：当时，此时点在边上，重叠部分即；当时，此时点在边的延长线上，重叠部分为， 易证明，进而得到，， 进而表示出； 最后根据三角形面积公式表示出两种情况下关于的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ； 【小问2详解】 解：当点与点重合时，如图， 由题意得：，且， ，， ， ， 四边形是矩形， 在中， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，即， ， ， ， ， ，即， 解得； 【小问3详解】 解：由题意得：，且， ， 由（2）得：， 当时，如图，此时点在边上，重叠部分即， ； 当时，点在边的延长线上，如图，设交于点，重叠部分为， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且，，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，关于的函数解析式为． 21. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，当时，求点的坐标； （3）若点是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC、PB，求面积的最大值及此时点的坐标； （4）若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连接HM、QM，以HM、QM为边构造矩形HMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可； （2）根据平行可知点的纵坐标为，再代入抛物线解方程即可； （3）过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可． （4）当点H、M重合时，则，确定，①当点M在点H的下方时和②当点M在点H的上方时，两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴，， ∵B、C在上， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：，， 点的纵坐标为， 令，即，整理得， 解得或， ； 【小问3详解】 解：过点P作轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． 【小问4详解】 解：当点H、M重合时， 则， ∴ ①当点M在点H的下方时，如图 即， 由题意得：， 当点H、N达到对称轴两侧对称的位置时，则， 则当时，矩形内没有函数y的图象， 当时，矩形区域内的函数y随x的增大而减小， 即． ②当点M在点H的上方时，如图 即或， 当时，，即，则此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当，则此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象， 则， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在平行四边形中，点在边上，，与交于点，若的面积为，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 8. 随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 9. 如图，在中，．若，，则_________． 10. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 11. 如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解下列方程：． 13. 如图，，且，试说明． 14. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求自变量的取值范围． 15. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． （1）四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点在反比例函数的图象上，连接，，求四边形的面积． 17. 已知是的直径，点是延长线上一点，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为点，的半径为8，求的长． 18. 如图是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； （2）在图②中，线段上找一点，使． 19. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 20. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿方向运动，到点停止运动，当点与、两点不重合时，过点作交于点，过点作于点，以为一边作，另一边交射线于点，连接．设点的运动时间为，与重叠部分的面积为． （1）_________； （2）当点与点重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 21. 【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，当时，求点的坐标； （3）若点是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC、PB，求面积的最大值及此时点的坐标； （4）若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连接HM、QM，以HM、QM为边构造矩形HMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $