专题04 特殊的平行四边形(期末复习课件，5知识9重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

这是一份初中数学八年级下学期期末复习课件，聚焦特殊平行四边形专题，构建“学情分析-必备知识-重难点题型-分层验收”学习支架，涵盖矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定及折叠、中点四边形等9类题型，配套典例与变式训练。 资料特色突出核心素养，通过考情规律提炼高频考点与易错点，如矩形折叠用勾股定理列方程，中点四边形结合中位线定理推导形状，培养几何直观与推理能力。分层题型设计适配不同水平学生，助力教师精准教学，帮助学生夯实基础、突破难点，提升期末复习效率。

专题04 特殊的平行四边形 八年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 复习目标 考情规律 矩形 基础：掌握定义、性质、判定及边角、对角线计算公式； 能力：解决矩形折叠、角度边长计算、基础证明； 素养：结合勾股定理、全等完成综合基础题型 高频考查对角线、角度计算，折叠模型为固定考点； 易错点：直接用“对角线相等的四边形是矩形”（缺少平行四边形前提） 菱形 基础：熟记菱形专属性质、面积公式、判定方法； 能力：熟练完成对角线、边长、面积互算，掌握中档证明； 素养：结合勾股定理解决菱形几何综合计算题 核心考查对角线与面积、边长的换算，常结合直角三角形出题； 易错点：计算菱形面积遗漏；混淆矩形、菱形对角线性质 3 核心考点 复习目标 考情规律 正方形 基础：掌握正方形兼具矩形、菱形的全部性质与判定； 能力：独立完成正方形综合证明、几何探究题； 素养：运用分类讨论、数形结合思想，突破动点、旋转、坐标系压轴题 期末区分度核心，常结合全等、旋转、动点、折叠综合考查； 易错点：判定条件冗余或不足，忽略平行四边形基础前提 综合题型 综合素养：掌握特殊平行四边形递进判定逻辑，熟练解决图形转化、最值、存在性问题。 基础题考概念计算，中档题考规范证明，压轴题考正方形综合探究。 4 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 矩形 知识点01 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 核心性质 边：对边平行且相等，邻边互相垂直； 角：四个角均为90°，内角和360°； 对角线：互相平分且长度相等， 数学表达式：，； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 矩形 知识点01 3. 判定定理 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形； 角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 重要推论（必考）：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。数学表达式：Rt△中，若CD为斜边AB中线，则。（矩形性质衍生核心考点，选择、填空高频必考） 菱形 知识点02 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 核心性质 边：对边平行，四条边长度全部相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 3. 判定定理 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 4. 面积公式：①常规公式：底×高； ②专属公式：（为两条对角线长度）。 菱形 知识点02 正方形 知识点03 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 核心性质（兼具矩形、菱形所有性质） 边：四条边相等，对边平行，邻边垂直； 角：四个角均为90°； 对角线：垂直、平分、相等，且平分一组对角，对角线与边夹角恒为； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴）。 3. 常用判定方法 矩形基础：有一组邻边相等的矩形是正方形； 菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； 平行四边形基础：邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形； 对角线法：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。 特殊平行四边形核心要点 知识点04 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 四个角都是直角； 2. 对角线相等且互相平分； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形； 3. 三个角是直角的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调平行四边形前提；矩形不一定有对角线垂直的性质。 菱形 1. 四条边都相等； 2. 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 面积=对角线乘积÷2 1. 有一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形； 3. 四条边都相等的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调平行四边形前提；菱形不一定有对角线相等的性质。 特殊平行四边形核心要点 知识点04 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质（四条边相等、四个角为直角）； 2. 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（4条对称轴）； 4. 面积=边长²=对角线乘积÷2。 1. 有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线相等且垂直的平行四边形； 3. 有一组邻边相等的矩形（或有一个角是直角的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免遗漏条件；正方形是特殊的矩形和菱形。 期末速记口诀（考前背诵） 知识点05 1. 矩形：直角平行四边，对角相等线等，三角直角亦可判，斜边中线记一半； 2. 菱形：邻边相等平行四边，四边相等线垂，对角线平分对角，面积对线积一半； 3. 正方形：直角邻等平行四边，兼具矩菱所有性，垂直相等对角线，四边四角皆均等。 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 判定辨析：牢记“从属关系”——平行四边形→矩形（加一个直角/对角线相等）、平行四边形→菱形（加一组邻边相等/对角线垂直）、矩形+菱形→正方形，明确三者的异同点； 2. 命题判断：举反例排除错误命题（如“对角线相等的四边形是矩形”，反例：等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； 3. 条件补充：结合判定方法，补充最简便的条件（如“平行四边形ABCD，补充______，使它成为菱形”，可补充“AB=AD”或“AC⊥BD”）。 【典例1-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻角互补的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角为直角的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A、四边形中相邻两角互补只能推出一组对边平行，但无法保证另一组对边平行，因此不一定是平行四边形（例如梯形），故选项A不正确； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B正确； C、有一个角为直角的平行四边形是矩形，故选项C正确； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项D正确； 故选：A． A 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 题型一 【典例1-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点E、D、F分别在、、上，，．下列四个判断中，正确的是（   ） A．如果，那么四边形是正方形 B．如果，那么四边形是正方形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：∵，． 四边形是平行四边形， 如果，那么平行四边形是矩形，无法判定是正方形， 故选项A不正确，不符合题意；选项C正确，符合题意； 如果，那么平行四边形是菱形，无法判定是正方形，也无法判定是矩形， 故选项B，D均不正确，不符合题意． 故选：C． C 【典例1-3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）经过一段时间的学习，小琦发现数学知识之间是有许多内在逻辑联系的，因此在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． C 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 【答案】C 【详解】解：依题意，对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：C C 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中，，则，， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． C 【答案】B 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意；故答案为：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． B 【变式1-4】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴是等腰三角形， ∵点为的中点，∴，即，∴四边形是矩形，故选项A正确；当时，则，∴，若四边形是矩形，则，∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误；当时，∵点为的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，故选项C正确；∵，，∴，∴，当时，则，∵，∴，∴，∴，∵点为的中点， ∴，∴，∴四边形是菱形，故选项D正确．故选：B． B 中点四边形（基础+中档，易错） 题型二 解｜题｜技｜巧 中点四边形解题统一遵循“三步法”，适配期中证明题、计算题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏： 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线核心，必做！），标注对角线的特征（相等/垂直/既相等又垂直）； 第二步：根据三角形中位线定理，推导中点四边形的两组对边分别平行且等于对应对角线的一半，证明中点四边形是平行四边形； 第三步：结合原四边形对角线的特殊特征（相等/垂直），推导中点四边形的边或角的特殊关系，进而判定中点四边形的具体形状（矩形/菱形/正方形）。 中点四边形（基础+中档，易错） 题型二 【典例2-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图： ∵、、、分别是、、、的中点， ∴分别为的中位线， ，，∴四边形为平行四边形， 当时， ，平行四边形为菱形， 故选：A． A 【典例2-2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【答案】B 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理和三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线定理证明，即可证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：∵分别为中点，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，同理可得：，∴当时，， ∴四边形菱形，故B符合题意，A、C、D均不符合题意，故选：B． B 【典例2-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【详解】解：如下图所示，连接、， 点，为，的中点，是的中位线， ，，点，为，的中点， ，，，， 同理可证，，， ，四边形为菱形． 故选：A． A 【变式2-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）我们知道：一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，那么顺次连接某个筝形各边中点得到的图形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都有可能 【答案】B 【详解】如图所示，点E，F，G，H分别是，，，的中点， 连接，，，，∵，，∴垂直平分，∴， ；∵点E，F，G，H分别是，，，的中点∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形； ∵，，∴；∵点E，H分别是，的中点， ∴，∴，∴四边形是矩形．故选：B． B 【变式2-2】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意；     C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意；故选：B． B 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】 D 【详解】解：∵在四边形中，，，，依次是，，，的中点， ∴，∴，， ∴四边形是平行四边形，故①正确；当时，则：，∴四边形是菱形；故②正确；当时，则：，∴，∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，，∴四边形是正方形；故④正确； 故选D D 性质基础计算（选择、填空必考） 题型三 解｜题｜技｜巧 1.矩形：利用对角线相等构造等腰三角形，出现60°夹角可直接得等边三角形； 2.菱形：对角线垂直，结合勾股定理求边长、线段长度； 3.正方形：利用45°角、对角线与边长的固定比例快速计算。 30 【典例3-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． D 性质基础计算（选择、填空必考） 题型三 【典例3-2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：B． B 【典例3-3】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（ ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，∴ ∴， ∵四边形为平行四边形，∴． 故选：C． C 【变式3-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． A 【变式3-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 12 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 该正方形的对角线长为． 40 几何判定证明题型（大题高频） 题型四 解｜题｜技｜巧 先证平行四边形（核心基础）→ 补充专属条件 → 判定特殊图形 1. 证矩形：平行四边形+一个直角/对角线相等；三个直角的四边形 2. 证菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直；四边相等的四边形 3. 证正方形：先证矩形+邻边相等；先证菱形+一个直角 【典例4-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：连接，∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点，∴， ∴ ∵，∴， ∴四边形是菱形； 【典例4-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． （2）四边形是矩形， 证明：设交于点，如图， 设∵四边形是正方形，∴ ∴∴正方形的面积是， 在中，，点D是的中点，∴∴的面积为，∵正方形与面积相等，∴， 解得，∴，∴∵， ∴，∴四边形都是矩形，∴，∴四边形是矩形． 【典例4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， 在与中，. ，， ∴四边形是平行四边形，∵， ∴四边形是矩形； 【典例4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． （2）证明：∵四边形是矩形， ，， 在与中，， ，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，，∴四边形是菱形． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形， ，，∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ，∴四边形是正方形，，又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 90 【变式4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．过F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)在八下，我们会学习菱形．菱形的判定定理有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．当时，利用以上判定定理证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ； 【变式4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．过F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)在八下，我们会学习菱形．菱形的判定定理有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．当时，利用以上判定定理证明四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接，交于点O，由（1）得，，， ，，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ，即为等腰三角形， ， ，即， 四边形是菱形， 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． （2）解：平分，． 在和中，，． ∵四边形是正方形，．∵， ，，， ．，，． 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称变换→对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线；通用方法：设未知数+勾股定理列方程求解。 折叠几何题型（期末重难点、易错题） 题型五 【典例5-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则，∵正方形，∴，，∴四边形是矩形，∴，由折叠可知，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵ ∴，设正方形边长为，则， ∵， ∴，在中，，即解得：或（不合题意舍去） ∴．故选：D D 折叠几何题型（期末重难点、易错题） 题型五 【典例5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸片先沿折叠，点A，B分别落在点、处，将得到的图形再沿折叠，点、分别落在点、处．若，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，∴， 设，∵， ∴，由沿折叠可知：， ∴，由沿折叠可知：，∵，∴， ∴，解得：，∴， ∴． 故答案为：． 115° 【典例5-3】（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【详解】（1）四边形为正方形． （2）①四边形为平行四边形． ② 的长为或． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，． 如图，过点E作于点H，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴．由折叠得，， ∴，又∵，∴，∴≌，∴．∵，∴． 设，则，在中，根据勾股定理，得，∴，解得，∴，故答案为；． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形，， ，． 由折叠的性质，得，．点的坐标为，点的坐标为，， ，．在中，， ，解得，，．在中，， ，解得， ，点的坐标为 ．故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E， 求的面积． （2）解：∵四边形是长方形，∴，, 由折叠可得，，，，∴，，设，则，在中，，即，解得，∴的长为． （3）解：由折叠可得，∵四边形是长方形，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，，即，解得，即，∴， ∴的面积为． 多结论判断题型（选择压轴高频） 题型六 解｜题｜技｜巧 逐项推导验证，利用特殊图形性质、全等三角形、等腰三角形性质推理，用反例排除错误结论。 正方形中，对角线平分对角，常出现45°角、等腰直角三角形； 菱形中，对角线平分一组对角，可证角相等、三角形全等； 矩形中，对角线相等，多等腰三角形结构。 【典例6-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ D 【典例6-2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如图，由题意可知，，， ，在和中，. ∴，故①正确；∵正方形边长是12， ，设，则，， 由勾股定理得：，即：， 解得：，，，，故②正确； ，故③错误；， ，，， ，，故④正确；∴①②④正确，故选：B． B 【典例6-3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，边长为1的正方形中，点E、F分别在上，交于点M，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ D 【变式6-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ A 【变式6-2】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解：正确的结论是①②③⑤，共4个．故选B． B 解｜题｜技｜巧 菱形：牢记面积 = 对角线乘积的一半，也可用 “底 × 高”； 矩形 / 正方形：常规面积公式，常结合割补法、折叠求阴影面积； 最值：利用 “垂线段最短” 求线段最小长度，进而求面积最值。 面积相关计算与最值 题型七 【答案】A 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形，∴，又， ∴，∴，∵， ∴,∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形，∴菱形的面积， ∴阴影部分面积，故选：A． 【典例7-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． A 62 【典例7-2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：设矩形的面积为S， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为 ， 故答案为：． 【典例7-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接 (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称，∴，，， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴四边形为菱形； （2） ①菱形的边长为； ②菱形的面积范围为，即最大值为36． 【变式7-1】（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，的面积记为；当时，的面积记为；．．．；以此类推，当时，的面积记为，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：连接，正方形和正方形， ，，， 和是同底等高的三角形，即， 当时，， ． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形，∴且、互相平分，平分， ∴，∵垂线段最短，∴， 即的最小值为线段的长度，∵，， ∴，，∴， ∴，∴菱形的面积为：， ∴，∴，∴的最小值． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图一菱形的面积与矩形的面积之比为 . (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【详解】（2）解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为 半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接 M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为 所求： （3）解：方法一：在矩形中，，，∴ ，由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为，∴菱形的面积为；方法二：设菱形边长为x，即，∵，，∴，在中，，即，解得， ∴菱形边长为10，∴菱形的面积为； 方法三：由方法二可知，同理可得菱形边长为10，∴菱形的面积为；∵，∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 解｜题｜技｜巧 ①用含t的代数式表示动点线段长度；②根据图形判定条件列等量关系；③解方程求解；④验证点的位置是否符合题意（分类讨论）。 核心判定条件： 平行四边形：对边相等； 矩形：对角线相等/有一个直角； 菱形：邻边相等/对角线垂直。 动点存在性压轴题型（期末满分难点） 题型八 【典例8-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 动点存在性压轴题型（期末满分难点） 题型八 解：（1）． （2）①, ②t的值为1或3 【典例8-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 5 解：（2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分，∴，∵，∴； （3）的长为或； （4）的值为或． 【典例8-3】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 解：（1）； （2） （3）最小值为 【变式8-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 解：（1）证明：； （2）证明； （3） 【变式8-2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【变式8-3】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． （1）①解： 的解析式为， 点. ②证明：四边形为菱形 （2） ①解： ②解：此时的值为： 【典例9-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，∴， 由勾股定理得； （2）证明：如图，连接，∵四边形为正方形，∴，又∵，∴，∴，∵，， ∴，∴四边形为矩形，∴，∴； （3）解：由（2）得，，当时，的值最小，即的值最小， ∵四边形为正方形，∴，∴为等腰直角三角形， ∴此时，，即的最小值为． 正方形综合题（全章最难，解答压轴） 题型九 【典例9-2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴． ∵正方形，∴， ∴，∵， ∴，∴． （2）解：线段的长度为． （3）解：的最小值为 【典例9-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： (1)甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； (2)乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． （1）解：①是等边三角形 ② （2） 【变式9-1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． （3）解，直线与的夹角度数为60° （4）解：线段的最小值为 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 解：（2） （3）． 【变式9-3】（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是 ． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 解：（1）②证明：； （2） （3）线段的长度为或． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） B 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，， ， ，∴， ∴为等腰直角三角形，∵为的角平分线， ∴是斜边上的中线，∴． 故选：B． B 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 【答案】24 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴，∴该菱形的面积是 故答案为：24． 24 5．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，又四边形是平行四边形，四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，，，，， 是等边三角形，，，在 中，由勾股定理得：，由（1）得：四边形是矩形，，，在 中，由勾股定理得：． 【详解】（1）解：如图，垂直平分线，点即为所作； （2）解：如图，与的交点为，∵垂直平分，∴， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴四边形为菱形， 设，则，由勾股定理得，， 即，解得：，∵， ∴菱形的周长为15． 6．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F （在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，，在中设，则， ，即，解得：， ， 故选：B． B 【答案】B 【详解】解：如图所示：三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． B 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 【答案】． 【详解】解：如图，交轴于，∵四边形是菱形， ∴，∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴，∴点的坐标为； 故答案为：． . 【答案】 【详解】解：如图，连接，，矩形中，，，，∵点和点关于直线对称，∴，，，∵，∴， 设，则，由勾股定理可得，， ∴，解得，∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处， ∴，∴， ∴，故答案为：． 4．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，点和点关于直线对称，点和点关于直线对称，恰好点、、在一条线上，连接，则___________． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形，， 设，则，在中， ，，解得，； （2）解：四边形是长方形，，由折叠的性质得， 又，，在和中， ，，设，则， 在中，，，解得，， ，． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中，∴， ∴，，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴； 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． （2）解：， 理由如下：如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形，∴，， 在和中，∴， ∴，，∵四边形为正方形，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中， ∴，∴， ∵，∴． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $