专题04 二元一次方程组的重难点题型汇编（七大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题04 二元一次方程组的重难点题型汇编 【题型1 二元一次方程的解】................................................................................................1 【题型2 解二元一次方程组-消元法】...................................................................................3 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】.............................................................................8 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】......................................................................16 【题型5 相同的解】.............................................................................................................19 【题型6 错解】.......................................................................................................................22 【题型7 二元一次方程组新定义问题】.................................................................................27 【题型1 二元一次方程的解】 1．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 【答案】A 【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数． 【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数． 根据总费用为元，可列方程：， 将方程变形为用表示的形式：． 因为为正整数，所以必须是正偶数： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案． 2．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】设出两种导线的根数，根据总长度列出方程，结合x，y为正整数的条件找出所有符合的解即可． 【详解】解：设的导线有根，的导线有根，均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是正偶数，即为正偶数，且，得， 的可取的值为，共4个不同值，对应4种不同的截取方案． 3．若是二元一次方程的解，则满足条件的一组m、n的值可以是___________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．将给定的解代入二元一次方程，得到关于 m 和 n 的方程，再选取一组满足该方程的值，即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 当时，， 即满足条件的一组 m、n 的值可以是，． 故答案为：，（答案不唯一） 4．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 5．若是二元一次方程的一个解，则的值等于__________． 【答案】 6 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2 解二元一次方程组-消元法】 6．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好二元一次方程组的解法是关键． （1）使用加减消元法解方程即可； （2）使用加减消元法解方程即可； 【详解】（1）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 7．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 8．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组的特点，灵活选用代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． （1）方程组中第一个方程已经用含的代数式表示出，适合用代入消元法，将①代入②消去，先求出的值，再求 的值； （2）先将第二个方程去分母化简，再用加减消元法，将两个方程相减消去，先求出的值，再求的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 9．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】（1）解：， 由①得 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得 ， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 10．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的基本方法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 11．解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． （2）解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 12．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 13．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【答案】(1) (2)两人共需要付元 【分析】（1）根据材料提示，设，，解关于的二元一次方程组，求出的值，再代入，，即可求解； （2）根据题意中的数量关系列方程组，再运用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份，位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元， ∴， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴， ∴（元）， ∴两人共需要付元． 【点睛】本题主要考查换元法解复杂的二元一次方程组，理解题目中换元法，掌握解方程的计算方法是解题的关键． 14．【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用“换元法”解二元一次方程组． （1）设，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，求出方程组的解，进一步求解即可； （2）令，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，进一步求解即可． 【详解】解：（1）设， 则方程组变为：， ∵的解是， 解得， 解得； （2）整理方程组得， 令， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得． 15．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【答案】(1)，；1，3 (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答． （2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3． （2）解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得， 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 16．阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可变形为二元一次方程组，求得二元一次方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组， 解这个方程组得到它的解为． 由，得， 由，得， 经检验，，是原方程的解， ∴原方程组的解为． 17．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：设，则方程化为：， 即， 解得； （3）解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 18．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组中两方程相减求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 19．若方程组的解中，则k等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用后整理可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除以5可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 20．已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 21．已知方程组的解满足，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．掌握加减消元法是解题的关键．把方程组中两个方程相减即可得到，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 22．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 将代入，得：， ∴． 故选：A． 23．若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，解二元一次方程组得出，结合题意可得，求解即可． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：A    ． 24．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 【题型5 相同的解】 25．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 26．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可． 【详解】解：解方程组，解得， 将代入方程组，得， 解这个方程组得，， ， 故选：C． 27．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 28．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（    ） A．1 B．﹣1 C．0 D．2021 【答案】B 【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求． 【详解】解：联立得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 29．若二元一次方程，和有公共解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元一次方程3x−y−7＝0，2x＋3y−1＝0求得x，y的值，将其代入方程2x＋y−m＝0，可求得m的值． 【详解】解：解 ①×3＋②，得x＝2， 代入①，得y＝−1， 把x＝2，y＝−1代入方程2x＋y−m＝0， 得2×2−1−m＝0， m＝3． 故选：C． 【点睛】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答． 【题型6 错解】 30．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 31．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 32．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 33．甲、乙两位同学在解关于的方程组（为常数）时，都出错了，甲同学看错了方程①中的得到方程组的解为乙同学看错了方程②中的得到方程组的解为求的值． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组错解复原问题，把代入，得．把代入，得，将a，b的值代入原方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，把代入，得，解得． 把代入，得，解得， 所以原方程组为，解得，所以． 34．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 35．甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 36．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 【题型7 二元一次方程组新定义问题】 37．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 38．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 39．新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 40．定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； （2）由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 41．对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ． (1)求与的值（用含a，b的代数式表示）； (2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值． 【答案】(1) ， ； (2)5 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）∵， ∴， 得： ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组的重难点题型汇编 【题型1 二元一次方程的解】................................................................................................1 【题型2 解二元一次方程组-消元法】....................................................................................2 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】.............................................................................3 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】......................................................................6 【题型5 相同的解】...............................................................................................................7 【题型6 错解】.........................................................................................................................7 【题型7 二元一次方程组新定义问题】.................................................................................10 【题型1 二元一次方程的解】 1．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 2．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3．若是二元一次方程的解，则满足条件的一组m、n的值可以是___________． 4．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 5．若是二元一次方程的一个解，则的值等于__________． 【题型2 解二元一次方程组-消元法】 6．解方程组： (1)； (2)． 7．解方程组： (1) (2) 8．解下列方程组： (1) (2) 9．解下列方程组 (1) (2) 10．解方程组： (1) (2) 11．解二元一次方程组 (1) (2) 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 12．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 13．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 14．【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 15．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 16．阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：． 17．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 18．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 19．若方程组的解中，则k等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 20．已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 21．已知方程组的解满足，则k的值是（   ） A． B． C． D． 22．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D．1 23．若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 24．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【题型5 相同的解] 25．若方程组和同解，则a的值是（   ） 26．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 27．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（    ） A．1 B．﹣1 C．0 D．2021 29．若二元一次方程，和有公共解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 错解】 30．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 31．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 32．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 33．甲、乙两位同学在解关于的方程组（为常数）时，都出错了，甲同学看错了方程①中的得到方程组的解为乙同学看错了方程②中的得到方程组的解为求的值． 34．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 35．甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 36．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【题型7 二元一次方程组新定义问题】 37．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 38．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 39．新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 40．定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 41．对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ． (1)求与的值（用含a，b的代数式表示）； (2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $