专题03 相交线与平行线常考解答题汇编（六大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题03 相交线与平行线常考解答题汇编 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】.............................................................................1 【题型2：平行线判定的填补题】..........................................................................................3 【题型3：平行线的性质与判定综合】..................................................................................5 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】..............................................................................7 【题型5：平行线与三角板综合】..........................................................................................12 【题型6：平行线与动点问题】..............................................................................................16 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】 1．如图所示，，，平分，求的度数． 2．如图所示，点A、O、B在同一直线上，． (1)如图1，若，则图中的余角有______． (2)如图2，若平分，且，求的度数． 3．如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 5．如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 【题型2：平行线判定的填补题】 1．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 2．完成下面的推理填空： 如图，于点，于点，且，试说明：． 解：（已知）， （___________）， ___________（___________）， ___________（___________）． 又（已知）， ___________（___________）， （___________） 3．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 4．如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 5．按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明： 解：（已知）， _______（_______）． ． （已知）， _______=_______（_______） （_______） 6．如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，，求证：．（请将下面的证明过程补充完整）   证明：（_______）， _______（垂直的定义）， 即． 又（已知）， _______（_______）， （_______）． 【题型3：平行线的性质与判定综合】 1．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 2．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 3．如图，，平分，平分 ． (1)证明：； (2)若，求的度数． 4．如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】 1．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 2．如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若 ，请直接写出的度数． 3．如图1，M为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 4．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 5．【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 6．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 7.如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 8．如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 【题型5：平行线与三角板综合】 1．如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 2．在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，，请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 (1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，______． 【自主探究】 (2)如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【探究拓展】 (3)将一副三角板如图4所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 3．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．    (1)三角板的位置如图1 ①若，则的度数是________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，探究等于多少度时使得，并说明理由． 4．已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．    (1)如图1，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为________； (2)将含角的直角三角板如图2所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由； (3)将一副直角三角板按如图3所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数． 5．综合与实践 学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动． (1)第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系． (2)第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线a和b之间，顶点A，C分别落在直线a，b上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论． (3)第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点G，若，求的度数． 6．综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】（1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】（2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚和小红两位同学的解题思路： 小刚：过点作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题： 小红：连接，再利用平行线性质与三角形内角和等于的知识相结合，就能解决问题． 请你帮助其中一位同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决． 【拓展运用】（3）受小刚和小红的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． 7．一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图1叠放在一起，若固定三角形，改变三角形ACD的位置其中点A位置始终不变，可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，，并说明理由； (2)如图3中，当______时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出的度数及平行的直线． 【题型6：平行线与动点问题】 1．如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 2．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 3．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 4．已知、分别是、上的动点，也是平面内的一动点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：． 5．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 6．如图，射线平行射线，点、分别在射线、射线上，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，且．    (1)求证：． (2)如图1，当点在点A处，点在点左侧，若平分，，，求的度数． (3)如图2，当点在点A上方，点沿射线从左向右运动时（点不与点重合），求、、之间的关系． 7．已知（点在点右侧），点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点D，平分，交直线于点． (1)如图，当点在点右侧时． ①若，则______； ②依题意补全图形，并证明； (2)当点在点左侧时，与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并证明． 8．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 9．如图，已知直线，．是射线上一动点，连接，作，交直线于点，平分交直线于点G．为射线上一点，． (1)若点在点的右侧，求的度数； (2)是否存在一点，使？若存在；请求出的度数；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相交线与平行线常考解答题汇编 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】.............................................................................1 【题型2：平行线判定的填补题】..........................................................................................6 【题型3：平行线的性质与判定综合】..................................................................................11 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】..............................................................................15 【题型5：平行线与三角板综合】..........................................................................................32 【题型6：平行线与动点问题】...............................................................................................50 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】 1．如图所示，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，解题关键在于结合图形和角平分线的定义弄清各角度关系． 由垂直定义得，从而可求出，由角平分线的定义得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图所示，点A、O、B在同一直线上，． (1)如图1，若，则图中的余角有______． (2)如图2，若平分，且，求的度数． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，余角的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据垂线的定义可得，再由余角的定义可得答案； （2）根据平角的定义和角平分线的定义可推出，再由垂线的定义可得，则，再根据已知条件求出度数即可得到答案． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以， 所以图中的余角有和； （2）解：因为A、O、B共线， 所以即 因为平分 所以，即， 因为， 所以，即 所以， 又因为， 所以， 所以． 3．如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义． （1）求得，根据角平分线的定义，可求得，利用即可解答； （2）根据角平分线的定义和角的和差得到，，进而根据等角的余角相等，即可求解． 【详解】（1）解：点O是直线AB上一点，， ． 是的平分线， ． 是直角， ； （2）解：，理由如下： 是的平分线， ． ． 是的平分线， ． 是直角， ． ． 4．如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 5．如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平角、对顶角、补角、角平分线的定义． （1）根据角平分线、补角、平角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据，可设，，结合角平分线和平角的定义列方程求解的值，可得的值，进而根据对顶角相等求得的度数． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 是的补角， ，， 、是的补角， 的补角有，，， 故答案为：，，． （2）解：， 设，， ，， ，解得， ， ． 【题型2：平行线判定的填补题】 1．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 2．完成下面的推理填空： 如图，于点，于点，且，试说明：． 解：（已知）， （___________）， ___________（___________）， ___________（___________）． 又（已知）， ___________（___________）， （___________） 【答案】垂直的定义，，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，，同角的补角相等，内错角相等，两直线平行； 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，根据垂直的定义和平行线的判定和性质解答即可． 【详解】解： （已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行） 3．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 即， ∵（已知）， ∴（等量代换）， 即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 4．如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与运用．由题意可求得，则有，即可判定，由邻补角的定义可得，可得，即可判定． 【详解】证明：∵（ 已 知 ）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴ （等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 5．按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明： 解：（已知）， _______（_______）． ． （已知）， _______=_______（_______） （_______） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据垂直的定义得到，进而，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． ． （已知）， (同角的余角相等) （内错角相等，两直线平行．） 6．如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，，求证：．（请将下面的证明过程补充完整）    证明：（_______）， _______（垂直的定义）， 即． 又（已知）， _______（_______）， （_______）． 【答案】已知；；；；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了垂线定义，余角的性质，平行线的判定，根据垂线定义得出，根据余角性质得出，根据平行线的判定，得出结论即可． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 即， 又∵，（已知） ∴（同角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【题型3：平行线的性质与判定综合】 1．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：； 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ， ． 2．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，，平分，平分 ． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义，结合已知得到，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先求得，再证明，利用平行线的性质求得，再根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分 ； （2）解： ， 平分 ． 4．如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）根据题意，可证，再由内错角相等，两直线平行即可； （2）由，则，又平分，所以，进而得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】 1．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)； (2)与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的性质及“拐点”模型的应用，核心是通过构造平行线将分散的角进行转化，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质解决角度计算问题． （1）过拐点作平行线，通过平行线的性质推导得出，代入的度数即可求解； （2）通过作辅助线平行于和，将相关的角分解为与、相关的角，结合平行线性质求出锐角度数． 【详解】（1）解：如图，过的顶点作直线平行于支撑平台． ∵工作篮底部∥支撑平台，支撑平台， ∴工作篮底部． ∵支撑平台， ∴． ∵工作篮底部， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，过点作， ， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ， ， ． 答：与所成锐角的度数为． 2．如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若 ，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 3．如图1，M为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ． ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      4．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 5．【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 6．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 7.如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，则，由平行线的性质可得，，从而可得，即可得解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可得，，设，，计算得出，由平行线的性质可得，，，由此计算即可得解； （3）设直线与交于点K，与交于点H，由平行线的性质可得，求出，再结合，在内，．得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为； （3）解：如图，设直线与交于点K，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 8．如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2)∠ (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再由平角的定义可得结论； （2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质可推出，据此可得答案； （3）①过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案； ②如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：过A点作， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【题型5：平行线与三角板综合】 1．如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，证明见解析 (3)三角板可以有4种不同的放置位置，图见解析，分别为、、、 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据即可得解； （2）根据，并结合计算即可得解； （3）分四种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：三角板可以有4种不同的放置位置， 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴． 2．在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，，请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 (1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，______． 【自主探究】 (2)如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【探究拓展】 (3)将一副三角板如图4所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)40或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质得到，再结合直角三角板中，求得结果； （2）根据图形，结合角平分线，易得，推出，得到结论； （3）分类讨论当在上方时，和在下方时两种情况下，的度数变化，得到不同的t值． 【详解】（1）解：如图（2），，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 平分，， ， ， 即，， ， ， ， ； （3）解：①如图所示，当在上方时，延长交于T， ， ， ， ， ； ②如图所示，当在下方时，延长交于T， ， ， ， ， ， 综上所述，当旋转到时，t的值是40或． 3．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．    (1)三角板的位置如图1 ①若，则的度数是________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，探究等于多少度时使得，并说明理由． 【答案】(1)①，②，理由见解析 (2)或时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行线的判定和性质定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）①由，得出，即可得出结果； ②由，，即可得出结论； （3）根据，分别画出示意图，由平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴； （2）解：当或时，． 如图， ∵，， ∴， 由（1）②知， ∴； 如图， ∵，， ∴， 由（1）②知， ∴． 4．已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．    (1)如图1，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为________； (2)将含角的直角三角板如图2所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由； (3)将一副直角三角板按如图3所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，从而即可求解； （3）延长交于点，利用平行线的判定与性质可求得，最后再利用进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：130°； （2）解：一定平分， 理由：， ， 平分， ∴． ， ∴， ∴， ∴， 平分； （3）解：如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握平角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 5．综合与实践 学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动． (1)第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系． (2)第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线a和b之间，顶点A，C分别落在直线a，b上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论． (3)第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点G，若，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数，三角板中的相关角度计算，角平分线的有关计算等知识． （1）根据直角三角板可知：，则，再根据平行线的性质可得出． （2）过点B作，根据平行线的性质得出，，则可得出，即． （3）由角平分线的定义可设故设，，由(2)得，，再结合已知条件可得出，再根据(2)可得出． 【详解】（1）解：如下图： 根据题意可知：， ∴， ∵， ∴， 即． （2）如果为任意三角形，则． 证明：过点B作， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 即， 故如果为任意三角形，则． （3）解：∵和分别平分和， 故设，， 由(2)得，， ∵， ∴ ∴， ∴． 6．综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】（1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】（2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚和小红两位同学的解题思路： 小刚：过点作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题： 小红：连接，再利用平行线性质与三角形内角和等于的知识相结合，就能解决问题． 请你帮助其中一位同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决． 【拓展运用】（3）受小刚和小红的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）根据角平分线定义及平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 小刚的方法： 过点B作直线，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 小红的方法： 连接，如图    ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴ （3），理由如下：    如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴， 即． 7．一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图1叠放在一起，若固定三角形，改变三角形ACD的位置其中点A位置始终不变，可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，，并说明理由； (2)如图3中，当______时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出的度数及平行的直线． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等和外角的性质即可得到答案； （2）根据内错角相等两直线平行可得结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得到结论． 本题属于三角形综合题，主要考查了平行线的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1， ，， ， ， ∴； （2）解：当时，，理由如下： ， ， ∴； 故答案为：； （3）解： ①如图4，当时，；理由如下： ∵， ， ∴ 当时，； ②如图5，当时，；理由如下： ∵， ∴， 当时，； ③如图6，当时，；理由如下： ∵ ∴ ∴， 当时，； ④如图7，当时，；理由如下： 连接BC， ∵ ， ， ， ∴， 当时，； ⑤如图8，当时，；理由如下： ∵ ∴， 当时，； ⑥如图9，当时，；理由如下： ∵ ， ∴， 当时，； ⑦如图10，当时，； ∵ 与AD重合， ∴， ∴， 当时，； ⑧如图11，当时，；理由如下： ∵， ∴， 当时， 【题型6：平行线与动点问题】 1．如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，属于常考题型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据平角为证明即可； （2）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵ ∴， ∴； （2）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 2．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)不成立，新的结论为，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用； （1）成立，理由如下：过点P作，利用两直线平行内错角相等得到 ，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过P作，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证； 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为： 过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算； （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解； （2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证； 能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 证明：过作，过作， ， ， ， ， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．已知、分别是、上的动点，也是平面内的一动点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作，    ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 5．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    6．如图，射线平行射线，点、分别在射线、射线上，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，且．    (1)求证：． (2)如图1，当点在点A处，点在点左侧，若平分，，，求的度数． (3)如图2，当点在点A上方，点沿射线从左向右运动时（点不与点重合），求、、之间的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是利用平行线的性质及判定，结合角平分线等知识进行角的推导与关系探究． （1）利用得角的关系，结合，通过同旁内角互补（方法一）或内错角相等（方法二），判定． （2）先由和度数求，再依据角平分线得，结合与求，最后用三角形内角和算；或作，利用平行线传递性及角的传递，结合角平分线求出． （3）作，根据得，利用平行线性质得到角的等量关系，再分点在左侧、右侧（与有交点、无交点）三种情况，推导、、的关系． 【详解】（1）方法一：， ， ， ， ； 方法二：， ， ， ， ； （2）方法一：，， ， 平分， ， ， ， 在中，， 方法二：过点作，   ， ， ，， ，， ， 平分， ， ； （3）过点作， ， 当点在点左侧时   ； 当点在点右侧，且与有交点时   ； 当点在点右侧，且与无交点时   ； 综上：或或． 7．已知（点在点右侧），点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点D，平分，交直线于点． (1)如图，当点在点右侧时． ①若，则______； ②依题意补全图形，并证明； (2)当点在点左侧时，与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并证明． 【答案】(1)①85；②见解析； (2)，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）①先根据平行线的性质得到，进而，再根据角平分线的定义求得即可； ②设，则，利用平行线的性质可得到，，再利用角平分线的定义可得，进而求得即可求解； （2）设，同理，利用平行线的性质和角平分线的定义推导出可求得 ， ，进而可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：85； ②补全图形如图所示： 设， ∵平分， ∴，则 ∵， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 证明：如图： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 8．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 9．如图，已知直线，．是射线上一动点，连接，作，交直线于点，平分交直线于点G．为射线上一点，． (1)若点在点的右侧，求的度数； (2)是否存在一点，使？若存在；请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的度数为或 【分析】本题考查平行线的性质， （1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）设，，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可； 解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； （2）存在． 理由如下： 设，， ①如图，当点在点的右侧时， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $