专题01 相交线与平行线重难点题型汇编（十二大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题01 相交线与平行线重难点题型汇编 【题型1：对顶角及其性质】.....................................................................................................1 【题型2：垂线段的性质】......................................................................................................4 【题型3：点到直线的距离】....................................................................................................5 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】.........................................................................7 【题型5：利用平行线性质求角度】.......................................................................................9 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】.........................................................................12 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................16 【题型8：平行线性质的实际应用】.........................................................................................19 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】.........................................................................24 【题型10：利用平移的性质求面积】.....................................................................................29 【题型11：利用平移的性质求长度】......................................................................................32 【题型12：利用平移解决实际问题】...................................................................................33 【题型1：对顶角及其性质】 1．下列各图中的和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的识别，根据对顶角的含义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角进行判断即可． 【详解】解：A、满足对顶角的含义，故是对顶角； B、其中的一条边不是的一条边的反向延长线，故和不是对顶角； C、和不共顶点，故和不是对顶角； D、和是互补的角，不是对顶角； 故选：A． 2．如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴． 故选：A． 3．如图，已知直线和相交于点，是直角，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角度的运算、对顶角即直角的定义．先根据直角的定义求出的度数，即可得出的度数，根据对顶角相等即可得出的度数． 【详解】解：∵是直角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． 故选：B． 4．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【题型2：垂线段的性质】 5．如图，要从小河a引水到村庄A，为使渠道最短过A作a的垂线段，理由是：________． 【答案】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确把握定义是解题关键． 直接利用垂线段最短的意义分析得出答案． 【详解】解：依据垂线段定理：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 6．如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短；两点之间，线段最短．根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短得：B选项中方案比A选项中方案更省材料， 根据两点之间，线段最短得：B选项中方案比C，D选项中方案更省材料， ∴四种方案中最节省材料的是B． 故选：B 7．如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．2 D．5.5 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段最短，直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点B， ∴， ∴， 故不可能是2． 故选：C． 8．如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段的长度就是运动员所跳的距离．这一做法运用的数学依据是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解，理解知识点是解题的关键． 【详解】解：这一做法运用的数学依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【题型3：点到直线的距离】 9．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 10．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是_____，点到的距离是_____，A、C两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 11．点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的性质； 根据直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段最短，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵点是直线外一点，在直线上，且，，， ∴直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短可得：点到直线的距离小于或等于， 故选：D； 12．如图，，，则点到直线的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6.25 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是5． 故选：C． 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】 13．如图，直线，被直线所截，与是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，熟练掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，判断与的类型． 【详解】解：观察图形可知，与在被截直线、的同一侧，且在截线的同旁，符合同位角的定义． 故选：A． 14．如图，在所标识的角中，内错角是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可． 本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的定义． 【详解】解：根据内错角的定义得与是内错角． 故选：D． 15．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 16．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 17．下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角的定义，熟练掌握同旁内角定义是解题的关键．根据同旁内角定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，即可进行求解． 【详解】解：A、图中两个角不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、图中两个角是同位角，故本选项不符合题意； C、图中两个角是同旁内角，故本选项符合题意； D、图中两个角是内错角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型5：利用平行线性质求角度】 18．如图，直线和被直线所截，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ，， ， ． 故选：A． 19．如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，由平行线的性质得到；然后利用角平分线的定义来求的度数． 【详解】解：， ， 又平分， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解决本题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”求得的度数． 20．如图，直线，平分交于点E，，点F在的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 利用平行线的性质得到，，然后利用角平分线的定义可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分交于点E， ∴， ∴． 故选：A． 21．如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算，平行线的性质，根据可得，进而即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故选：C． 22．如图，直线，于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、垂直的定义及对顶角相等，解题关键是借助平行线的性质求出的度数，再结合垂直关系与对顶角的性质计算． 【详解】解：，， ， 又， ， 故选：B． 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】 23．如图，将三角尺的直角顶点放在一把直尺的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 24．如图，将一块含角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键． 直接利用平行线的性质以及含角的直角三角板的特征进而得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 由题意得， 直尺两边平行， ． 故选：A 25．如图，直线，点B在a上，且．若，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查直线平行的性质．根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 26．将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． 27．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，利用平行线的性质求角度，先求出，再利用平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∴， 故选：C． 28．如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，牢记平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】如图所示 ， ， ， ， 故选：C． 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】 29．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可求得，由折叠的性质可知，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：，， ， 由折叠可得， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 30．将一张长方形纸条沿折叠后点B、A分别落在、位置上，与的交点为G．若，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出的度数，根据折叠的性质计算的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线和折叠的性质是解题的关键． 31．如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，由可得，即可得到的度数 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 32．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中___________．    【答案】/105度 【分析】根据平行线的性质及折叠的性质可得，再根据折叠的性质及四边形的内角和即可解答． 【详解】解：∵如图，， ∴由折叠的性质， ∵如图，， ∴， ∴， ∵如图，由折叠的性质可知 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为.    【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【题型8：平行线性质的实际应用】 33．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 34．如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图 由题意，得 ，， ∴． 故选D． 35．如图是一个楼梯的侧面示意图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 36．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，根据，得出，再根据已知条件得出即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：C． 37．如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 38．超市购物车的侧面如图，已知扶手与车底平行，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，利用平行线的性质可得，然后可得的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 39．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】 40．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 41．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义及比例设元法，解题关键是通过垂直关系得到直角，再结合平行线性质建立角度间的数量关系，利用比例设未知数求解． 首先利用垂直的定义确定直角，再结合角度的比例关系设未知数，通过角度和为建立方程，进而求解的度数． 【详解】解：∵， ∴． ， ∵， ∴． ∵ ∴设， 代入上式： ． ∴． 42．如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 43．如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，对顶角性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）由对顶角相等得到，再根据角平分线得到，从而根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 44．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据，，利用平行线的性质即可求出结果． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 45．如图，．，平分． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得．证出，即可得出； （2）求出，由角平分线定义得，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：． 理由：， ． ， ， ． （2）， ． 平分， ． 由（1）知， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【题型10：利用平移的性质求面积】 46．如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移后得到半圆所扫过的面积（阴影部分）恰好边长为的正方形进行解答即可． 【详解】解：∵平移后阴影部分的面积恰好是边长为的正方形， ∴． 故选：B． 47．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （14-3）×6 =11×6 =66（m2）， ∴绿化区的面积是66 m2， 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 48．如图所示，将直角三角形沿方向平移的长度后，得到直角三角形．已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】根据平移的性质可以得到，AD=BE=CF=6，AD∥BC，AC=DF=10，S△ABC=S△DFE，然后根据S阴影=S△DFE-S△GFB+S△ADG进而得到S阴影= S△ABC- S△GFB+S△ADG=S梯形ACFG+S△ADG由此求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，AD=BE=CF=6，AD∥BC，AC=DF=10，S△ABC=S△DFE， ∴∠ADG=∠DFE=90°，GF=DF-DG=6， ∵S阴影=S△DFE-S△GFB+S△ADG， ∴S阴影= S△ABC- S△GFB+S△ADG=S梯形ACFG+S△ADG， ∴S阴影=， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，三角形面积，梯形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 49．如图，将平移后得到，设两个阴影部分面积分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵将平移后得到， ∴ ∴． 故选：C． 50．某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，所铺地毯的长为，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【题型11：利用平移的性质求长度】 51．如图，三角形沿射线方向平移到了三角形所在的位置（点在线段上），如果，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点． 观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意平移的距离为． 故选：B． 52．如图，将周长为的沿方向平移到的位置，平移后得到一个四边形的周长为，则平移的距离为（　　）． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得到，平移的距离为，由于的周长为17，四边形的周长为25，则利用等线段代换得到，然后求出即可． 【详解】解：沿方向平移到， ， 的周长为17， ， 四边形的周长为25， ， 即， ，解得， 即平移的距离为． 故选：B． 53．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为10，四边形的周长为16，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，根据平移性质得到平移距离，，再根据图形周长可求解． 【详解】解：∵将沿直线向右平移得到， ∴，， ∵的周长为10，四边形的周长为16， ∴，， ∴，则， ∴平移的距离为3， 故选：A． 【题型12：利用平移解决实际问题】 54．如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．结合图形，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：106． 55．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是______． 【答案】1125 【分析】本题考查了图形的平移的性质，可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可． 【详解】解：解：根据题意得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路的面积，所以种植花草的面积为：， 故答案为：． 56．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地． (1)方案一：将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，如图所示图形的操作过程，将线段向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（1）；将折线向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（2）．    ①请你分别写出图（1）、图（2）中空白部分的面积______，_______； ②联想与探索，如图（3）在一个长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是a个单位），请你猜想空白部分草地面积______； (2)方案二：修建一个长是宽的1.8倍，面积为486的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义，无理数的估算等知识，难点在于对无理数的估算． （1）①先确定小路的面积，图（1）是平行四边形，可利用平行四边形的面积公式求解，图（2）可以转化为图（1），再求空白部分的面积即可；②图（3）也可以转化为图（1），按照图（1）的方法计算； （2）设宽，则长为m，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，根据估算结果判定即可． 【详解】（1）①长方形空地的面积：， 图（1）中四边形是平行四边形，面积为：， ∴图（1）中空白部分的面积； 图（2）中连接，，如图所示，    根据平移的性质，， ∴封闭图形的面积和四边形的面积是相等的， 因此，图（2）中空白部分的面积， ②连接，，如图所示，    根据平移的性质可得，曲线围成的图形的面积和四边形的面积是相等的， 因此，空白部分草地面积 故答案为：①，；② （2）设宽m，则长为m 依题意有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ×× 即：． 这个篮球场能用做比赛． 57．图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析过程； (2)40，=； (3)（ab-a） 【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB； （2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求； （2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2， 则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位； S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位； ∴S1=S2， 故答案为：40，=； （3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度， ∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位． 故答案为：（ab-a）． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线重难点题型汇编 【题型1：对顶角及其性质】.....................................................................................................1 【题型2：垂线段的性质】......................................................................................................2 【题型3：点到直线的距离】....................................................................................................3 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】........................................................................4 【题型5：利用平行线性质求角度】.......................................................................................5 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】.........................................................................6 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................7 【题型8：平行线性质的实际应用】.........................................................................................8 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】.........................................................................9 【题型10：利用平移的性质求面积】.....................................................................................12 【题型11：利用平移的性质求长度】......................................................................................14 【题型12：利用平移解决实际问题】...................................................................................14 【题型1：对顶角及其性质】 1．下列各图中的和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线和相交于点，是直角，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A． B． C． D． 【题型2：垂线段的性质】 5．如图，要从小河a引水到村庄A，为使渠道最短过A作a的垂线段，理由是：________． 6．如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．2 D．5.5 8．如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段的长度就是运动员所跳的距离．这一做法运用的数学依据是______． 【题型3：点到直线的距离】 9．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 10．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是_____，点到的距离是_____，A、C两点间的距离是_____． 11．点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 12．如图，，，则点到直线的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6.25 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】 13．如图，直线，被直线所截，与是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 14．如图，在所标识的角中，内错角是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 16．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 17．下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A．B．C． D． 【题型5：利用平行线性质求角度】 18．如图，直线和被直线所截，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 20．如图，直线，平分交于点E，，点F在的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 22．如图，直线，于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】 23．如图，将三角尺的直角顶点放在一把直尺的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．如图，将一块含角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 25．如图，直线，点B在a上，且．若，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．55° D．60° 26．将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 27．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 28．如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】 29．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，，则（    ）    A． B． C． D． 30．将一张长方形纸条沿折叠后点B、A分别落在、位置上，与的交点为G．若，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 31．如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 32．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中___________．    【题型8：平行线性质的实际应用】 33．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 34．如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．如图是一个楼梯的侧面示意图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 36．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 37．如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 38．超市购物车的侧面如图，已知扶手与车底平行，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 39．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】 40．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 41．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 42．如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 43．如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 44．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 45．如图，．，平分． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【题型10：利用平移的性质求面积】 46．如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 47．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ）    A． B． C． D． 48．如图所示，将直角三角形沿方向平移的长度后，得到直角三角形．已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 49．如图，将平移后得到，设两个阴影部分面积分别为和，则（　　） A． B． C． D． 50．某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 【题型11：利用平移的性质求长度】 51．如图，三角形沿射线方向平移到了三角形所在的位置（点在线段上），如果，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 52．如图，将周长为的沿方向平移到的位置，平移后得到一个四边形的周长为，则平移的距离为（　　）． A．3 B．4 C．6 D．8 形的周长为16，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型12：利用平移解决实际问题】 54．如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长______． 55．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是______． 56．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地． (1)方案一：将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，如图所示图形的操作过程，将线段向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（1）；将折线向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（2）．    ①请你分别写出图（1）、图（2）中空白部分的面积______，_______； ②联想与探索，如图（3）在一个长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是a个单位），请你猜想空白部分草地面积______； (2)方案二：修建一个长是宽的1.8倍，面积为486的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 57．图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $