18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第18章 勾股定理及其逆定理 18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 课堂小结 例题讲解 随堂演练 知识回顾 获取新知 知识回顾 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 勾股定理 如果三角形的三边长a、b、c满足 那么这个三角形是直角三角形. a2 + b2 = c2 勾股定理的逆定理 互逆定理 勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？ 例1 已知：在△ABC中，三边长分别为a = n2 -1, b=2n，c = n2 +1(n＞1). 求证：△ABC为直角三角形. 证明：∵a2＋b2＝(n2-1)2 ＋ (2n)2 ＝n4 -2n2 + 1 + 4n2 ＝n4 + 2n2 + 1 ＝(n2 +1)2 ＝c2, ∴ △ABC为直角三角形. 分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需要得出什么，才能证明△ABC为直角三角形？ 获取新知 知识点一：勾股定理的逆定理在几何推理中的应用 知识点二：勾股定理的逆定理的应用 例2 如图，营地A与哨所B相距10 km，东侧有条南北走向的河流PQ.每天，哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6km到达河流C处让马饮水，再走8km到达哨所B处执勤，最后返回营地A.你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗？ 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 问题2 由于我们现在所能得到的大都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出∠BCQ的度数. 勾股定理逆定理 AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数. 解：根据题意，AB =10 km，AC=6 km，BC=8 km. ∵ 62+82=102，即 AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB= 90°. ∵AD∥PQ， ∴∠ACP=∠DAC=34°. ∴∠BCQ=180°-90°-34°=56°. 答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达B处. 归纳 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 例题讲解 例3 某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18， QR=30. ∵ 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2， ∴∠QPR= 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. ∴∠2=45°. 答：“海天”号沿西北方向航行. 获取新知 例4 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. A D B C 3 4 13 12 分析：不规则图形的面积问题，多用“割补法”，对于本题显然是用“分割法”更合适些，所以问题就转化为求△ACD的面积问题了，即三角形的形状问题. 知识点三：勾股定理及其逆定理的综合应用 解：连接AC. 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. A D B C 3 4 13 12 随堂演练 1．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　　) C 例题讲解 例5 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=6cm，AB=8cm，CD=24cm，BC=26cm，求四边形ABCD 的面积. 解：连接BD. 在Rt△ABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， ∴BD=10m. 又∵ CD=24cm，BC=26cm, ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD•CD－ AB•AD = ×(10×24－6×8)=96 (cm2)． C B A D 2. 已知 △ ABC的三边长分别是6，8，10，则△ ABC的面积是________． 24 3. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝3，CD＝AB＝5，AD＝4，则AC＝_____． 全品文教初中 4. 一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离5 m处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2米(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________．(填“垂直”或“不垂直”) 不垂直 全品文教初中 5.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝，BD=2． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的面积． （1）证明：∵CD=1，BC＝ ，BD=2， ∴CD2+BD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2， ∴x2=(x-1)2+22， 解得 全品文教初中 dell (d) - 方程思想是在勾股定理中常常用到的，在讲解过程中，一定要常常提醒学生思维上的转化。 课堂小结 勾股定理的逆定理的应用 应用 代数推理问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题 不规则图形面积问题 实际生活问题 全品文教初中 $