20.3.1 离差平方和与方差 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第20章 数据的初步分析 20.3.1 离差平方和与方差 课堂小结 例题讲解 随堂演练 情景导入 获取新知 两台机床都生产直径是(20±0.2)mm的零件, 为了检验产品质量, 从产品中各抽出10件进行测量, 结果如下(单位:mm)： 思考：根据以上结果评判哪台机床加工零件的精度更稳定？ 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 情景导入 我们常用平均数、中位数来刻画数据的“集中水平”，但在有些情况下只有“集中水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器的加工零件的精度、手表的日走时误差时，还需要用一新的数量来刻画一组数据的波动情况. 获取新知 知识点1：离差平方和与方差 首先比较两者的平均数： 它们的中位数也都是20.0 mm 数据是由一个标准基数+浮动值构成的，这样可以减小计算量 两组数据的集中趋势是相同的，所以无法区分， 下面就来考虑数据的离散程度 把每组零件的直径分别用散点图来表示： 直径波动较大 直径波动较小 图中过20.0与横轴平行的直线上的点表示平均数.可见机床A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有6个、0.1mm的有2个；机床B生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有2个、0.1mm的有4个，直观上容易看出机床B比机床A生产的零件的精确度更稳定. 但如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？ 统计学中常采用下面的做法：设一组数据x1， x2 ，… ,xn，它们的平均数是 ，我们将 称为这组数据的离差平方和，简记为 . 将 称为这组数据的方差. 统计学中，通常采用离差平方和或方差衡量数据的离散程度. 概念学习 离差平方和和方差都具有如下性质： （1）最小值是0； （2）数据的离散程度大，它们的值也大. 知识拓展 ① 方差的作用：方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量，反映的是数据在平均数附近波动的情况. 一般地，方差越大，该组数据的波动就越大（离散程度大）；方差越小，该组数据的波动就越小（离散程度小）. ② 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． Administrator (A) - 老师要说明方差的出现更多的是在平均数相同或相近，不能作为区别选择的依据时，从考虑稳定性的角度出发引入了方差，所以方差的意义就是反应了数据的离散程度 下面通过计算离差平方和与方差，来分析机床A和机床B哪台生产的零件的精确度更稳定. 前面已经算得A,B两组数的平均数都是20，于是它们的离差平方和分别为 [ ] = (20 -20)2 + ··· +(19.8-20)2 +(19.8-20)2 =0.26. [ ] = (20 -20)2 + ··· +(20-20)2 +(19.8-20)2 =0.12. 方差分别为 = 1 10 ×0.26 =0.026. = 1 10 ×0.12 =0.012. 由于0.26＞0.12，0.026＞0.012，可知无论是根据离差平方和还是方差，都可发现机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大. 据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定. 用计算器计算机床A生产的零件的方差： 20.0, 19.8, 20.1, 20.2, 19.9, 20.0, 20.2, 19.8, 20.2, 19.8. 知识点2：用计算器计算方差 Administrator (A) - 授课时以实际使用的计算器为准，灵活修改按键。不同种类的计算器一般都要经过4个环节：开机—启动变量统计功能—输入数据—显示方差。 按键方法: (1)设定SD模式. 在打开计算器后, 先按“MODE”2将其设定至开始状态. (2)按键“SHIFT”“CLR”“2”（SCL）“=”, 清除计算器原先在SD模式下所储存的数据. (3) 输入数据, 依次按键：20.0“DT”19.8“DT”20.1“DT”20.2“DT”19.9“DT”20.0“DT”20.2“DT”19.8“DT”20.2“DT”19.8“DT”输入数据. (4)按键“SHIFT”“S-VAR”“2”“=”，显示方差的算术平方根为0.161245155 . (5)按键“x2”“=”，显示方差为0.026，由上可得方差: =0.026. 用科学计算器求方差的一般步骤： 1. 按有关键, 使计算器进入统计状态; 2. 依次输入数据 x1, x2, ……, xn; 3. 按求方差的功能键(例如x2键), 计算器显示结果. 归纳总结 例题讲解 例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》, 参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示. 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 方差分别是 由s甲2 ＜ s乙2 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 方差的计算是本课的重点，也是难点，计算量大，一定要细心。 13 1.在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均成绩是9.1环，方差分别是s甲2=1.2，s乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定性的描述正确的是( ) A. 甲比乙稳定 B.乙比甲稳定 C.甲和乙一样稳定 D.甲和乙的稳定性没法比较 A 随堂演练 2.如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况,则射击成绩的方差较小的是　　　.(填“甲”或“乙”) 甲 3. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下： 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 哪种麦苗长势整齐？ 分析：根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的公式计算方差，进行比较可得结论． 解： x甲＝ ×(15＋15＋…＋15)＝13.9(cm)， x乙＝ ×(17＋14＋…＋11)＝14(cm)， s甲2＝ ×[(15-13.9)2＋(15-13.9)2＋…＋(15-13.9)2]＝2.09， s乙2＝ ×[(17-14)2＋(14-14)2＋…＋(11-14)2]＝2.8, 因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐． 课堂小结 离差平方和与方差 方差的统计学意义（判断数据的波动程度）： 方差越大（小），数据的波动越大（小）. 衡量一组数据的离散程度 公式： 离差平方和： 方差: 全品文教初中 $