八年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第6章 数据的收集、整理与描述～第8章 四边形）

八年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第6章 数据的收集、整理与描述~第8章 四边形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列抽样调查中，样本的选取方式合适的是（   ） A．为了解某市青少年的近视情况，选取该市初一年级的学生进行调查 B．为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对名正在健身的老人进行调查 C．为了解某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的名同学进行调查 D．为了解某校学生的每日睡眠时长，选取该校学籍尾数为的学生进行调查 3．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 4．某校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了名学生，结果如下表所示，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　） 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在边长为6的菱形中，，点E为对角线上一点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形与正六边形的中心点O重合，顶点在点A，B处重合，与交于点F．若，则的长（    ）为 A． B． C． D． 8．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（    ）    A．240名 B．300名 C．360名 D．480名 9．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 12．某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是___________． 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，，且，则的长_________ 14．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了去年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如图1所示的折线统计图和如图2所示的扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题：该市去年空气质量连续提升的月份范围是______；扇形统计图中扇形A的圆心角的度数为______． 15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，，点分别是的中点，连接，若的长为3，则四边形的周长是______． 16．如图，在周长为8的菱形中，已知，点为对角线的中点，过点作射线，分别交，于点，，且，则和的面积和为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 18．（6分）（25-26七年级上·广东河源·期末）为了了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专卖店第一季度该品牌A、B、C、D四种型号的销售做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）． (1)该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共 辆； (2)把条形统计图补充完整； (3)若该专卖店计划订购这四款型号的电动自行车辆，求D型号电动自行车应订购多少辆？ 19．（8分）（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，为对角线，于点，延长交于点F，交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 20．（8分）（25-26九年级上·江西九江·期末）为了解某市春季开学后23路公交车的运营情况，某相关部门统计了23路公交车在2025年4月某个工作日内每个运行班次的载客量，整理得到如下统计图表（尚不完整）． 超载程度 载客量/人 组中值 频数 未超载 11 5 未超载 31 n 未超载 m 20 超载 71 15 严重超载 91 5 根据以上信息解答下列问题： (1)_________；_________ (2)补全频数分布直方图． (3)这天23路公交车平均每班的载客量是多少人（保留整数）？ (4)估计该市2025年4月份在工作日内23路公交车有多少班次超载．（温馨提示：2025年4月有22个工作日） 21．（10分）（25-26八年级上·江苏淮安·期末）“无刻度直尺”可用于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等作图．请结合下列图形的性质，仅用无刻度直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹； (1)如图1，在中，点、分别在边、上，且，请作出的中点； (2)如图2，在矩形中，点、在直线上且，请作出一个等腰； (3)如图3，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高． 22．（10分）（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对九年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项）.根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 36 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 30 0.25 跳绳 18 z 其他 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的_________，_________，_________． (2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为_________． (3)从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢球类运动的概率． 23．（12分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 24．（12分）（25-26九年级上·全国·月考）综合与探究 (1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． (2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列抽样调查中，样本的选取方式合适的是（   ） A．为了解某市青少年的近视情况，选取该市初一年级的学生进行调查 B．为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对名正在健身的老人进行调查 C．为了解某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的名同学进行调查 D．为了解某校学生的每日睡眠时长，选取该校学籍尾数为的学生进行调查 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查，根据抽取样本的广泛性与代表性逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、选项中只选取初一年级学生，无法代表所有青少年的近视情况，故样本的选取方式不合适，不符合题意； 、选项中只调查正在健身的老人，其健康状况可能优于一般老年人，故样本的选取方式不合适，不符合题意； 、选项中只选取体育社团学生，其锻炼时间可能多于普通学生，故样本的选取方式不合适，不符合题意； 、选项中选取学籍尾数为5的学生，是系统抽样方法，每个学生被选中的概率相同，故样本的选取方式合适，符合题意； 故选：． 3．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 4．某校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了名学生，结果如下表所示，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　） 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 根据频率分布直方图可以知道绘画兴趣小组的频数，然后除以总人数即可求出加绘画兴趣小组的频率． 【详解】解：调查了名学生，加绘画兴趣小组的有人， ∴参加绘画兴趣小组的频率是． 故选：D． 5．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在边长为6的菱形中，，点E为对角线上一点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点O，由菱形的性质证明为等边三角形，则，再证明是等腰直角三角形，设，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理，得． 解得 (负值已舍去)， ∴． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，熟知摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数是解题的关键．要使摸到红球的概率为，需添加后袋子中红球总数等于黄球总数，据此验证各选项即可． 【详解】要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形与正六边形的中心点O重合，顶点在点A，B处重合，与交于点F．若，则的长（    ）为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了正多边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 过点作，根据正方形与正六边形的性质可得，得出，设，则，，根据，求出，得出，即可求出． 【详解】解：过点作，如图， 根据正方形与正六边形的性质可得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：D 8．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（    ）    A．240名 B．300名 C．360名 D．480名 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图计算样本中参加社团活动时间在6～8小时的学生数，进而可以估算全校参加社团活动时间在6～8小时之间的学生人数． 【详解】解：由图可知，随机抽查的100名学生中参加社团活动时间在6～8小时之间的学生有40名， 该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（名）， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，根据样本的频数估计总体的频数． 9．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中， ，， ∴ ，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 10．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是___________． 【答案】0.2 【分析】此题主要考查了频数与频率，先结合已知求出第5组的频数，然后直接利用频率的定义求出频率即可． 【详解】解：∵某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8， ∴第5组的频数是：， 故第5组的频率是：． 故答案为：0.2． 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，，且，则的长_________ 【答案】 【分析】连接，由正方形性质可得，得，由，得四边形是矩形，得，得，即得答案． 【详解】解：连接， ∵在正方形中， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了去年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如图1所示的折线统计图和如图2所示的扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题：该市去年空气质量连续提升的月份范围是______；扇形统计图中扇形A的圆心角的度数为______． 【答案】 6～12月 【分析】本题考查了折线统计图与扇形统计图，根据折线统计图可得去年空气质量连续提升的月份范围，良好的天数为天，根据的占比乘以，即可求得扇形统计图中扇形A的圆心角的度数． 【详解】解：由折线统计图知，连续提升的月份范围是6～12月，良好的月数为个月，扇形统计图中扇形A的圆心角的度数为 故答案为：6～12月，． 15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，，点分别是的中点，连接，若的长为3，则四边形的周长是______． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 16．如图，在周长为8的菱形中，已知，点为对角线的中点，过点作射线，分别交，于点，，且，则和的面积和为________． 【答案】1 【分析】连接OB，易得菱形是正方形，然后证明△BOE≌△COF，得出，求出S△ABC，可得，问题得解． 【详解】解：连接OB， 在菱形中，，周长为8， ∴∠BAD＝90°，即菱形是正方形，边长为2， ∴∠OBE＝∠OEF＝45°，BO＝CO，∠BOC＝90°， ∵， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF， ∴S△BOE＝S△COF， ∴， ∵S△ABC＝， ∴，即和的面积和为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接OB，证明△BOE≌△COF是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 18．（6分）（25-26七年级上·广东河源·期末）为了了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专卖店第一季度该品牌A、B、C、D四种型号的销售做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）． (1)该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共 辆； (2)把条形统计图补充完整； (3)若该专卖店计划订购这四款型号的电动自行车辆，求D型号电动自行车应订购多少辆？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)辆 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体； （1）根据B型号电动自行车的销量与B型号电动自行车所占的百分比求得总数，可求出第一季度售出的总量． （2）先求得C型号电动自行车的销量，从而补全条形统计图 （3）先求得D型号电动自行车所占的百分比为，根据样本估计总体即可求出D型电动自行车应订购的数量． 【详解】（1）解：（辆） 故该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共600辆． （2）解：C型电动自行车辆． 如图所示： （3）D型号电动自行车所占的百分比为 （辆） 故D型号电动自行车应订购辆． 19．（8分）（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，为对角线，于点，延长交于点F，交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，即可求证； （2）证明，即可求解， 【详解】（1）证明： ， ， 又， ， 又∵四边形为平行四边形， 是矩形； （2）解：， ， 由（1）知是矩形， ， ， 又， ， ，即， ． 20．（8分）（25-26九年级上·江西九江·期末）为了解某市春季开学后23路公交车的运营情况，某相关部门统计了23路公交车在2025年4月某个工作日内每个运行班次的载客量，整理得到如下统计图表（尚不完整）． 超载程度 载客量/人 组中值 频数 未超载 11 5 未超载 31 n 未超载 m 20 超载 71 15 严重超载 91 5 根据以上信息解答下列问题： (1)_________；_________ (2)补全频数分布直方图． (3)这天23路公交车平均每班的载客量是多少人（保留整数）？ (4)估计该市2025年4月份在工作日内23路公交车有多少班次超载．（温馨提示：2025年4月有22个工作日） 【答案】(1)51，10 (2)作图见解析 (3)53人 (4)440（次） 【分析】（1）用组中值公式，计算的组中值求出．从频数分布直方图中读取组的频数n． （2）依据表格中各组频数，在直方图对应组别上画出高度匹配的矩形条． （3）用组中值×频数求各组总载客量，求和得总载客量，然后用总载客量÷总班次，结果保留整数． （4）根据单日超载班次=超载组频数+严重超载组频数．然后根据4月超载班次=单日超载班次×4月工作日天数即可解答． 【详解】（1）解：组的组中值为， 所以． 从频数分布直方图可知，组的频数为10， 所以． （2）根据表格数据，补全直方图如下： （3）总载客量： （人）； 总班次：， ∴平均每班载客量：（人）． （4）解：单日超载班次：（次）， ∵4月工作日：22天， ∴4月总超载班次：（次）． 21．（10分）（25-26八年级上·江苏淮安·期末）“无刻度直尺”可用于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等作图．请结合下列图形的性质，仅用无刻度直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹； (1)如图1，在中，点、分别在边、上，且，请作出的中点； (2)如图2，在矩形中，点、在直线上且，请作出一个等腰； (3)如图3，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查限定工具的基本作图，平行四边形、矩形、菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接交于点，根据平行四边形性质，可得，从而利用“”易证，可得，即点是的中点； （2）连接，相交于点，根据矩形的性质，可得，易证，从而利用“”易证，可得，即为等腰三角形； （3）连接，相交于点，连接交于点，连接交于点，连接交于点，根据菱形的性质，易证，从而四边形是平行四边形，再证，可得，即是菱形的边上的高． 【详解】（1）解：如图1，点即为所作； 理由：连接交于点， ， ， ，， ， （） ， 点是的中点； （2）如图2，即为所作； 理由：连接，相交于点， 矩形， 与相等且互相平分， ，则， ， ， （）， ， 为等腰三角形； （3）如图3，即为所作； 理由：如图，连接，相交于点，连接交于点，连接交于点，连接交于点， 菱形， ，，，垂直平分， ，则， ， ， 又 （） ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又 ，， （）， ， 是菱形的边上的高，即， ，即， 则是菱形的边上的高． 22．（10分）（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对九年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项）.根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 36 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 30 0.25 跳绳 18 z 其他 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的_________，_________，_________． (2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为_________． (3)从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢球类运动的概率． 【答案】(1)，，. (2) (3) 【分析】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用． （1）根据乒乓球的频率和频数求出总人数，用篮球总人数总人数得到x的值，再用总人数乘以羽毛球的频率，求出的值；再用跳绳的人数除以总人数，再用跳绳的人数除以总人数，求出的值； （2）用乘以跳绳的频率即可求出对应的扇形圆心角的度数； （3）把所有球类的频率相加，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为（人）， 所以（人），，， 所以频数分布表中的，，． 故答案为：0.3；24；0.15 （2）因为， 所以在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为． 故答案为： （3）因为从被调查的学生中随机抽取1名学生，而且每名学生被选中的可能性是相等的，记“该学生喜欢球类运动”为事件A， 所以． 23．（12分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 24．（12分）（25-26九年级上·全国·月考）综合与探究 (1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． (2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，≌，得到，进而证明； ②根据菱形的性质推出，进而解题即可； （2）延长到M，使，连接，证明≌以及是等边三角形，证明≌以及是等边三角形，推出，，即可得解． 【详解】（1）①证明：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长到M，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $