19.3.2 第1课时 菱形的性质 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第19章 四边形 19.3.2 第1课时 菱形的性质 例题讲解 情景导入 知识回顾 获取新知 随堂演练 课堂小结 知识回顾 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题1：什么样的图形是矩形？ 有一个角是直角 平行四边形 矩形 ┐ 矩 形 的 性 质 A B D C O 矩形的对边平行且相等 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分 对角线的性质 边的性质 角的性质 情景导入 欣赏下列图片，图片中的图形是你熟悉的吗？ 铁丝网 衣帽架 中国结 升降机 平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形-----矩形；平行四边形的边特殊化，可以得到什么特殊的平行四边形呢，它有什么特征？ 获取新知 知识点一：菱形的概念 邻边相等 平行四边形 菱形 思考： 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形必须具备 两个条件 ①是平行四边形 ②有一组邻边相等 二者缺一不可 全品文教 (批注) - 菱形的引入也是基于平行四边形上的改造，类似于矩形，所以也是一般到特殊的过程，是共性与个性的细化，学生要弄清两者之间的关系 几何语言: ∵ 在 ABCD中，AB=BC, ∴  ABCD是菱形. 反过来: ∴ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC. ∵ 四边形ABCD是菱形, 注意 菱形的定义既是菱形的一种判定方法，又是它的一个性质. B A C D 我们知道菱形是一种特殊的平行四边形，因此菱形就具有平行四边形的一切性质. 菱形的对边平行且相等. 菱形的对角相等，邻角互补. 菱形的对角线互相平分. 对角线的性质 边的性质 角的性质 O B A C D 知识点二：菱形的性质 思考：菱形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质呢？ 我们可以这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 折一折 剪一剪 一起探究 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出 它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系? 问题3 菱形的两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证: (1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA= ∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 证一证 （2）∵AB = AD, OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 性质1：菱形的四条边相等. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB=BC=CD=AD. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AC⊥BD，∠1=∠2=∠3=∠4 ，∠5=∠6=∠7=∠8. 【几何语言】 【几何语言】 O 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D 归纳总结 例1 如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2. 求∠ABC的度数. A B C D E 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB. ∴AD=AB=BD， ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB， ∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）， ∴ ∠DAB= 60 °， 例题讲解 ∴△ABD是等边三角形， ∴ ∠ABC=120 °. 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6 cm，BD＝12 cm， ∴AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)． 思考：除了上述方法外，利用对角线能计算菱形的面积吗? 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗? O B A C D E S菱形ABCD= =BC ·AE 底×高 知识点三：菱形的面积公式 获取新知 如图，已知菱形两条对角线长分别为AC=a，BD=b，求菱形的面积． A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. (菱形的对角线互相垂直) ∴S菱形ABCD=S△ABD+ S△CBD = BD·AO+ BD·OC= BD· (AO+OC) = BD·AC= ab. 菱形的面积: 等于它的对角线乘积的一半. 归纳总结 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，平行四边形只被对角线分成两组全等三角形。 我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算． 菱形的面积有三种计算方法： (1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求； (2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和； (3)两条对角线乘积的一半． 老师在此处要点出菱形与直角三角形的结合就是因为菱形的对角线互相垂直的缘故，也是问题转化的常见做法 随堂演练 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么线段CD的长是(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 A 3. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠BCO=55°,则∠CBO=　　°. 35 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形. 求证:BE=CE. 证明: 连接AE. ∵四边形ADEF是菱形, ∴∠BAE=∠CAE. ∵AB=AC, ∴BE=CE. 5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm，DH⊥AB于点H，求DH的长. 解：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=16cm，BD=12cm， 又∵ 在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴ 在Rt△AOB中， AB==10(cm). 即10DH= 16 ×12， O A D B C H ∴ OA= AC=8 (cm)， OB= BD=6 (cm). ∴ 菱形的面积= AC ·BD， AB·DH= ∴DH= . 课堂小结 菱形的性质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半 角 对角线 1.两组对边平行； 2.四条边都相等 两组对角分别相等，邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 $