矩形的折叠问题--专题复习课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了矩形折叠问题的核心知识，涵盖轴对称性质、特殊四边形性质及勾股定理的综合应用，通过方法归纳和题型分类（求线段长度、判断形状等）构建知识网络，串联折叠操作与几何推理的内在联系。 其亮点在于结合实践操作培养数学眼光，如通过折叠矩形纸片探究等边三角形形成过程，发展几何直观；设计中考真题与变式训练，在证明平行四边形、计算菱形面积中提升推理能力。分层训练兼顾基础与拓展，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

矩形的折叠问题 方法归纳： 将矩形、菱形、正方形沿某直线折叠，再进行计算或证明，是这类 问题的常见形式.解题时，常根据轴对称的性质找出图中的相等的边、 相等的角关系，再利用特殊四边形的性质和判定及勾股定理求解. ‹#› 图13 1.(2025·山东烟台中考)如图13，是矩形 的 对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与 关于直 线 成轴对称.（不写作法，保留作图痕迹） 图27 解：如图27， 即为所求作的三角形. 提示：以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点，连接， 即可. 题型1：利用勾股定理求线段长度 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 2 （2）在（1）的条件下，若交于点，，，则求 的长. 图13 图27 解：如图27， 四边形 为矩形，，， ， ， . 设 ，则. 在中， ，. 解得. . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 2.综合与实践 【实践操作】 步骤1，准备一张矩形纸片. 图14 步骤2，按图14所示方式操作：将沿 翻折，使点落在对角线上的点 处. 步骤3，按图14所示方式操作：将沿 翻折，使点落在对角线上的点 处. 题型2：利用特殊四边形的性质判断形状 ‹#› 知识清单 巩固训练 4 【实践探索】 图14 （1）用你所学数学知识说明：四边形 是平行四边形.（8分） 证明： 四边形是矩形， ， ，𝐴𝐵//𝐶𝐷. . 由折叠的性质知 ， . 又 ， 四边形 为平行四边形. ‹#› 知识清单 巩固训练 5 图14 （2）当四边形是菱形，且 时，求菱形 的面积.（12分） 解： 四边形为菱形， ， 四边形 是矩形， ， . . 在中，设，则. 又 ， . 解得. . 菱形 的面积为. ‹#› 知识清单 巩固训练 6 3.有一个数学活动，通过折叠矩形纸片得到等边 三角形，其具体操作过程如下： 第一步，对折矩形纸片，使与 重合， 得到折痕 ，把纸片展开（如图3）. 第二步，再折叠纸片，使点落在 上，并使 折痕经过点，得到折痕，同时得到线段 ， （如图3）. （点A，B关于EF对称，EF垂直平分AB） （找相等的角 1 2 3 ‹#› 7 第三步，沿着折叠，得到折痕 ，沿着折 痕，剪下 .（如图4）. 请解答以下问题： （1）如图3，求 的度数. （2）如图4，求证： 是等边三角形. 1 2 3 ‹#› 8 （1）如图3，求 的度数. 解：如图38，连接 四边形是矩形， . 由折叠的性质知，垂直平分， 为等边三角形. . . 图38 ‹#› 9 （2）如图4，求证： 是等边三角形. 证明：由折叠的性质知， ， . ， ， . 为等边三角形. ‹#› 10 同类训练 4.综合与实践 【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的 折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片中，为 边上任 意一点，将沿折叠，点的对应点为 . （1）如图5，求证：四边形 是菱形. （找相等的角和边） ‹#› 11 【分析探究】 图5 （1）如图5，求证：四边形 是菱形. 证明： 四边形是平行四边形， ，， . 由折叠的性质知，， . 又 ， 四边形是平行四边形. 又 ， 四边形 是菱形. ‹#› 12 【问题解决】 （2）如图6，当，为边的三等分点时，连接并延长，交 边于点.试判断线段与 的数量关系，并说明理由. 图6 1 2 3 4 （BP=PQ=QC） 将沿折叠，点的对应点为 . （ BP=PB’ ） ‹#› 13 【问题解决】 （2）如图6，当，为边的三等分点时，连接并延长，交 边于点.试判断线段与 的数量关系，并说明理由. 图6 解：. 理由如下： 四边形 是平行四边形， ，. 又 ，为 边的三等分点， . 由折叠的性质知，，，则 . ‹#› 14 图6 由三角形的外角性质知， . 又 . 又 ， 四边形是平行四边形. ，， . ‹#› 15 综合拓展 5.(2023·广西中考)探究与证明 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究， 探索数学奥秘. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 【动手操作】如图14，将矩形纸片对折，使与 重合， 展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕，点，的对应点分别为， ，展平纸片，连接 ，， .请完成： 图14 图15 （点A，B关于EF对称，EF垂直平分AB） （点B，B’与E，E’分别关于折痕AM对称，AM垂直平分BB’, EE’ ） ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 （1）观察图14中，和 ，试猜想这三个角的大小关系. 图14 图15 解：猜想： . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 （2）证明（1）中的猜想. 图14 图15 证明：由折叠的性质可得，，， ，， ， 是等边三角形. ， ， . 四边形是矩形， . . . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 【类比操作】如图15，为矩形纸片的边 上的一点，连接 ，在上取一点 ，折叠纸片，使， 两点重合，展平纸片，得到 折痕；折叠纸片，使点，分别落在，上，得到折痕 ，点 ，的对应点分别为，，展平纸片，连接， . 图14 图15 （点P，B关于EF对称，EF垂直平分PB） （点B，B’与P，P’分别关于折痕对称 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 （3）求证：是 的一条三等分线. 图28 证明：如图28，连接 . 由折叠的性质可得，，， 折痕，， 四边形 为矩形， . ， ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 . 在 和中， 是 的一条三等分线. 图28 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 $