专题07 特殊的平行四边形（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级下册

专题07 特殊的平行四边形（计算题专项训练） 【适用版本：人教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 特殊平行四边形的性质与线段 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E．若∠CAE＝15°，AC＝18，求BE的长． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若BE＝2，AE＝4，求AC的长． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，BD＝8，过点C作CE⊥AB，垂足为E，求CE的长． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF的长． 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC＝3，CE＝1，求AF的长． 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，求DE的长． 7．如图，在菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，若BE⊥AB，且BE＝2，AB＝2，求AC的长． 8．如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝4，EF＝3，FC＝5，求正方形ABCD的边长． 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，AE与对角线BD交于点F，求DF的长． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，以CE为边在矩形ABCD的外部作正方形CEFG，连接AF，H为AF的中点，连接EH，DH，求DH的长． 训练2 特殊平行四边形的性质与角度 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数． 2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，求∠BED的度数． 3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，如果∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠EAC的度数． 4．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D'、C'，线段D'C'交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，求∠FGC'的度数． 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接OE，若∠CAE＝15°，求∠OEC的度数． 6．如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，求∠AEC的度数． 7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是CD，AD的中点，连接AE，CF交于点G，且AE⊥CD，求∠EGF的度数． 8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，求∠AFE的度数． 9．已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，求∠PDC的度数． 10．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在线段BC上，CE＝2，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE＝CP，求∠EPC的度数． 训练3 特殊平行四边形的性质与面积 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 2．如图，菱形ABCD的面积为36，点F是AB的中点，点E是BC上的一点．若△BEF的面积为6，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为　 　 ． 4．如图，正方形ABCD的面积为25，菱形ABEF的面积为15，则阴影部分的面积为 　 　 ． 5．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 6．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F，若PD+PF＝5，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 8．如图，点P为矩形ABCD的边AB上一点，连接CP、DP，对角线AC交DP于点N，若△APN与△BCP的面积均为4，则△CDN的面积为　 　 ． 9．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F是对角线BD上的两点，且，则四边形AECF的面积是 　 　 ． 10．如图，矩形ABCD中，∠ADB＝30°，AB＝2，CE⊥BD于点E，连接AE，则△AEC的面积是 　　 ． 训练4 特殊平行四边形的判定 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　 　 秒后，四边形BEDF是矩形． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　　 ，▱CDEB为菱形． 3．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 4．如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位的速度从△ABC的边BD位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．若AC＝6，则当运动了 　 　 秒时，四边形AECF是矩形． 5．△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC． （1）你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由． （2）∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？并说明理由． 6．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　 　 度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 7．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F，E分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF，连接BF，CF，BE，CE． （1）若BC＝EF，求证：四边形BECF是矩形； （2）已知AB＝5，BC＝6． ①当AC的长为多少时，四边形BECF是菱形？并加以证明； ②请直接写出当AF的长为多少时，四边形BECF是正方形． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由； （3）若D为AB中点，则当∠A＝　 　 时，四边形BECD是正方形？ 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示PB． （2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 训练5 特殊平行四边形的判定与性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝12，求四边形AECF的面积． 2．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长． 5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接CE、OE，OE交DC于点F． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AD＝6，求OF的长． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积． 7．如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，请直接写出图中和∠EBA相等的角． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）若BF＝4，求BG的长． 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，OB＝3，求AE的长． 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EHQP的三个顶点E，H，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，BH＝2，连接DP． （1）若CQ＝2，求证：四边形EHQP为正方形； （2）若DQ＝6，求△PDQ的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊的平行四边形（计算题专项训练） 【适用版本：人教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 特殊平行四边形的性质与线段 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E．若∠CAE＝15°，AC＝18，求BE的长． 【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9， ∴∠AEB＝∠EAD＝45°， ∴BE＝BA． ∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴BO＝BA＝9， ∴BO＝BE＝9． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若BE＝2，AE＝4，求AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， 设OA＝OB＝x，则OE＝x﹣2， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， 由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2， 即42+（x﹣2）2＝x2， 解得：x＝5， ∴OA＝5， ∴AC＝2OA＝10． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，BD＝8，过点C作CE⊥AB，垂足为E，求CE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴， ∵AB＝5， ∴， ∴AC＝2OA＝6， ∵CE⊥AB， ∴， ∴， 解得：． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF的长． 【解答】解：连接OP，如图所示： ∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC5， ∴S△AODS矩形ABCD＝3，OA＝OD， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）（PE+PF）＝3， ∴PE+PF， 故答案为：． 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC＝3，CE＝1，求AF的长． 【解答】解：延长FG交AB于点H，如图所示： ∵BC＝3，CE＝1，B、C、E三点共线， ∴BE＝BC+CE＝4， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴AB＝BC＝3，∠B＝90°，CE＝CG＝3，∠E＝∠EFG＝90°， ∵∠B＝∠E＝∠EFG＝90°， ∴四边形BEFG是矩形， ∴BH＝EF＝1，FH＝BE＝4，∠BHF＝∠AHF＝90°， ∴AH＝AB﹣BH＝3﹣1＝2， 在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF． 故答案为：． 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，求DE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4， ∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OD，AB＝AD， ∵F是线段AD的中点，， ∴AD＝2OF＝5， ∴AB＝AD＝5， ∴， ∴BD＝2OD＝2×3＝6， ∵DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，若BE⊥AB，且BE＝2，AB＝2，求AC的长． 【解答】解：连接BD交AC于O， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∵BE＝2，AB＝2， ∴AE4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO⊥AE，AO＝OC， ∴△ABE的面积AE•OBAB•BE， ∴4OB＝22， ∴OB， ∴AO3， ∴AC＝2AO＝6． 8．如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝4，EF＝3，FC＝5，求正方形ABCD的边长． 【解答】解：过点C作CG⊥CF，交AE延长线于点G，连接AC， ∵AE⊥EF，CF⊥EF，CG⊥CF， ∴AG∥CF，EF∥CG， ∴四边形CFEG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵AE＝4，EF＝3，FC＝5， ∴CG＝EF＝3，EG＝CF＝5， ∴AG＝AE+EG＝4+5＝9， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴， ∴， 即正方形ABCD的边长为． 故答案为：． 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，AE与对角线BD交于点F，求DF的长． 【解答】解：过点F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别是M，N， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，DB平分∠ADC， ∵E是CD的中点， ∴DE＝2， ∴， ∵S△ADE＝S△ADF+S△EDF， ∴， ∴2FM+FN＝4， ∵FM＝FN， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，以CE为边在矩形ABCD的外部作正方形CEFG，连接AF，H为AF的中点，连接EH，DH，求DH的长． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，如图，延长EH交AD于点T． ∴CD＝AB＝8，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴． ∵四边形CEFG为正方形， ∴CG∥EF，∠ECD＝90°，EF＝CE＝4， ∴B，C，G三点在一条直线上， ∴AD∥CG． ∴AD∥EF． ∴∠TAH＝∠EFH． ∵H为AF的中点， ∴AH＝FH， 在△ATH和△FEH中， ， ∴△ATH≌△FEH（ASA）． ∴TA＝EF＝4，TH＝EH． ∴DT＝AD﹣TA＝5﹣4＝1，， 在Rt△DET中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 训练2 特殊平行四边形的性质与角度 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数． 【解答】解：过M作MG∥AB交AD于G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CB， ∵CE＝MN， ∴△GMN≌△BCE（HL）， ∴∠ANM＝∠CEB， ∵∠MCE＝35°， ∴∠CEB＝90°﹣35°＝55°， ∴∠ANM＝55°． 故答案为：55°． 2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，求∠BED的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形， ∴CD＝BC＝CE，∠DCB＝90°，∠BCE＝∠BEC＝60°， ∴， ∴∠DEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°﹣15°＝45°； 故答案为：45°． 3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，如果∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠EAC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OAAC，OBBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE90°＝22.5°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠EAC＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故答案为：45°． 4．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D'、C'，线段D'C'交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，求∠FGC'的度数． 【解答】解：由题意可得， ∠EFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′＝90°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，∠DEF+∠EFC＝180°， ∵∠DEF＝55°， ∴∠EFG＝55°，∠EFC＝125°， ∴∠EFC′＝125°， ∴∠GFC′＝∠EFC′﹣∠EFG＝125°﹣55°＝70°， ∴∠FGC′＝180°﹣∠C′﹣∠GFC′＝180°﹣90°﹣70°＝20°， 故答案为：20°． 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接OE，若∠CAE＝15°，求∠OEC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠OAB＝∠CAE+∠BAE＝15°+45°＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴OB＝BE，∠OBE＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴∠OEC＝180°﹣∠BEO＝105° 故答案为：105°． 6．如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，求∠AEC的度数． 【解答】解：过E作EF⊥CD交CD于F， ∴∠EFD＝∠EFC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴EF∥AD， ∴∠EAD＝∠AEF， ∵DE＝DC，∠CDE＝40°， ∴AD＝DE， ， ∴∠EAD＝∠DEA， ∠CEF＝90°﹣∠DCE＝20°， ∴∠AEF＝∠EDA， ∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF， ＝25°+20°＝45°． 故答案为：45°． 7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是CD，AD的中点，连接AE，CF交于点G，且AE⊥CD，求∠EGF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∵AE⊥CD，点E是CD的中点， ∴AE是线段CD的垂直平分线，即：AC＝AD， ∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA， ∴△ABC和△ADC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠CAD＝60°，AC＝AB， ∵点E，F分别是CD，AD的中点， ∴∠CAE＝∠DAE＝30°，∠AFC＝90°， ∴∠AGC＝∠DAE+∠AFC＝120°， 故答案为：120°． 8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，求∠AFE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝20°，AB＝CB， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝58°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝140°， 在△ABE中， ∵∠ABE＝20°，∠AEB＝58°， ∴∠BAE＝180°﹣20°﹣58°＝102°， ∴∠EAF＝140°﹣102°＝38°， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE＝38°． 故答案为：38°． 9．已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，求∠PDC的度数． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O， ∴AC，BD互相垂直平分， ∵∠ABC＝∠ADC＝100°， ∴， 当点P如图P点所在位置时： ∵PB＝PD， ∴∠PBD＝∠PDB＝20°， ∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°； 当点P如图P′点所在位置时： ∵P'B＝P'D， ∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°， ∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°； 综上：∠PDC的度数为30°或70°， 故答案为：30°或70°． 10．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在线段BC上，CE＝2，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE＝CP，求∠EPC的度数． 【解答】解：如图所示：连接EP交AC于点H． ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°． ∵CE＝CP ∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH． ∴∠EPC＝90°﹣60°＝30°； 如图2所示：当P在AD边上，CP⊥AD时， 则， ∵， ∴△ECP为等腰直角三角形， ∴∠EPC＝45°． 如图3所示：当P在AB边上，CP⊥AB时， ∴∠BCP＝90°﹣∠CBA＝30°， ∵CE＝CP， ∴∠EPC＝∠PEC（180°﹣30°）＝75°， 故答案为：30°或45°或75°． 训练3 特殊平行四边形的性质与面积 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是6， ∴S四边形ABCD＝AB×6＝BC×6， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BE， 在△ABE中，AB2＝BE2+AE2， 即AB2AB2+62， 解得AB＝4， ∴S四边形ABCD＝BC•AE＝46＝24． 故答案为：24． 2．如图，菱形ABCD的面积为36，点F是AB的中点，点E是BC上的一点．若△BEF的面积为6，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【解答】解：连接BD，CF， ∵F是AB中点， ∴， 同理：， ∵△BEF的面积为6， ∴BE：BC＝△BEF的面积：△BCF的面积＝2：3， ∴， ∴阴影部分的面积＝菱形的面积﹣△AED的面积﹣△BEF的面积﹣△CFD的面积＝36﹣9﹣6﹣6＝15． 故答案为：15． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为　 　 ． 【解答】解：连接AC，AP，如图： 由题意可得： ∴AB＝BC＝8，∠D＝∠ABC＝60°，AB∥CD， ∴△ABC是等边三角形， 过点C作CG⊥AB于点G，过点P作PH⊥AB于点H， 则CG＝PH， ∵，， ∴S△ABP＝S△ABC， ∵CG⊥AB， ∴， ∴， ∵EF∥BP，EF＝BP， ∴S平行四边形BEFP＝2S△ABP， ∵S菱形ABCD＝2S△ABC， ∴； 故答案为：． 4．如图，正方形ABCD的面积为25，菱形ABEF的面积为15，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为25，设正方形的边长为a， 根据正方形面积公式S＝a2（S 为正方形面积），可得a2＝25， 则a＝ ． ∵正方形边长BC也是菱形BCEF的底， ∴菱形BCEF的底BC＝ 5． ∵菱形BCEF的面积为15，底BC＝5，设菱形BCEF的高为h，根据菱形面积公式 S＝底×高，即15＝5×h， 那么h＝15÷5＝3． 阴影部分面积等于正方形面积加上菱形面积减去重叠部分三角形BCF 的面积． ∵菱形面积BCEF为15，底BC＝5，高为3， ∴三角形BCF的面积为 ． ∵正方形面积为25，菱形面积为15， ∴阴影部分面积为25+15﹣7.5﹣7.5＝16． 故答案为：16． 5．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，， ∴BD＝2OB＝6，AO＝CO， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴， ∴菱形ABCD的面积， 故答案为：． 6．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F，若PD+PF＝5，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 【解答】解：在菱形ABCD中，∠PCF＝∠PCE，∠DAB＝∠DCE＝45°，BC＝CD； ∵DE⊥BC，PF⊥CD， ∴PF＝PE， ∴DE＝PD+PE＝PD+PF＝5； ∵∠DAB＝45°，DE⊥BC ∴∠DCE＝∠CDE＝45°， ∴CE＝DE＝5， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 【解答】解：∵点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，作PM⊥AD于M，交BC于N， 则有四边形AEPM是矩形，四边形DFPM是矩形，四边形CFPN是矩形，四边形BEPN是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝1×3＝3， ∴， ∴S阴影＝1.5+1.5＝3， 故答案为：3． 8．如图，点P为矩形ABCD的边AB上一点，连接CP、DP，对角线AC交DP于点N，若△APN与△BCP的面积均为4，则△CDN的面积为　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴S▱ABCD， ∴， ∵点P为矩形ABCD的边AB上一点， ∴， ∴， ∴S△CDN+S△CPN＝S△APN+S△BCP+S△CPN， ∴S△CDN＝S△APN+S△BCP， ∵△APN与△BCP的面积均为4， ∴S△CDN＝4+4＝8， 故答案为：8． 9．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F是对角线BD上的两点，且，则四边形AECF的面积是 　 　 ． 【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为8， ∴AB＝AD＝8，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠BAD＝90°，AC⊥BD， 在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD， ∴AC＝BD，OB＝ODBD， ∵BF＝DE， ∴BE＝BD﹣BF，DF＝BD﹣DE， ∴OE＝OB﹣BE，OF＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， ∵AC⊥BD， ∴S△AECAC•OE16，S△AFCAC•OF16， ∴S四边形AECF＝S△AEC+S△AFC＝32． 故答案为：32． 10．如图，矩形ABCD中，∠ADB＝30°，AB＝2，CE⊥BD于点E，连接AE，则△AEC的面积是 　　 ． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD，EG⊥CD于点F，G， 矩形ABCD中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝2， ∵∠ADB＝30°， ∴∠CDE＝60°，ADAB＝2， ∴∠DCE＝30°， ∵CE⊥BD， ∴∠CED＝90°， ∴DECD＝1，CEDE， ∴EFDE，EGCE， ∴S△ADEAD•EF2，S△DCE•EG2， ∵△ACD的面积矩形ABCD的面积2×22， ∴△AEC的面积＝△ACD的面积﹣△ADE的面积﹣△DEC的面积＝2． 故答案为：． 训练4 特殊平行四边形的判定 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　 　 秒后，四边形BEDF是矩形． 【解答】解：设运动的时间为t秒， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8， ∴OA＝OCAC＝6，OB＝ODBD＝4，， ∵AE＝CF＝t， ∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形， ∴OE＝OD， ∴6﹣t＝4或t﹣6＝4， ∴t＝2或t＝10， ∴经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形， 故答案为：2或10． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　　 ，▱CDEB为菱形． 【解答】解：如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， 若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵AB•OCAC•BC， ∴OC． ∴OB， ∴AD＝AB﹣2OB， 故答案为：． 3．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s， 设P，Q运动时间为ts， ①当0≤t≤4时，四边形CQPD是平行四边形时，如图： 此时PD＝CQ＝3tcm， ∴t+3t＝12， 解得t＝3， ∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD； ②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝tcm， ∵AD＝BC，PD＝CQ， ∴BQ＝AP， ∴3（t﹣4）＝t， 解得t＝6； ③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t， ∴3（t﹣8）＝12﹣t， 解得t＝9， ∴t为9s时，PQ＝CD； 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，四边形CQPD是平行四边形； 当PD＝CD时，即12﹣t＝6， 解得t＝6， ∴P出发6秒时，四边形PQCD是菱形． 故答案为：3，6． 4．如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位的速度从△ABC的边BD位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．若AC＝6，则当运动了 　 　 秒时，四边形AECF是矩形． 【解答】解：当运动了3秒时，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF， ∴∠ACE+∠ACF90°， ∴∠ECF＝90°， ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠CFO＝∠DCF， ∴∠OEC＝∠ECO，∠CFO＝∠OCF， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF， ∵AC＝6，OC＝3， ∴AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形， ∴当运动了3秒时，四边形AECF是矩形． 故答案为：3． 5．△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC． （1）你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由． （2）∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？并说明理由． 【解答】解：（1）能．理由如下： ∵DF∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADFE是平行四边形； ∵AF平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠FAD， ∵AE∥DF， ∴∠EAF＝∠DFA， ∴∠FAD＝∠DFA， ∴DF＝DA， ∴四边形ADFE是菱形； （2）当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形； ∵四边形AEDF是菱形，∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形． 6．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　 　 度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF∠DAC，∠BCE＝∠MCE∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AF∥CE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD， 由（1）得：AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 7．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F，E分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF，连接BF，CF，BE，CE． （1）若BC＝EF，求证：四边形BECF是矩形； （2）已知AB＝5，BC＝6． ①当AC的长为多少时，四边形BECF是菱形？并加以证明； ②请直接写出当AF的长为多少时，四边形BECF是正方形． 【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE＝DF， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵BC＝EF， ∴四边形BECF是矩形； （2）解：①当AC＝5时，四边形BECF是菱形，证明如下： ∵AB＝AC＝5，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥BC， 由（1）知：四边形BECF是平行四边形， ∴四边形BECF是菱形； ②若四边形BECF是正方形时，BC＝EF＝6，BC⊥EF， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD＝DE＝DF＝3， ∴AD4， ∴AF＝AD﹣DF＝4﹣3＝1． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由； （3）若D为AB中点，则当∠A＝　 　 时，四边形BECD是正方形？ 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴四边形BECD是菱形； （3）当∠A＝45°时，∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， 由（2）可知，四边形BECD是菱形， ∴∠ABC＝∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝90°， ∴四边形BECD是正方形． 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝30°． 在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4tcm， ∴DFCD＝AE＝2t， ∵DF∥AB，DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t＝2t，解得：t＝10， 即当t＝10时，四边形AEFD是菱形； （2）四边形BEDF不能为正方形，理由如下： 当∠EDF＝90°时，DE∥BC． ∴∠ADE＝∠C＝30° ∴AD＝2AE ∵CD＝4t， ∴DF＝2t＝AE， ∴AD＝4t， ∴4t+4t＝60， ∴t时，∠EDF＝90° 但BF≠DF， ∴四边形BEDF不可能为正方形． 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示PB． （2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动， ∴ts时，AP＝t×1＝tcm， ∵AB＝18 cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm； （2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°， ∴四边形ACNB是矩形， ∴BN＝AD＝12 cm，AD＝DN＝18 cm， ∵CD＝23 cm， ∴CN＝CD﹣CN＝5 cm， ∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得： BC13 cm， 则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s， ∵BC+CD＝23+13＝36 cm， ∴Q运动时间最长为36÷2＝18 s， ∴6.5 s≤t≤18 s时，Q在CD边上， 此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形PQCB是平行四边形，如图所示： ∵AB∥CD即PB∥CQ， ∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm， ∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动， ∴运动时间为ts时，CQ＝2 t﹣BC＝（2 t﹣13）cm， ∴18﹣t＝2 t﹣13， 解得：t s； ②四边形ADQP是平行四边形，如图所示： 同理∵AP∥DQ， ∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形， 由（1）知：AP＝tcm， 点DQ＝CD+CB﹣2 t＝（36﹣2t）cm， ∴36﹣2t＝t， 解得：t＝12 s， 综上所述：当t s或12 s时， 直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）设Q的速度为xcm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形， ∵PB∥CQ， ∴只需满足PB＝BC＝CQ即可， 由（1）知：PB＝（18﹣t）cm， 由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1 cm， ∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13， 解得：t＝5 s，x＝5.2 cm/s， ∴当Q点的速度为5.2 cm/s时，四边形PBCQ为菱形． 训练5 特殊平行四边形的判定与性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝12，求四边形AECF的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵EF垂直平分AC， ∴EF⊥AC，OA＝OC， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA） ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）可知，OE＝OF，四边形AECF是菱形， ∴CE＝AE＝12， ∵AC⊥AB，EF⊥AC， ∴∠COE＝90°，EF∥AB， ∴∠CEO＝∠B＝30°， ∴OCCE＝6， ∴AC＝2OC＝12，OE6， ∴EF＝2OE＝12， ∴菱形AECF的面积AC•EF12×1272． 2．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB（两直线平行，内错角相等）． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE（角平分线的定义）． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∵AB＝8， ∴AB＝AE＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M， ∵∠APM＝90°﹣∠FAP＝30°， ∴AM＝2，， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴． 3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴CO2， ∴AC＝2AO＝4， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BO4， ∴BD＝2BO＝8， ∴菱形ABCD的面积AC•BD4×8＝16． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE∥CD，AE＝CD． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC． ∴AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形ADBE是平行四边形． 又∵∠ADB＝90°， ∴平行四边形ADBE是矩形． （2）解：不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α， ∴∠BEA＝∠HEA+∠HEB＝4α， ∵四边形ADBE是矩形，AB＝4， ∴∠BEA＝4α＝90°，， ∴α＝22.5°， ∴∠OEB＝∠OBE＝α＝22.5°， ∴∠EOH＝∠OEB+∠OBE＝45°， ∵EH⊥AB， ∴∠OEH＝45°， ∴EH＝OH， ∵EH2+OH2＝OE2＝2OH2， ∴， ∴． 5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接CE、OE，OE交DC于点F． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AD＝6，求OF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵DEAC， ∴OC＝DE， ∵DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：由（1）可知，OA＝DE， ∵DE∥AC， ∴四边形OADE是平行四边形， ∴OE＝AD＝6， ∵四边形OCED是矩形， ∴OFOE＝3． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵BE＝BC， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴AE∥BD． ∵BF∥AC， ∴四边形AFBO是平行四边形． ∵AC⊥BD，AE∥BD， ∴AE⊥AC， ∴∠OAF＝90°， ∴平行四边形AFBO是矩形． （2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形， ∴∠AFB＝90°，OF＝AB， ∴∠BFE＝∠FBO＝90°． 又∵∠E＝∠BOF＝30°，OF＝2， ∴BF＝1， ∴BE＝2BF＝2． 在Rt△AEC中，BE＝BC， ∴AB＝BE＝BC＝2， ∴△ABC为等边三角形， ∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝22． 7．如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，请直接写出图中和∠EBA相等的角． 【解答】（1）证明：点E是▱ABCD对角线AC上的点，BE＝AD， ∴AD＝BC＝BE， ∴∠ECB＝∠CEB， ∵∠FEC＝∠FCE， ∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE， ∴∠BEF＝∠BCF， ∵EF⊥BE交CD于点F， ∴∠FEB＝∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵▱ABCD是矩形，点E为AC的中点， ∴BE＝AE＝CEAC， ∴∠EBA＝∠BAE＝∠DCA＝∠FEC，， ∴BE＝CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠EBA＝30°， ∵EF＝CF，BE＝BC，BF＝BF， ∴△EBF△≌CBF（SSS）， ∴∠EBF＝∠CBF∠EBA， 即和∠EBA相等的角有∠BAE、∠DCA、∠FEC、∠EBF、∠CBF． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）若BF＝4，求BG的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥CF，AD∥BC， ∴四边形ABCF是平行四边形，∵∠A＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）解：∵四边形ABC分式正方形， ∴BC＝AF，∠FBC＝45°， ∵点F是AD的中点， ∴AF＝DF＝BC， ∵BC∥DF， ∴四边形BCDF是平行四边形，∴BF∥CD， ∵EF⊥CD， ∴BF⊥EF， ∴△BFC是等腰直角三角形， ∴BGBF＝4． 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，OB＝3，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD． ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形， 又∵AC＝EF， ∴四边形AECF是正方形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形． 由勾股定理得：． 又∵四边形AECF是正方形，AC＝EF，且AC、EF互相平分， ∴OE＝OA＝2， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2． 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EHQP的三个顶点E，H，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，BH＝2，连接DP． （1）若CQ＝2，求证：四边形EHQP为正方形； （2）若DQ＝6，求△PDQ的面积． 【解答】（1）证明：若CQ＝2，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8， ∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵BH＝2， ∴BH＝CQ＝2， ∵四边形EHQP是菱形， ∴EH＝HQ， 在Rt△BHE和Rt△CQH中， ， ∴Rt△BHE≌Rt△CQH（HL）， ∴∠BEH＝∠CHQ， ∵∠BEH+∠BHE＝90°， ∴∠CHQ+∠BHE＝90°， ∴∠EHQ＝180°﹣（∠CHQ+∠BHE）＝90°， ∴菱形EHQP是正方形； （2）解：若DQ＝6，过点P作PF⊥CD于点F，如图2所示： ∴∠PFQ＝∠C＝90°， ∵CD＝8， ∴CQ＝CD﹣DQ＝8﹣6＝2， 由（1）可知：此时菱形EHQP是正方形， ∴∠PQH＝90°，PQ＝QH， ∴∠PQF+∠HQC＝90°， 又∵∠QHC+∠HQC＝90°， ∴∠PQF＝∠QHC， 在△PQF和△QHC中， ， ∴△PQF≌△QHC（AAS）， ∴PF＝CQ＝2， ∴△PDQ的面积是：DQ•PF6×2＝6． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $