专题14 全等模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题14 全等模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 10 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 14 17 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 例2（24-25八年级上·广东江门·期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． (1)如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为________． (2)加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 例3（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 例4（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F． (1)提出问题：当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； ②当时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论________ (4)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡一题多解，有三位同学给出了思路，请结合以下思路或者其他思路写出证明过程．（注：使用两种及以上方法正确证明得全分） 思路1：要证明数量关系，可以通过证明三角形全等来实现，如果没有全等可以构造全等三角形，可以是角平分线、中线、高线等； 思路2：由于，联想通常在等边三角形出现，考虑在内部构造等边三角形； 思路3：由于有条件，，出现边角重合，考虑可以通过构造折叠图形来证明全等． 例2（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F．    (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 例2（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 1.（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 3.（24-25·福建·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 4．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 7.（24-25七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 8．（24-25八年级下·四川达州·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． (1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） (2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由． 【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______． 【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 10．（2024·河南郑州·三模）【问题背景】如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】（2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 11.（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 12.（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 13.（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 14.（24-25九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 15.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】（3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 16.（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 全等模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 10 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 14 17 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，， ，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，，∴，则． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 例2（24-25八年级上·广东江门·期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． (1)如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为________． (2)加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)(2)成立，见解析 【详解】（1）解：∵平分，，，∴；故答案为：； （2）解：上述结论仍然成立．理由如下： 如图2，过点C分别作，垂足为F，，垂足为G． ∴，∴ ∵为的角平分线， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 例3（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)“＝”(2)成立，证明见解析(3)不成立；它们的关系是：；理由见解析 【详解】（1）解： ∵DE⊥AC ，∴∠DEC＝90°，又∵∠EDF＝90°，，∴四边形CEDF是矩形， ∵D为AB中点，∴E为AC中点，∴，同理可得， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°， 又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC， ∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND， ∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF， 在△DME与△DNF中， ，∴△DME≌△DNF（ASA）， ∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC； （3）解：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC，理由如下：连接DC， 证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 例4（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2 【详解】（1）连 ∵P是的中点，，∴ ∵，∴ ∴四边形是矩形， ∴ 又∵∴∴；故答案为：2； （2）结论成立．连接，如图②．是等腰直角三角形，是的中点， ，，． ，．． 又，．≌． ，． （3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③， 由（2）可知：，，，，． ， 又，≌，． ，．的周长是2． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F． (1)提出问题：当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； ②当时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论________ (4)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡一题多解，有三位同学给出了思路，请结合以下思路或者其他思路写出证明过程．（注：使用两种及以上方法正确证明得全分） 思路1：要证明数量关系，可以通过证明三角形全等来实现，如果没有全等可以构造全等三角形，可以是角平分线、中线、高线等； 思路2：由于，联想通常在等边三角形出现，考虑在内部构造等边三角形； 思路3：由于有条件，，出现边角重合，考虑可以通过构造折叠图形来证明全等． 【答案】(1)不变(2)①，；②；；(3)(4)证明见详解 【详解】（1）解：根据题意可知，当绕着点D运动时，线段与的数量关系不发生改变； （2）解：①，点为边的中点， 即为的角平分线，， ，， 为等边三角形，故， ②解：连接，，，点为边的中点， 即为的角平分线，，， ，， ，； （3）观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论； （4）解：法一：过点作，，垂足分别为，， 点为边的中点，，，，， ，，，， 在四边形中，，，， 在和中，，，； 法二：在上截取，点为边的中点，，，， ，，， 在四边形中，，， 则，，，又， 例2（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC， 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 例3（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F．    (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴，即． ∵点D是的中点，∴，∴，∴； （2）①如图，过点D作．    ∵，∴， ∴，即．∵是等边三角形，点D是中点， ∴，∴是等边三角形，∴，． 在和中，∴，∴； ②∵，∴．∵， 又∵，∴， ∴之间的数量关系为． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：作于，于，如图所示： ，， ，，， 平分，于，于，， 在和中，，∴，， 在和中，，，，， ，为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵，∴，∴，故②正确； ∵，，定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的，的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④．故答案为：①②④． 例2（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【答案】（1）；（2）结论成立，见解析 【详解】解：（1）结论：． 理由：，，， ，，．．故答案为：． （2）结论成立．理由：如图②中，作于，于． 平分，，，， ，，， 在和中，，，． 1.（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：如图，作于E，于F．则， 又点P为定角的平分线上的一个定点，， 与互补，， ，又，， 在和中，，，，故（1）正确； ，，， 的值不变；故（2）正确； ，四边形的面积四边形的面积，故（3）正确； 点M，N的位置是变化的，的长改变，故（4）错误；综上可知，正确的个数是3个，故选B． 2.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：①如图，连接，作于，于，则， ，， ∵为等边三角形，为的中点，∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∵于，于，∴， ∴，∴，故①正确； ②如图：作交于，则，， ∴为等边三角形，，∴，，∴； 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ③如图，作于，∵，∴设，则，∴， 由②可得：，∴，∴，∴， ∴，∴， 由②可得：，∴，∵，∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵，∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴，∴， ∵，∴，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：A． 3.（24-25·福建·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ，，，， ，， 平分，，，， 在和中，， ，， 在和中，，， ，故①正确，，定值，故③正确， 定值，故②正确， 的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵等边，∴，如图，作交于点， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵为的中点，∴，∵，， ∴，∵， ∴，∴，∵，，∴，， ∴，∴，故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 【答案】3 【详解】解：过点作，垂足为点．∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，且，∴，∴， ∵，∴故①错误， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∵∴，∵，∴，故③正确， ∵，∴， ∴．故④正确．故答案为3． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，∴， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， 根据题意得：，∴，∴，即， 在和中，∵，，，∴，∴， ∴四边形的面积．故答案为：9 7.（24-25七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)结论正确，证明见解析(3)结论：OE=2OD．证明见解析 【详解】（1）证明：如图1中， 在△OPD和△OPE中，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD=∠POE． （2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K． ∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，∴∠HPK=120°，∵∠DPE=∠HPK=120°，∴∠DPH=∠EPK， ∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°， 在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH=PK， 在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD=PE． （3）解：结论：OE=2OD．理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD=∠POT， 在△POD和△POT中，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP=∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°， ∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，∴∠ODP=120°，∠PEO=60°， ∴∠OTP=∠ODP=120°，∴∠PTE=60°，∴∠TPE=∠PET=60°，∴TP=TE， ∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，∴∠TOP=∠TPO=30°，∴OT=TP，∴OT=TE，∴OE=2OD． 8．（24-25八年级下·四川达州·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． (1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） (2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由． 【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______． 【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)＝(2)，理由见解析(3)(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC， ∵PE⊥OA，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90° ∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP 又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE=PF，故答案为：=； （2）解：PE=PF，理由如下：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∵PM⊥OA，PN⊥OB，，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°， 与（1）同理可证PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN， 在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF； （3）解：GE2+FH2=EF2，理由如下：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°， ∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF， 在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），∴GE=OF， 同理可证明△EPO≌△FPH，∴FH=OE， 在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2； （4）解：PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H． 在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH， ∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH， 在△PGE和△PHF中，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析  （2），理由见解析 【详解】（1）. 证明：如图，过点 作于，于.故 ∵平分，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵ ，∴ . ∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2），理由：如图，过点作于，于，故 ∵平分，∴， 在和中， ，∴，∴ ， ∵，∴，∵ ，∴， 在和中， ，∴，∴． 10．（2024·河南郑州·三模）【问题背景】如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】（2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【答案】（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【详解】（1）解：∵，∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴或，∴，解得：， ∴，，，∴，故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分，故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：；证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，∴，， ∵四边形是“对补四边形”，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 选择猜想2：；证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵，，，∴平分； 11.（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 12.（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）DB=DC，理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）AB=AC+2BE，理由见解析． 【详解】解：（1）结论：DB=DC．理由：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°， ∵∠DAC=∠DAB，AD=AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD=CD．故答案为BD=CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB． （3）结论：AB=AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE． 13.（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 14.（24-25九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB 【详解】解：（1）如图1中， ∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4， ∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°， 又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1． （2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB． （3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB． 15.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】（3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，，见解析；②， 【详解】解：（1）①选择小喆同学的解题思路：证明：如图1，过A作于G，于H， ，平分，， ，，， ，，， ，，，即， 又，，，， ， ，平分，，，，． ②选择小昀同学的解题思路：如图2，在射线上截取，连接， ，平分，， ，是等边三角形，，，， ，，，， ，，又，，， ，，． （2）证明：方法一：如图3，过A作于G，于H，， 平分，，，，． ，，， ，，，即， 又，，，， ， ，平分，，，，． 方法二：如图4，在上截取，连接． ，平分，， ，是等边三角形，，， ，，，即， ，，， 又，，，， ，． （3）①结论：当时，，． 理由：如图5，连接，是等边三角形，，， 点C与点D关于直线对称，是线段的垂直平分线， ，，，， ，，． 在上取点M使，连接，，是等边三角形， ，，，即， ，，，． ②，．如图6，连接， 点C与点D关于直线对称，是线段的垂直平分线， ，，， ，， ，． 在上截取，连接，，是等边三角形， ，，，，， ，． 16.（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【答案】(1)①60，；②，，见解析(2)，见解析 【详解】（1）解：①当点与点重合时， 在中，，点为边的中点， 根据等腰三角形三线合一性质可知， ，是等边三角形， ，．故答案为：60， ②解：连接，，点为边的中点， 即为的角平分线，， ，，，， ，， ∴； （2）方法1：过点D作，，垂足分别为M，N， 点为边的中点，，，，， ，，，， 在四边形中，，，， 在和中，，，； 方法2：在上截取，点为边的中点，， ，，，，， 在四边形中，，， 则，，，又，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $