专题13 全等模型之半角模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题13 全等模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 6 16 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形，， ，E、B、N三点共线， ，，，，， ，，，， ；故答案为：； （2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，，E在上， 四边形是正方形，，， ，，，， ，，； （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ，， E、B、N三点共线， ，，，，． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级上·广西·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______． (2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系． 【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接，交于点．               四边形为正方形，且， ，且平分，且，∴， ，即，， 在和中，， ，同理可得，， ．故答案为：； （2）解：成立，理由如下：如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中，，，， ，，，， 在和中，，， 又，． （3）解：，如图，在上截取，连接， 和中，， ，，，即， ，， 在和中，， ，，． 例2（24-25八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)10 【详解】（1）解：如图1，延长，在射线上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即．∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：； （2）答：．证明：如图，在线段上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即． ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：如图，作，交延长线于点H，延长交于点G． ∵，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴． ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 例3（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)不成立， 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，即，， 在和中，，，， ，． （2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，， 在和中，，，， ，即． 例4（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，∵是等边三角形，∴， ∵ ，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵ ，∴， 又∵，∴是以为边长的钝角三角形，故选：． 例5（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例6（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 【答案】（1）4；（2），证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）正方形的边长为2，，，， ，的周长为故答案为：4； （2） 证明：如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角度为的度数，得到， 由旋转的性质可知，，，，， ，，， ，点H、B、F三点共线， 在和中，，， ，； （3）， 理由如下：在上截取， ，，， 在和中，，，，， ，， ， 在和中，，， ，． 例7（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，∴，， ∴， ∵，∴， 在和中， ，∴， ∴， ∵，∴，故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下：如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ，∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，，∴， ∴， ∵，∴，∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴ 的周长为，故答案为：． 1.（24-25·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN， 由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°， ∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，∴∠NBM=∠NBH， 在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x， ∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°， ∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（    ） 平分；平分；；的周长正方形边长的倍 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵将绕点顺时针旋转了，∴，，，，∴，∴三点共线， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，，， ∴平分，故正确； ∵，∴，∴平分，故正确； ∴的周长， ，故正确；综上可知：正确，故选：． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则等于 （用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，G、B、E三点共线，如图所示： 则，，∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵∴∴， ∴，故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于 ．（用含α的式子表示） 【答案】 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形是正方形，，，， ，，四边形是矩形，，， 在和中，，，，， 将绕点顺时针旋转得到，则，，， 点、分别在、上，， ，，， ，、、三点在同一条直线上， 在和中，，，，， ，，， ，，故答案为：． 5．（24-25九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：． （2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）五边形的周长为． 【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． ∴，，，， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴点、、三点共线，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，； （2）解：将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，    ，，，，， ，，， ，，，， ∴五边形的周长， ∴五边形的周长． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，E，F分别在边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：如图1，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长=______； （2）如图2，在四边形中，．E，F分别是线段上的点．且．探究图中线段之间的数量关系； （3）如图3，若在四边形中，，E，F分别是线段上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）10；（2）；（3）成立，见解析 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：10； （2），延长至点，使得，连接， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即； （3）结论仍然成立，理由如下： 延长至点，使得，连接，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即． 7．（24-25七年级下·成都·假期作业）在正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． (1)当绕点旋转到时（如图①），求证：； (2)当绕点A旋转到时（如图②），线段、和之间的数量关系是__________； (3)当绕点A旋转到如图③所示的位置时，猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，作于点， ∵，∴平分，∴， ∴，，∴平分，平分， ∵，，∴，，，，∴，， ∵，∴． （2）解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴，，，∴， 在和中，，∴，∴，，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． （3）解：，理由：在上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 答：线段、和之间的数量关系为． 8．（24-25九年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证． (1)当绕点A旋转到时（如图2），上面的结论还成立吗？说明理由． 填空：若周长为8，则正方形边长为 ． (2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图3中，若，求的面积为 ． 【答案】(1)成立，见解析；4(2)，见解析(3) 【详解】（1）解：成立；理由如下： 如图，过点A作交的延长线于点E，∴； ∵四边形是正方形，∴， ∴，，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴； ∵的周长为8，即，∴， 即，∴； ∵，∴，即正方形的边长为4；故答案为：4． （2）解：；理由如下：如图，过点A作交直线于点E，∴； ∵四边形是正方形，∴， ∴，，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴； （3）解：由（2）知，， ∴．故答案为：． 9．（24-25九年级下·广东·假期作业）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， 又正方形中，，，，，三线共线， ，， 在和中，，， ， ，． （2）解：，理由如下：如图，在上取，连接， 在正方形中，，，， 在和中，，，，， ，，， 在和中，，，， ，． （3）解：,理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ，，，，三点共线， 由（1）同理可得，． 10.（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°． （1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形； （2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形； （3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C， ∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝15°， ∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形； （2）∵点D，点F关于直线AE对称，∴AD＝AF，AE垂直平分DF， ∴∠DAE＝∠FAE＝30°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形； （3）如图，连接EF，∵∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAF， 又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，∴∠ECF＝120°， ∵AE垂直平分DF，∴DE＝EF，∵△EFC是钝角三角形，∴以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，∴以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形． 11.（24-25八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析； 【详解】解：（1），；理由如下： ，，是等边三角形，， ，，， 是等边三角形，，， 在和中，， ，，， ，； ，，，，是等边三角形， ，的周长， 等边的周长，； （2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接， 是等边三角形，，，，， ，即，， 在和中，，，， ，，， ，即， 在和中，，， ，，；根据（1）可得 （3），理由如下：如图3，在上截取，连接， 由（2）知：，， 在和中，，，， ，， 在和中，，， ，，； ②．如图3，等边的周长为L， ，的周长 ．故答案为． 12.（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析； (3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析． 【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG， ∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°． 又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF． ∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD； （2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立． 证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D， 在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3． ∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF． 在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF； （3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD． 证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF． 在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD． 13.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明；②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形，，， 点、分别为、中点，，， ，，； （2）解：．证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ，，点、、共线，，， ，即． 在和中， ，， ，； （3）解：①（2）中的结论不成立．证明：如图所示． ，把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，点、、在一条直线上．，，． 又，． ，．． 在和中，，．． ，，∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②，证明：如图所示． 由①知，，∴， ∴，∴； [模型建立]成立，如图，． 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上，，， ，， ，，，， ，∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用]解：是边长为的等边三角形，，， ，， ，，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ，，，， ，，，，， 的周长． 14.（24-25八年级下·贵州·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【详解】解：（1）， 理由如下：沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，，∴， ∵，，，∴，∴，， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，，∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：，故答案为：8； （3），理由如下：如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，，∴， 在与中，，∴，∴，， ∴，∴， ∵，，∴，∴，且，∴． 15．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析（2），，图见解析（3），理由见解析 【详解】（1） 证明：如图2，平分， ， ，，，，， ，，，，，， ，． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，，， 在与中，，，， ，，，即， 在与中，，，， ，． 16．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形，，，∴， ，，， ，，， ，， ，故答案为：； （2）解：成立，理由如下：延长到点，使，连接， ∵，∴，∴， ，，，， ，，，， ，，； （3）解：延长到点，使，连接，则， 与互补，， ，，，，， ，，， ，，， 的周长为，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 全等模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 6 16 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级上·广西·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______． (2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系． 例2（24-25八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 例3（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 例4（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例5（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例6（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 例7（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 1.（24-25·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（    ） 平分；平分；；的周长正方形边长的倍 A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则等于 （用含的式子表示）． 4．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于 ．（用含α的式子表示） 5．（24-25九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：． （2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，E，F分别在边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：如图1，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长=______； （2）如图2，在四边形中，．E，F分别是线段上的点．且．探究图中线段之间的数量关系； （3）如图3，若在四边形中，，E，F分别是线段上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 7．（24-25七年级下·成都·假期作业）在正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． (1)当绕点旋转到时（如图①），求证：； (2)当绕点A旋转到时（如图②），线段、和之间的数量关系是__________； (3)当绕点A旋转到如图③所示的位置时，猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由． 8．（24-25九年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证． (1)当绕点A旋转到时（如图2），上面的结论还成立吗？说明理由． 填空：若周长为8，则正方形边长为 ． (2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图3中，若，求的面积为 ． 9．（24-25九年级下·广东·假期作业）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 10.（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°． （1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形； （2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形； （3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形． 11.（24-25八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 12.（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 13.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明；②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 14.（24-25八年级下·贵州·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 15．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 16．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $