专题04 三角形（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材北师大版

专题04 三角形 认识三角形 （一）三角形的定义 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 （二）三角形的基本元素 3个顶点、3条边、3个内角 （三）三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 （2）按边分：等腰三角形、等边三角形。 （四）三角形的三边关系 意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （五）三角形的三条重要线段 （1）三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。 性质： ①任意三角形都有三条高线。 ②锐角三角形：三条高交于三角形内部；直角三角形：两条高与直角边重合，三条高交于直角顶点；钝角三角形：两条高在三角形外部，三条高延长线交于外部一点。 （2）三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 性质： ①任意三角形有三条中线，交于三角形内部一点（重心）。 ②一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 （3）三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 性质： ①任意三角形有三条角平分线，交于三角形内部一点（内心）。 ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 （六）三角形的内角和 （1）定理：三角形内角和等于 。 （2）推论 ①直角三角形两锐角互余（和为）。 ②三角形任意一个外角，等于和它不相邻的两个内角之和。 全等三角形 （一）全等三角形的定义 （1）定义：能够完全重合的两个三角形，称为全等三角形。 （2）重合要求：两个三角形的形状、大小必须完全一致，缺一不可。 （3）对应元素：两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 （4）书写规范：书写全等符号时，需按照对应顶点的顺序书写。例如，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F分别为对应顶点，做题时可依据书写顺序快速找出对应边、对应角。 （二）全等三角形的性质 （1）基本性质：对应边相等、对应角相等。 （2）延伸性质 ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的面积相等 ③对应线段相等：全等三角形对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的角平分线，长度全部相等。 探索三角形全等的条件 （一）SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等。 适用：已知多条边长，无角度条件的题型。 （二）SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ⚠️ 注意：必须是两边中间的夹角，非夹角不能判定。 （三）ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 （四）AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （五）HL（斜边、直角边） 仅适用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。 三角形的定义与分类 【例1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，以为一个内角的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 构成三角形的条件 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（    ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．1，2，4 D．1，1，2 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 画三角形的高 【例3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 三角形的三条重要线段 【例4】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【变式4-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【变式4-3】（25-26七年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 三角形的内角和 【例5】．（25-26七年级下·福建宁德·期中）在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，若，则的度数为__________． 【变式5-3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 全等三角形的概念与性质 【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式6-1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【变式6-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【变式6-3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______． 全等三角形的判定：SSS 【例7】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【变式7-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 全等三角形的判定：SAS 【例8】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：． 【变式8-1】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，．说明：与是否全等？并说明理由． 【变式8-2】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【变式8-3】（25-26八年级上·四川广元·期末） 如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 全等三角形的判定：ASA与AAS 【例9】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式9-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【变式9-3】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 易错点一 等腰三角形的相关计算中忽略构成三角形的条件 等腰三角形边长、角度计算常分情况讨论，算出结果后必须验证任意两边之和大于第三边，不符合条件的情况要舍去，避免出现无效解。 易错点二 确定第三边的取值范围 依据三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和；计算时注意取不等号，不能取等号，同时结合题目限制条件进一步缩小范围。 等腰三角形的相关计算 【例10】（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【变式10-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【变式10-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 确定第三边的取值范围 【例11】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式11-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 全等三角形判定的综合应用 【例12】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【变式12-1】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，，，． (1)请说明：． (2)与相等吗？请说明理由． 【变式12-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 技巧1 倍长中线模型 · 构造方法：延长三角形中线至一倍长度，连接端点，构造全等三角形（SAS）。 · 核心作用：转移线段、角，将分散线段集中到同一三角形中，证明线段相等、不等或求值。 技巧2 一线三等角模型 · 特征：同一条直线上出现三个相等的角，常搭配一组边相等。 · 结论：可证两组三角形全等，多用于角度推导、线段等量证明。 · 常见类型：普通锐角型、直角型（三垂直）、钝角型。 技巧3 手拉手模型 · 特征：两个共顶点的等腰三角形/等边三角形，形似“拉手”。 · 核心结论：拉手线段相等、对应夹角相等，利用SAS证三角形全等。 · 用途：证明线段相等、角度相等、线段垂直。 技巧4 半角模型 · 特征：大角内部包含一个等于其一半的小角，多出现于正方形、等腰三角形中。 · 构造思路：旋转图形，将分散边角拼接，转化为全等三角形。 · 常用结论：线段和差关系、角度定值。 倍长中线模型 【例13】（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连结，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．SSS                B．SAS                C．AAS                D．ASA (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结．⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【变式13-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【变式13-2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【变式13-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 一线三等角模型 【例14】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式14-1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【变式14-2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【变式14-3】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 手拉手模型 【例15】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． (1)【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____． (2)【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程． (3)【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积． 【变式15-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 【变式15-2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【变式15-3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 半角模型 【例16】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【变式16-1】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式16-2】（25-26七年级下·山东威海·月考）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 认识三角形 （一）三角形的定义 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 （二）三角形的基本元素 3个顶点、3条边、3个内角 （三）三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 （2）按边分：等腰三角形、等边三角形。 （四）三角形的三边关系 意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （五）三角形的三条重要线段 （1）三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。 性质： ①任意三角形都有三条高线。 ②锐角三角形：三条高交于三角形内部；直角三角形：两条高与直角边重合，三条高交于直角顶点；钝角三角形：两条高在三角形外部，三条高延长线交于外部一点。 （2）三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 性质： ①任意三角形有三条中线，交于三角形内部一点（重心）。 ②一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 （3）三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 性质： ①任意三角形有三条角平分线，交于三角形内部一点（内心）。 ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 （六）三角形的内角和 （1）定理：三角形内角和等于 。 （2）推论 ①直角三角形两锐角互余（和为）。 ②三角形任意一个外角，等于和它不相邻的两个内角之和。 全等三角形 （一）全等三角形的定义 （1）定义：能够完全重合的两个三角形，称为全等三角形。 （2）重合要求：两个三角形的形状、大小必须完全一致，缺一不可。 （3）对应元素：两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 （4）书写规范：书写全等符号时，需按照对应顶点的顺序书写。例如，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F分别为对应顶点，做题时可依据书写顺序快速找出对应边、对应角。 （二）全等三角形的性质 （1）基本性质：对应边相等、对应角相等。 （2）延伸性质 ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的面积相等 ③对应线段相等：全等三角形对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的角平分线，长度全部相等。 探索三角形全等的条件 （一）SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等。 适用：已知多条边长，无角度条件的题型。 （二）SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ⚠️ 注意：必须是两边中间的夹角，非夹角不能判定。 （三）ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 （四）AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （五）HL（斜边、直角边） 仅适用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。 三角形的定义与分类 【例1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，以为一个内角的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的个数问题，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 将图中以为一个内角的三角形全部列举出来，即可得出答案． 【详解】解：以为一个内角的三角形有、、、，共4个． 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∴， ∴、、都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3个， 故选：B． 构成三角形的条件 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（    ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．1，2，4 D．1，1，2 【答案】A 【详解】解：选项A中，两条较短边为和，最长边为，，满足三边关系，符合题意； 选项B中，两条较短边为和，最长边为，，不满足三边关系，不符合题意； 选项C中，两条较短边为和，最长边为，，不满足三边关系，不符合题意； 选项D中，两条较短边为和，最长边为，，不满足三边关系，不符合题意． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】或 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴，， ∴，， 当6为底边长时，腰长为4， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 当4为底边长时，腰长为6， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 画三角形的高 【例3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格即可画出的高； （2）根据网格即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积为． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）根据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和三角形的中线的性质，熟知三角形的高的定义和三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 三角形的三条重要线段 【例4】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 【变式4-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 【变式4-2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 【变式4-3】（25-26七年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 三角形的内角和 【例5】．（25-26七年级下·福建宁德·期中）在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和为代入已知角度求解即可． 【详解】解：在中，，，则． 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 【变式5-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义得，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又，且， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 全等三角形的概念与性质 【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 【变式6-1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 【变式6-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 【变式6-3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质可得，推出，结合与的长度求出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， ． 全等三角形的判定：SSS 【例7】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【变式7-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由已知得，即，利用边边边即可判定全等． 【详解】解：这两个三角形全等； 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 全等三角形的判定：SAS 【例8】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，，可得，根据可得，利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，．说明：与是否全等？并说明理由． 【答案】全等，理由见解析 【分析】先证明，，再利用证明即可． 【详解】解：全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式8-2】（25-26七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级上·四川广元·期末） 如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 全等三角形的判定：ASA与AAS 【例9】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求证； （2）由全等三角形的性质可得，即得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式9-3】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴． 易错点一 等腰三角形的相关计算中忽略构成三角形的条件 等腰三角形边长、角度计算常分情况讨论，算出结果后必须验证任意两边之和大于第三边，不符合条件的情况要舍去，避免出现无效解。 易错点二 确定第三边的取值范围 依据三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和；计算时注意取不等号，不能取等号，同时结合题目限制条件进一步缩小范围。 等腰三角形的相关计算 【例10】（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需分情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，得到正确结果. 【详解】解：∵等腰三角形已知两边长为和，第三边有两种可能，分情况讨论： ∴当第三边长为， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形； ∴第三边长为. 【变式10-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【答案】C 【分析】利用绝对值和平方的非负性先求出m，n的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【答案】12 【分析】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当a为腰时，，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：． 故答案为：12． 【变式10-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 确定第三边的取值范围 【例11】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 【变式11-1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 【变式11-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系求解，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的值即可得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系可知，第三边满足， 将，代入得，即． 故答案为：． 全等三角形判定的综合应用 【例12】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式12-1】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，，，． (1)请说明：． (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据等式的性质即可证明； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∴． 【变式12-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再证明，即可得证； （3）分3种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ①当点在线段上时，如图1， 由（1）知，； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图2， 由（2）可知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在线段的延长线上时，作交的延长线于点，如图： 同法可得：，， ∴，，， ∴ ∴， ∴； 综上：或或. 【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明， 得， 则，再证明， 得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 技巧1 倍长中线模型 · 构造方法：延长三角形中线至一倍长度，连接端点，构造全等三角形（SAS）。 · 核心作用：转移线段、角，将分散线段集中到同一三角形中，证明线段相等、不等或求值。 技巧2 一线三等角模型 · 特征：同一条直线上出现三个相等的角，常搭配一组边相等。 · 结论：可证两组三角形全等，多用于角度推导、线段等量证明。 · 常见类型：普通锐角型、直角型（三垂直）、钝角型。 技巧3 手拉手模型 · 特征：两个共顶点的等腰三角形/等边三角形，形似“拉手”。 · 核心结论：拉手线段相等、对应夹角相等，利用SAS证三角形全等。 · 用途：证明线段相等、角度相等、线段垂直。 技巧4 半角模型 · 特征：大角内部包含一个等于其一半的小角，多出现于正方形、等腰三角形中。 · 构造思路：旋转图形，将分散边角拼接，转化为全等三角形。 · 常用结论：线段和差关系、角度定值。 倍长中线模型 【例13】（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连结，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．SSS                B．SAS                C．AAS                D．ASA (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)见解析 (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴. （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式13-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式13-2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式13-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 一线三等角模型 【例14】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【详解】（1）解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． （2）证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式14-1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， 则． （2）解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 ， 【变式14-2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式14-3】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）①已知这两个三角形都是直角三角形且有一组对应边相等，只需要再找一组对应角相等即可，结合已知条件，通过同角的余角相等即可证明，进而可由得证；②由①可知，利用线段的和差关系进一步分析即可证明． （2）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． （3）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）、、的关系为：； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． （3）、、的关系为：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． 手拉手模型 【例15】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． (1)【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____． (2)【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程． (3)【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，，解答过程见解析 (3) 【分析】（1）第一问根据等腰直角三角形的判定和性质进行解答即可； （2）第二问需要作辅助线，构造全等三角形（见详解图），把线段与的数量关系转化为线段与的数量关系，再利用三角形中位线的性质即可解答； （3）第三问是考察特殊角的计算，利用含的直角三角形的短边是斜边的一半这个性质解出的长度，从而解出长度，利用第二问的答案解出的高的长度即可求得的面积． 【详解】（1）解：，， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ， 即是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， 是等腰直角三角形， ， 即且． （2）解：，，理由如下： 延长到，使得，连接，． ，， 是的垂直平分线， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， 是的中位线， ，, ，． （3）解：连接，过点作于点K， , , ， ， ， ∴， ∴， 由（2）可得，，且， ． 【变式15-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理求直角三角形的边长，等腰三角形的性质等知识，综合性强． （1）与的关系为：，．通过证明，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得，，再证，从而证得； （2）①，证明思路：先证明，是等腰三角形，通过已知条件，，结合三角形内角和定理，推导出， ，从而证得； ②，证明思路：过点A作交延长线于点H，先证 ，从而证明是等腰直角三角形，再证，由全等三角形的性质可得，结合等腰直角三角形性质，证得； ③先证，结合②的结论以及，得到，再求得，在中，由勾股定理可知，， 运用完全平方公式，变形得到，从而求得的值，最后求得的面积． 【详解】（1）解：与的关系为：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故，； （2）解：①，理由如下： ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度得到线段， ∴，， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 同理，在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②，证明如下： 如图，过点A作交延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 由①可知，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由②可知，，， ∴， 即． 由②可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式15-2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【变式15-3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（2），证明见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由： 如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 半角模型 【例16】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【变式16-1】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式16-2】（25-26七年级下·山东威海·月考）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $