专题11 全等模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题11 全等模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 10 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 例2（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上取点，使，点在上，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的度数． 例3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 例4（24-25八年级上·河北张家口·期末）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 例5（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 例2（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 5．（2025·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 6．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践：数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 9．（24-25·河南·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 10．（25-26·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE； （2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α， 补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 11．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 12．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 13．（24-25七年级下·广东·专题练习）如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 15．（24-25·黑龙江·八年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 17．（24-25七年级下·山东泰安·期末）【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 18．（24-25七年级下·河北·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．(1)如图1，，，则______；(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 10 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例2（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上取点，使，点在上，连接，且，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴， 设，则， ∴∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 例3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【详解】解：（1）∵， ∴，且，∴， 在和中，，∴； （2）成立，证明如下：∵， ∴，且，∴， 在和中，，∴，， ∴，，∴． （3）同（2）可证，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，，∵，∴． ∵，∴与的面积之和为8． 例4（24-25八年级上·河北张家口·期末）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）20． 【详解】（1）证明：∵，，∴． ∵，∴．∵，∴． 在和中，∴， ∴，，∴． （2）解：结论成立． 证明如下：∵，∴，∴． 在和中，∴， ∴，，∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得，∴，． ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，∴． 在和中，∴，∴，， ∴，∴为等边三角形． ∵的周长为60，∴D．由（2）可知，． 例5（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 【答案】（1）； （2）；（3）河流另一边森林公园的面积为． 【详解】解：（）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （）如图，过作于，过作交延长线于，∴， ∵面积为，且的长为，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴河流另一边森林公园的面积为． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 【答案】1.2 【详解】解：，， ，，，， 在和中，，∴， ，， ，． 例2（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：①于，于，， ，，， ，； ②，，，； （2）证明：， ，，， 在和中，， ，，； （3）解：，理由如下：同（2）可证， ，，. 例3（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴； （3）如图，∵在等腰三角形ABC中，，， ∴与等高，底边比值为：．∴与面积比为：．    ∵的面积为21，∴与面积分别为：7，14．∵，∴． ∵，，，∴．∴． ∵，，．∴．∴与面积相等， ∴与的面积之和为的面积．∴与的面积之和为14． 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， ∴，∴，∴， 在和中，，∴； 由题意得：，，∴．故选：D． 2．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，． ，， 在和中，，∴， ，，，故选：． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 【答案】7 【详解】解：∵，∴． ∵，∴．∴， 在和中，∵， ∴，∴，， ，．故答案是：7． 5．（2025·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【答案】48 【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴故答案为：48． 6．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】，，，， ，，， 在和中，，∴，，， ，，，， ，故答案为：． 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践：数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1)(2)，理由如下：(3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴，又∵，∴，∴， （2）解：，理由如下：同理可得， ∴，∴； （3）解：如图所示，过点A作于F，∴， 又∵，∴，∴；∵E是中点，∴； 当时，则，∴，∴； 当时，则，∴，∴，∴； 综上所述，点Q的运动速度为或。 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为，， ，， 在和中，，． （2）解：由（1）得，， ，，的长是． （3）解：如图，作于点，则， ，，， 在和中，，，，， ，，在和中，，，， ，， ，，， ，，，线段的长为． 9．（24-25·河南·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解 【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）DE＝BD＋CE．理由如下：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE． 10．（25-26·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE； （2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α， 补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=，证法见详解，（3）180º-，DE=EC-BD，证明见详解． 【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC， ∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°， ∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA， 又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS）， BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE． （2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α， ∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA， ∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE， ∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE． （3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD， ∵∠ADB＝∠AEC＝ 180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE， ∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD． 11．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②见解析 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E．∴， ∵，∴ 又∵，∴， 在和中∴∴； （2）解：∵，．∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中∴∴； （3）证明：①∵，∴，由（2）得，∴ ∵，∴∴； ②∵，∴，∵F为的中点，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴． 12．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：，，，， ，，， 在与中，， ； （2）解：，，， ，． 13．（24-25七年级下·广东·专题练习）如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，垂直，见解析(2)存在，，或， 【详解】（1）解：全等，垂直； 理由如下：当时，，，又， 在和中，，（）， ，，，即线段与线段垂直； （2）解：存在；理由： ，，， ①若，则，，则，解得：； ②若，则，，则，解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴． 15．（24-25·黑龙江·八年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-．∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴ ∴，，∴； （2），证明：由题意可得，， ∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴ ∴，，∴； （3）设，则，∴ ∵，∴∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得∴，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵面积为18∴∴， ∵的长为9，∴，∴ 17．（24-25七年级下·山东泰安·期末）【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）证明见解析 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，同理可证明：，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是的中点． 18．（24-25七年级下·河北·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．(1)如图1，，，则______；(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 【答案】(1)4(2)，见解析(3)30 【详解】（1）解：，垂足为D，，垂足为E， ，， 在中，，，，， 在和中，，， ，，， ，，，故答案为：4； （2）解：，，的关系是：，证明如下： ，垂足为D，，垂足为E，，， 在中，，，，， 在和中，，，，， ，； （3）解：过点A作于点H，如图所示： 在中，，，，，， 于点H，于点E，，， 是等腰直角三角形，且，，，， 在和中，，，， ，，， 的面积为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $