专题10 全等模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题10.全等模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 10 18 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．       例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法：如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 例3（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 例4（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 模型2.截长补短模型 例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，．是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ）;，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 例2（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 例3（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 例4（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 1．（24-25·成都市·七年级期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 2．（24-25·辽宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．(1)求证：；(2)求证：． 3．（24-25八年级上·福建泉州·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；         【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 7．（24-25·湖北·八年级专题练习）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 8．（24-25江苏·八年级校考期中）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 9．（24-25·河南南阳·中考模拟预测）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中，∵，（已证）， （已知），∴，∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 10．（24-25八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 11．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路：①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题．②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】（2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】（2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】（3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 13．（24-25八年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至G，使，连接． 在和中，，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴．∴平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 14．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】（2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 16.（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：(1)求证：；(2)求证：；(3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【教材探究】 如图1是苏科版八年级上册数学教材55页的部分内容：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等；反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？如图，点在内，且，，垂足分别为、，，作射线．因为，，，所以于是，即点在的平分线上． （1）请根据教材中证明，给出证明两个全等三角形方法是________ 【拓展探究】 （2）如图2，点在内，点M、N分别在上，连接和，若且，能否说明点在的角平分线上？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，是边长为4的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 18．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.全等模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 10 18 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．       【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意，， ∴，∴，∴， 即：，∴．故答案为：． （2）如图，延长至点E，使，连接．因为D为的中点，所以．    在和中，，所以，所以． 因为，且，，所以，所以． 因为线段的长度为整数，所以． 例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法：如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）①小美同学的解题思路，延长至G，使连接，如图： 在和中， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分； ②小丽同学的解题思路，延长至G，使，连接， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分； （2），理由如下：延长到F，使，连接，如图： ∵是的中线，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）延长至G，使，连接，如图： ∵是边上的中线，∴， 在和中，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，在和中， ． 例3（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，∵是的中点，， ，，， 在中，，，；            （2）如图，延长交于点，∵的中点为D，∴， ∵由题意可得：，而， ∴，∴，， ∵，，∴，是的垂直平分线，∴； （3），，理由如下：如图，延长，使，连接， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴．∵， ∴，∴，∴． 例4（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)(3) 证明见解析． 【详解】（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中， ∴，即， ∴， （2）， 理由是：由（1）知，， ∴， ∴ （3）理由：如图2，过作于 延长交于 ∵是的中线，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴相交所成的角为直角，即 综上： 模型2.截长补短模型 例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边(2) 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，，在和中，， ，，，，， 是的一个外角，，，（等角对等边）， ，．故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得， ，， 在和中，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，，． 例2（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，，∴ ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，，∴，∴， ∵，∴； （2）在上取，连接，∵于∴∴ ∵，∴，∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴，∴ ∴∴ 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又∴ ∴ ，，而， ∴， 又∵∴∴    即　． 例3（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 例4（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴，∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中，， 在和中， ，，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 1．（24-25·成都市·七年级期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 【答案】2.4 【详解】如解图，延长到点，使， ∵为边的中线，∴∵， ∴∴， ∵∴∴ ∵，∴∴．故答案为：2.4． 2．（24-25·辽宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．(1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴， ∵， ∴，∴； （2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， ∵，∴（SAS），∴， ∵，∴，∵，， ∴（AAS），∴，∴． 3．（24-25八年级上·福建泉州·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【详解】（1）解：∵为边上的中线，∴， 在和中，，故选B； （2）解：由（1）知：，，， 在中，，由三角形三边关系定理得：，即，故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接，是中线，， 在和中，，，， ，，，， ，∴．∴平分． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       【答案】(1)证明见解析 (2)①，；②；③(3)见解析 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得．故答案为：； （3）解：如图，，即为所求；    5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】证明见试题解析． 【详解】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，∵AD是中线，∴BD=DC， 在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG， ∴△BDF≌△CDG，∴BF=CG，∠BFD=∠G，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G， ∵BF=CG，且已知BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；         【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解. 【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，         ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC，∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中，∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA. （3）∠EAF=；证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=. 7．（24-25·湖北·八年级专题练习）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α， ∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°， ∴α＝108°，∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD． 8．（24-25江苏·八年级校考期中）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD， 在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS） ②1＜x＜4， 理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5， ∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三边关系得：， 又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4． （2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． ∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．在△CDF与△BDG中，， ∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，∵DE⊥DF，∴．   在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF． 9．（24-25·河南南阳·中考模拟预测）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中，∵，（已证）， （已知），∴，∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3． 【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD， 在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4， 在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5； （2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F， ∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F， 在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB， ∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF， ∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD； （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G， 在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC， ∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3． 10．（24-25八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接，∵D是中点，∴， 在和中，，∴，∴， 在中，∴，即， ∴，∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，， ∵，，，∴， 在和中，得，∴，∴，∴； 11．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路：①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题．②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】（2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【答案】（1）解答过程见解析；（2）见解析． 【详解】证明：（1）在上截取，连接， ∵，，∴是的垂直平分线，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， （2）在线段上截取，连接，∵，∴，    ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】（2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】（3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【答案】（1），见解析；（2）A、B、C；（3）见解析 【详解】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中，，，， ，，，； （2）答案为：A、B、C；解：如图②中，延长至，使， 由，故A正确由（1）得，， ，，，点为的中点，，， ，，， 又，， ，，故B、C正确．，故D错误． （3）证明：如图（3）中，延长到，使得，连接． 同法可证，，，，， 与互补，，， ，，， 在和中，，，，，即． 13．（24-25八年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至G，使，连接． 在和中，，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴．∴平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 【答案】见解析，6 【详解】问题1：证明：延长至G，使，连接，如图（2）所示： 在和中，，∴．∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． 问题2：解：延长至G，使，连接，如图（3）所示： ∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． 14．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：法一：∵平分，∴，∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴ 法二：∵，∴∴ ∵∴∵平分，∴， ∵，∴，∴ ∵∴ （2）证明：在上取一点，使得，如图所示： ∵，∴∴， ∵，∴，∵，∴ ∵∴即：， ∴，即：，∴， ∵∴ ∵，∴，∴，∵，∴， 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】（2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又，∴，∴， 即；故答案为：； （2）①在上截取．连接DE，∵是的角平分线，∴， 又∵，∴．∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即，，即点到的距离是； （3），理由如下：，， ，是的两条角平分线，且，交于点． ，； 在上截取，连接，则， ，， ∵，，，， 又，，是的角平分线，， ，，，． 16.（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：(1)求证：；(2)求证：；(3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)．理由见解析 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形，∴， ∴，即． 在和中，∴； （2）证明：由（1）可知，∴， 又∵，∴； （3）解：．理由如下：在上取点F．使得，连接． 由（2）可知，∴是等边三角形，∴，， 又∵是等边三角形，∴，，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【教材探究】 如图1是苏科版八年级上册数学教材55页的部分内容：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等；反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？如图，点在内，且，，垂足分别为、，，作射线．因为，，，所以于是，即点在的平分线上． （1）请根据教材中证明，给出证明两个全等三角形方法是________ 【拓展探究】 （2）如图2，点在内，点M、N分别在上，连接和，若且，能否说明点在的角平分线上？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，是边长为4的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 【答案】（1）；（2）点在的角平分线上，理由见详解；（3）8 【详解】（1）解：根据题意可得：教材中证明两个全等三角形方法是，故答案为：； （2）证明：如图，过点作于于， ，， 在和中，，，， ∴，即是的平分线，∴点在的角平分线上． （3）解：∵是等腰三角形，且，∴， ∵是边长为4的等边三角形，，，， 延长至，使，连接，则， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ∴的周长是：． 18．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【详解】（1）解：如图②，为的中线，， 又，，，， 在中，，，， ，，故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点，．，，， ，，，， ，∴ ，又∵，∴． ∵，∴，∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，，，，，， ，，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $