专题15 全等模型之角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题15 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 19 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 例4（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题呈现】（1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】（2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 例2（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，，则的长为（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 例3（24-25湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 例4（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25·广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 例3（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 例4（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 1．（24-25·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，则与的周长差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 3.（2025安徽·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 5．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为 ． 6．（24-25·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 7．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 8．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究：如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期中）我们已经学习了等腰三角形，知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等． (1)如图1，如果在一个三角形中，两个角不相等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则______（填写“＞”“＜”或“＝”），并且请证明你的猜想； (2)如图2，在中，平分交于点，连接、，判断并证明与的大小关系； (3)如图3，在中，，的角平分线、交于点，若，求． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【基础练习】（1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，于点，求的长． 【类比探究】（2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．求证：． 【拓展延伸】（3）如图3，点是等边外一点，连结，恰好满足平分交于点，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点． (1)如图1，在中，，为的珺琟点，求的角度； (2)如图2，为的珺琟点，延长交于点，已知，，求的值； (3)如图3，为的珺琟点，连接、，为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：． 12．（25-26八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 13．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，． (1)求证：平分；(2)当时，求的度数． 14．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）在中，、分别是、的平分线，、相交于点F． (1)①如图（1），当，，则 ；②如图（2），如果不是直角，时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)如图（3），在②的条件下，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 16．（24-25·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 17.（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 18.（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 19 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)见解析；(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，，， 在和中，，，， ，，故A正确，不符合题意；， ，， 在和中，，，， ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 不一定等于，不一定等于，故B错误，符合题意．故选：B． 例2（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，，，， ，，，，， 与不一定相等，与不一定相等，点不一定是的中点， 与不一定相等，故①不正确； ②，，，， ，， ，，，，②正确； ③平分，平分， ，，，③正确； ④由①可知， ，，，故④正确，故选：C． 例3（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分，∴， ∵，，∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点，∴，∴， ∵，，∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下：∵，∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴，∴，∴，即． 例4（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题呈现】（1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】（2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析． 【详解】解：（1）∵是的平分线，，，∴，故答案为：； （2）∵平分，，， ∴，，，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴，∴； （3）过点作，交的延长线于点，如图： ∵，，∴，∵，∴， 又∵，∴，又∵，， ∴，∴，，∵点是的中点，∴，∴， ∵，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】延长交于点， ，，平分，， 在和中，．∴，， ，，．故答案为：4． 例2（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，，则的长为（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：延长交于，如图： 平分，，，， 在和中，，， ，，，， ，，， 是的一个外角，， ， ，，，，故选D． 例3（24-25湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值；此时，即： 例4（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【详解】（）如图， 延长交于点，由已知可知，∴， ∵，∴； （），证明如下：如图，延长交于点，则， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，由已知可知，，∴； （）如图，延长交于，由已知可知，，，∴， ∵，∴，∴． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25·广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】证明：如图所示： （1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE． （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF． 在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5． ∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180，∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D， 在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF，∴BC＝AB+CD， 例3（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3)，详见解析 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时，, ,∴在与中，，, ,,，， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时，,, ∴在与中，，, ,,，， ，故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3，平分， 在与中，，，， 又∵，∴， ∴，∴， ，，故答案为：． 例4（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)18 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1），∵平分，∴． 在和中，，∴，∴，． ∵C是边的中点．∴，∴． ∵，∴，，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴；故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点，∴．∵平分，∴． 在和中，，∴， ∴，．同理可证：，． ∵，∴，∵，∴． ∴．∴，∴是等边三角形．∴， ∵，∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点，∴，∴ ∵，由（2）可得是等边三角形，∴． ∵当A，F，G，E共线时，有最大值．故答案为：18． 1．（24-25·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】∵平分,∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．∵,平分，∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确． ∵，，∴， 在和中，∴≌（HL）， ∴故③正确，，∴，即，故④正确，故选D． 2．（25-26·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，则与的周长差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【详解】解：由作图得平分，， 在和中，，()，， ，， ，由勾股定理得∶，，故选∶A． 3.（2025安徽·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：延长BD交AC于点F，如图 AD平分， D是BF的中点， E是BC中点，故选：D． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 【答案】 45 / 【详解】解：，， 与的角平分线相交于点，，， 是的外角，； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ，，点、在上，， 由轴对称的性质可知，，，，，， ，， 过点作于点，过点作， 在和中，，，， ，，， ，， ，，故答案为：， 5．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵平分，， 又，，， ，故答案为：3． 6．（24-25·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 【答案】4.5 【详解】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE， ∴∴ cm2，故答案为4.5． 7．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）正确，理由如下：作交延长线于点，作于点， ，已知，，． 在和中，，，， 又，，为的角平分线． （2），理由如下：延长至使，连接，，， 在和中，，，，， 又，，， 在和中，，，， 又 ． （3）延长至，使，连接，，，． 在和中，，，，． 又，，，， 在和中，，，， ，．故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究：如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 【答案】（1），理由见解析（2）；理由见解析（3） 【详解】解：（1）与全等；理由如下： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下：如图②，延长交于点G， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴的长是．故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期中）我们已经学习了等腰三角形，知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等． (1)如图1，如果在一个三角形中，两个角不相等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则______（填写“＞”“＜”或“＝”），并且请证明你的猜想； (2)如图2，在中，平分交于点，连接、，判断并证明与的大小关系； (3)如图3，在中，，的角平分线、交于点，若，求． 【答案】(1)>，见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）解：，证明：如图1，在上截取，连接，则， ，，，，故答案为：； （2）解：， 证明：如图2，延长到点，使，连接，则， ，，平分，， 在和中，，，，； （3）解：如图3，在上截取，连接，，的角平分线，交于点， ，， ，， 在和中，，， ，，， ，，， ， 作于点，于点，平分，， ， ，故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【基础练习】（1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，于点，求的长． 【类比探究】（2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．求证：． 【拓展延伸】（3）如图3，点是等边外一点，连结，恰好满足平分交于点，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ．平分，． ，． ∵．．． （2）证明：是的角平分线，． ，．． ，，，． （3）解： 证明如下：在上找一点，使得． 是等边三角形，，． ，．． 平分，．， 是等边三角形．，． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点． (1)如图1，在中，，为的珺琟点，求的角度； (2)如图2，为的珺琟点，延长交于点，已知，，求的值； (3)如图3，为的珺琟点，连接、，为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：∵，∴； ∵为的珺琟点，∴， ∴，∴； （2）解：过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，如图； ∵为的珺琟点，∴平分，∴； ∵，，∴； （3）证明：如图，过点P作，分别交于点E，F，连接；∴； ∵为的珺琟点，∴，，∴， ∴；同理：，∴; ∵，，∴； ∵，∴，∴； ∵，∴，∴； ∵，∴； ∵，，∴，∴； ∵，∴，∴． 12．（25-26八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)仍成立，见解析(3)(4)四边形的面积为32 【详解】（1）如图1：由为平分线上一点，于，于， ， 在中，，，； （2）（2）仍成立点为平分线上一点， 又于，于，， 又 （3）（3）；, 又 点为平分线上一点， 即AP平分， ，， ， （4）（4）四边形的面积为32 点为平分线上一点， 又于，于， 又（已证） 又 ，且 13．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，．    (1)求证：平分；(2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴平分； （2）解：∵，，∴， ∴，由（1）可得，∴． 14．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）在中，、分别是、的平分线，、相交于点F． (1)①如图（1），当，，则 ；②如图（2），如果不是直角，时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)如图（3），在②的条件下，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析；(2)，证明见解析． 【详解】（1）解：①∵，，∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴；故答案为：； ②成立，理由如下：∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∵，∴； （2）如图，过点F作于G，作于H，作于M， ∵分别是的平分线，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：平分，，，∴； （2），理由如下：当时，如图①， ，平分，， ，且，，， ，∴，； 当与不垂直时，如图②，作于点，于点， ，，，，， ，且，， ，， ，∴，，综上所述，． （3），理由如下：如图③，在上取一点，使，连接， 平分，，，∴， ，，， ，，且， ，，，． 16．（24-25·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行） 【详解】（1）如图1，过点作于，于， 四边形为矩形，，， ， ，，， 平分，，，， 在和中，， ，，故答案为． （2）解：成立，理由如下：如图2， 证明：过点分别作于点，作于点．∴ ∵平分，∴ ∵在四边形中， ∴ 又∵∴ 在和中，∴∴． （3）解：如图3，过点分别作于点，作于点． 平分，， 与的面积的比值为2。 如图4，过点作于，于，则 与的面积的比值为4， 综上所述： 与的面积的比值为2比4． 17.（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 18.（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1）如图1，∵，，∴，∴，， ∵平分，∴；故答案为：； （2），如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，，， ，，， 在和中，，．∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F，∵平分，∴ 在和中，，∴， ∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $