专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学讲义以“逆等线模型”为核心，通过“模型来源-真题现模型-提炼模型-模型运用”的递进框架构建知识体系，用思维导图呈现逆等线的定义、特点及在正方形、矩形、菱形中的具体模型，清晰展示“构造全等转化线段”的核心方法与几何变换思想的内在联系。 讲义亮点在于“真题引领-模型提炼-分层应用”的设计，如以正方形中“CE=DF，求BF+DE最小值”为例，通过“一边一角造全等”构造SAS全等三角形，将双动点问题转化为线段最短问题，培养几何直观与推理能力。例题涵盖不同难度，基础题巩固构造方法，综合题提升转化思维，助力学生自主复习时精准突破，也为教师提供分层教学的清晰路径。

专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 例2（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 例3（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在边长为的菱形中，点，为边，上的动点，且，连接，，若菱形面积为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． ∵， ∴， 例4（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 例5（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 1．（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___________． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 5．（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 6．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 7．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在矩形中，，，，分别在，边上．连接，且，则的最小值为______． 8．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，正方形的边长为分别是边上的两个动点，且，连接，，则的最小值为___________． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 12．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 13．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，，点为边上的中点，点为边上的两个动点（点P在点Q的左边），且，则的最小值为______． 15．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 16．（2025·陕西咸阳·一模）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】（2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值）    17．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】（1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】（3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 18．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：；（2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：．（3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可知，证明，利用全等三角形的性质可证，根据两点之间线段最短可知，利用勾股定理求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接、、， 则有， 四边形是矩形， ，， 在和中，， ， ， ， 两点之间线段最短， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， . （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 例2（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．设交于，连接、．由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于，连接、、． 四边形是矩形，，， 可得四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为13， 的最小值为13． 例3（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在边长为的菱形中，点，为边，上的动点，且，连接，，若菱形面积为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，可得，根据菱形的面积和边长可得，可得，由勾股定理可得，根据菱形性质，结合已知证明，可得，可得，即可得的最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 例4（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质得到，再利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 例5（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点三点共线时，取得最小值， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 1．（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】推出当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度．再利用矩形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． 四边形是矩形，，， 四边形和四边形是矩形． ，． 的最小值即为的最小值． 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度． 四边形是矩形，，， ． 的最小值为． 2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，延长，使，连接，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点B作，且，，构造矩形，证明，推出，则，当A，N，E三点共线时等号成立，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作，且，，连接， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． 在和中， ， ， ， ，当A，N，E三点共线时等号成立，连接 ，，， ， 的最小值为． 5．（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作关于直线的对称点，连接，通过证明得到，结合轴对称性质得到，将转化为，利用两点之间线段最短可知当、、三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点作关于直线的对称点，连接，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 6．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题延长到点，使，连接、、，根据正方形的性质可得，，然后得到，，进而得到，再根据两点之间线段最短，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 7．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在矩形中，，，，分别在，边上．连接，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过构造全等三角形，将线段转化为，利用两点之间线段最短确定的最小值为线段的长度，再通过构造全等三角形与矩形，结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，， ，，， 由勾股定理得： 以为一边作，在上取点，使，连接、，过作于点，交于点 ，，， ， ， ． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴， ∴， ∵，, ， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， ． 在中，由勾股定理得： ， 的最小值为 8．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，正方形的边长为分别是边上的两个动点，且，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线，连接，与的交点即为所求的E点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图2，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线， 连接，与的交点即为所求的E点， 根据对称性可得， ， 在中，，， ， 的最小值等于． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 12．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形性质、全等三角形判定与性质、最短路径（将军饮马）问题，涉及知识点：菱形的边与面积性质、全等三角形、垂线段最短．解题方法是通过全等转化线段，将“”转化为“三角形的三边关系”；解题关键是构造全等三角形实现线段转化，易错点是无法找到线段转化的全等条件．先证得，将转化为，再利用菱形面积求的最小值，进而得的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，作点关于的对称点，连接交于点，连接， 在菱形中，，（菱形对角相等）． ∵， ∴， ∴， 得， ∴． ， ， ． 在中， 当三点共线时有最小值，即取得最小值， 在中，， ． 故答案为：． 13．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 【答案】９ 【分析】分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，通过证明得到为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到；连接，可得为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一得到，利用线段垂直平分线的性质得到，这样，根据三角形任意两边之和大于第三边，得到，则的值最小为． 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意将转化为三角形两边之和大于第三边的情形是解题的关键． 【详解】解：分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，如图， 是的中点， ． 四边形是菱形， ． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ． 同理：， ，． 连接， 四边形是菱形， ，． 为等边三角形， 为的中点， ． 是的垂直平分线． ． 为上一点， ． 当点与点重合时，的值最小为． ， 的最小值为． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，，点为边上的中点，点为边上的两个动点（点P在点Q的左边），且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，作点E关于的对称点F，连接交于E，延长交延长线于N，过点F作，使，连接交于Q，过点F作，交于P，交于M，连接，求得，，，，此时，最小，最小值为，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵点为边上的中点， ∴， 作点E关于的对称点F，连接交于G，延长交延长线于N，过点F作，使，连接交于Q，过点F作，交于P，交于M，连接，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E关于的对称点为F， ∴， ∴此时，最小，最小值为， ∵作点E关于的对称点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， 由勾股定理，得． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，利用轴对称求最短路径问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，当最小时，正确作出图形，确定出点P、Q的位置是解题的关键． 15．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点，∴，，， 在菱形中，，,∴，， ∴点是点E关于的对称点，∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，，∴，则为等边三角形， ∴，∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点，∴，，即， 又，，∴，则， 在中，， 又∵，，，∴， ∴的最小值为，故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形，∴，， 在上取点H，使得，连接，则∴四边形是平行四边形，∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号，∴的最小值为， ∵，．∴中，，， ∴，∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，，∴，，， ∴，， ∴，又，∴，∴， ∴，当A、F、P共线时取等号，∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，在中，， ∴，∴的最小值为． 16．（2025·陕西咸阳·一模）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】（2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值）    【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【详解】解：（1）如图，连接，∵，，，∴，    ∵点O是对角线上的动点，∴当三点共线时，最短，∴最小值为13． （2）过点B作，且截取，连接，，交于点G． ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，，∴．     在和中，，，， ∴，∴，    ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且截取，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，，∴．     在和中，，，， ∴，∴，∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M．   ∵四边形是正方形，， ∴，，，．     ∴，而，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴，    在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 17．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】（1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】（3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）米 【详解】（1）如下图，四边形是矩形，， ∵，，，，，故答案为：； （2）如图，连接，连接，交于， 点、分别是、的中点，，当时，最小，从而最小， 四边形是菱形，，，， ，，由， ，，； （3）如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形，，，， ，，，， 四边形是平行四边形，是矩形，， ，，米， ，，，， 是的中点，，，作于，则最小值是的值， 米，米，米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 18．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：；（2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：．（3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ，，； （2）证明： 延长交于， 交于， ∵四边形为正方形， ∵，∴， ∵，， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）过点作， 且使， 连接，， 过点作， 交的延长线于点， ∵， ，∴，∴， ∵，∴， ， ∴， 即当， ，三点共线时，的最小值为， ∵，，， 的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $