2026年中考数学二轮信息必刷卷02（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C B C B D D A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12．． 13．． 14．，． 15．． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（1）解：方程组整理得：， ①②得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以方程组的解为：．.....................5分 （2）解：原式 ．...........................5分 17．解：（1）设豆沙粽每盒的进价为元， 由题意得：，.................2分 解得：，.................3分 经检验：是原方程的解且符合题意，.................4分 ， 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元）， 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则： ，.................6分 ，， 当时，取得最大值为1000元．.................8分 18．解：（1）甲分厂中等级的人数为：，.................1分 补全甲分厂的条形统计图如下： .................2分 乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数为；.................3分 （2）甲分厂抽取的20名青工成绩的中位数位于等级；.................4分 乙分厂抽取的20名青工成绩的中位数位于等级；.................5分 （3）甲分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为；.................6分 乙分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：；.................7分 全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：．.................8分 19．解：（1）第一小组无法计算长的值，因为缺少△中的边长， 第一小组无法测量旗杆的高度， 故答案为：一；.................2分 （2）第二小组方案： 在△中，，， ，.................4分 在△中，， ，.................6分 ，.................8分 答：学校旗杆的高度约为． 20．解：（1）证明：连接，则，.................1分 ， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线．.................4分 （2）解：，，， ，， ， △△，.................6分 ， ， ， ， 的半径长为5．.................8分 21．解：（1）①由题意得：， 故答案为：； ②设， 则：， 解得：， ；.................4分 （2）当时，， 解得：， ， 答：行驶的最远路程为．.................8分 22．（1）证明：△和△是同位等腰三角形， ，． ，， ， 即， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线；.................4分 （2）证明：作射线交于点，.................5分 ，垂足为， ， ， ， ． ， ， △△． ． ， ， ， ， ， ， ， △和△是同位等腰三角形；.................8分 （3）解：作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点．.................9分 ， △和△是同位等腰三角形， ，，垂直平分． 由题意知． ，， ， ， ． ， ，． ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． ， △△， ， ，， △△， ， 即， 解得， ．.................12分 23．解：（1）， ，，.................2分 ， ，.................3分 ；.................4分 （2）把代入， 得：， 整理得：；.................6分 （Ⅱ）， 原抛物线顶点在原坐标系中为，， 转换为新坐标系顶点横坐标：， 由题意得旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线， ，.................8分 ， ，；.................10分 （3）由题意得，， 根据△， 解得：．.................13分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向： 根据2026年辽宁省中考样卷和2025年辽宁省中考试卷可知，辽宁中考的阅读量会大幅度增加，会增加50％左右，进一步细化了跨学科类的题目，把新能源、人工智能等话题也加入到题目当中。但整体难度不大难度比依旧是7:2:1，所以只要肯努力就能达到110以上。 中考·新考法： 选择题（10题）：侧重基础概念、逻辑推理，如第1题实数运算、第5题几何命题真伪判断。 填空题（5题）：考查知识综合与几何画图，如第15题几何画图。 解答题（8题）：分步骤考查综合能力，包括：基础计算与化简（第16题）、几何证明与推理（第22题）、统计与概率应用（第18题）、函数与方程建模（第17、23题）。 中考·新情境： ①以文言文形式进行考察，如《周易》的节选； ②以跨学科融合题的方式出题，比如欧姆定律与反比例函数的实际应用综合； ③融入科技前沿元素出题，比如以新能源汽车。 新情境问题，会增加学生阅读和理解题目的时间，在实际做题时，必须精准提炼要点。 命题·大预测： ①三角函数的实际应用（第19题）是中考必考题型之一，主要考察的内容为直角三角形的边与角的相关概念，虽然去年中考没出大题，但依旧有极大可能性在今年的中考题目中出大题。 ②尺规作图（第21题）是近几年的中考热点问题之一，属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，需要熟练掌握平行线、角平分线、中垂线、垂线的做法。 ③二次函数综合题（第23题）也是中考必考题型之一，而新定义也是近几年的中考热点问题之一，二者的结合“新定义函数”很有可能称为压轴的新题型，且新定义函数可以将一次函数、反比例函数和二次函数串联起来，进行综合性的考查，切记认真对待。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（　　） A．35 B．45 C．55 D．65 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：， ， 故选：． 2．辽宁省的陆地面积约14.86万平方千米，14.86万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：14.86万． 故选：． 3．我国古代经典著作《周易》中，常用“卦”的符号来阐释世间万物的变化规律．如图呈现了部分“卦”的符号样式，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【解答】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 4．榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下： ． 故选：． 5．下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直 【分析】根据矩形的判定和性质判断即可． 【解答】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题命题是假命题，不符合题意； 、矩形的对角线互相平分，是真命题，符合题意； 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本小题命题是假命题，不符合题意； 、矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本小题命题是假命题，不符合题意； 故选：． 6．如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图象如图（2）所示．下列说法正确的是（　　） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B．随着温度的升高，电流表的示数减小 C．随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D．当环境温度是时，电流表的示数是 【分析】根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断即可， 【解答】解：根据函数图象中获取信息逐项分析判断如下： 、根据图象可得随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，故不符合题意； 、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，则电路的总电阻减小，电路中的电流变大，电流表的示数增大，故不符合题意； 、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，则电路的总电阻减小，电路中的电流变大，故定值电阻两端的电压增大，故符合题意； 、当环境温度是时，热敏电阻的阻值为，则电路中的总阻值为，则电路中的电流为，所以电流表的示数是，故不符合题意， 故选：． 7．2025年辽宁省的高考落下帷幕，高考的小科目“生物”“地理”“化学”“政治”采取赋分制，其赋分规则为将考生原始成绩从高到低划分为、、、、五个等级，各等级人数比例依次为、、、、，并对应转换到，、，、，、，、，五个分数段．若小明政治成绩原始分排名位于该科目参考人数的，则小明政治科目的赋分可能是（　　） A．60分 B．82分 C．48分 D．95分 【分析】先根据小明政治成绩原始分排名位于该科目参考人数的，判断出小明成绩位于等级，继而可得答案． 【解答】解：因为小明政治成绩原始分排名位于该科目参考人数的， 所以小明成绩位于等级，对应转换所得分数在，区间内， 故选：． 8．是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用时间所用时间，据此列出方程即可． 【解答】解：根据题意，得． 故选：． 9．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（　　） A．4 B． C． D．5 【分析】分别过点、作轴，轴于点、，证明△△，得，从而可得，即可解答此题． 【解答】解：过点、作轴，轴于点、，如图： ， 点的坐标是，点的坐标是 ，， 四边形是矩形， ，（矩形的性质）， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中 ， △△， （全等三角形对应边相等）， ， 点的横坐标是5， 故选：． 10．在数学中通常表示为自然常数，且，为正整数，且对于阶乘，，下列值中最接近自然常数的值为（　　） A．2.723 B．2.072 C．2.689 D．2.755 【分析】利用有理数的混合运算计算，取近似值进行比较求解． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．因式分解：　　． 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解． 【解答】解： ． 故答案为：． 12．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率是　　 ． 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两次都是反面朝上的结果数为1， 两次都是反面朝上的概率． 故答案为：． 13．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为 　　． 【分析】依据题意，由，得到，则，进而求解． 【解答】解：延长交轴于点， ， ． ． 抛物线与轴交于点，， ，． 过点作于点， ． 点坐标为． 由点、的坐标得，直线的解析式为：， 令， 解得或6（舍去）， ，． 点坐标为． 故答案为：． 14．若一个三位正整数P可以分解成P＝m2﹣n2的形式（其中m，n均为正整数且m＞n），则称P为“平方差分解数”．在P的所有分解中，当m﹣n取得最小值时，称m﹣n为P的最优分解，此时规定：．计算F（120）＝　　 ；若三位数Q＝100a+10b+60+c为“平方差分解数”，其中a，b，c均为整数，（1≤a≤8，1≤b，c≤9），且Q的个位数字与十位数字相同，将Q的各个数位上的数字之和记为G（Q），记，若H（Q）为5的整数倍，Q为满足条件的所有三位整数中的最小值，则F（Q）＝　　 【分析】根据定义得出120 的因子对，检验得出最小 d＝m﹣n 为 2，进而求得最优分解为 m＝31，n＝29，即得出F（120）；根据Q＝100a+10b+60+c，且个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 D，进而根据H（Q） 为 5 的整数倍，得出D﹣b﹣1＝5 恒成立，再得出，进而验证为 5 的倍数得出可能 Q 值：388 和 899，结合最优分解，得出Q 中最小值为 388，进而求得F（Q），即可求解． 【解答】解：根据平方差公式可知m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n）＝120． 设 d＝m﹣n，s＝m+n，则 d×s＝120，且 s＞d＞0，d 和 s 同奇偶（因为 ， 需为整数）， 120 的因子对及同奇偶检查： 经检验，有效数对为 （2，60）、（4，30）、（6，20）、（10，12）． 最小 d＝m﹣n 为 2（对应 d＝2）． 此时，，． 验证：312﹣292＝961﹣841＝120． 最优分解为 m＝31，n＝29． 则：， ∵Q＝100a+10b+60+c 是三位数， ∵个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 D，则 Q＝100a+11D．由 Q＝100a+10b+60+c，得：10b+60+c＝11D 即 10b+c+60 被 11 整除． 设 S＝10b+c（S 为整数，10≤S≤99），则：S+60＝11K，K为整数， 又∵60÷11＝5×11+5，余数为 5， 所以 S＝11N+6．N为整数， S的可能 值为：17，28，39，50，61，72，83，94． 经检验，D＝7：b＝1，c＝7，Q＝100a+77． D＝8：b＝2，c＝8，Q＝100a+88． D＝9：b＝3，c＝9，Q＝100a+99． 数字和 G（Q）＝a+D+D＝a+2D． ∵，H（Q） 为 5 的整数倍． D﹣b﹣1＝5 恒成立． ， H（Q） 为整数，故 a+2 整除 10，且 a+2≥3（因 a≥1）． 10 的因子≥3：5，10． 所以 a+2＝5 或 10，即 a＝3 或 8． 若 a＝3，a+2＝5： ， 需为 5 的倍数： b＝1（D＝7）：H＝4（不满足）． b＝2（D＝8）：H＝5（满足）． b＝3（D＝9）：H＝6（不满足）． 所以 D＝8，b＝2，Q＝100×3+88＝388． 若 a＝8，a+2＝10：， 需为 5 的倍数： b＝1（D＝7）：H＝3（不满足）． b＝2（D＝8）：H＝4（不满足）． b＝3（D＝9）：H＝5（满足）． 所以 D＝9，b＝3，Q＝899． 可能 Q 值：388 和 899． Q 需为平方差分解数： Q＝388：分解为 m2﹣n2＝388． 经检验有效数对为：（d，s）＝（2，194）． ，． 验证：982﹣962＝388，最小 d＝2．是平方差分解数． Q＝899：分解为 m2﹣n2＝899． 因子对：（1，899）（同奇），（29，31）（同奇）． 最小 d＝1（对应 d＝1）： ，． 验证：4502﹣4492＝202500﹣201601＝899．是平方差分解数． 故 Q 中最小值为 388（因 388＜899）． 最优分解为 m＝98，n＝96． 则：， ∴， 故答案为：，． 15．如图，四边形中，，，，，以点为圆心，以长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 　　 （用含的代数式表示）． 【分析】利用基本作图得到，平分，接着证明得到，然后利用求解． 【解答】解：由作法得，平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（1）解方程组：． 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：方程组整理得：， ①②得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以方程组的解为：． （2）计算；． 【分析】先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【解答】解：原式 ． 17．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【分析】（1）设豆沙粽每盒的进价为元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设豆沙粽每盒的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元）， 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则： ， ，， 当时，取得最大值为1000元． 18．某工厂有甲、乙两个分厂，其中甲分厂有240名青工，乙分厂有180名青工．在全厂这420名青工中开展了劳动技能大赛，并按统一标准将比赛成绩从小到大分成，，，，五个等级．两个分厂各自随机抽取了20名青工的成绩，分别绘制了如下两种不完整的统计图． （1）补全甲分厂的条形统计图，并求出乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数； （2）求出甲、乙两分厂抽取的20名青工成绩的中位数分别属于哪个等级？ （3）如果，等级的成绩为优秀，请估计该厂甲、乙两个分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率以及全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率．（结果精确到 【分析】（1）用20减去其它四个等级的人数可得等级人数，进而补全甲分厂的条形统计图；用乘等级所占百分比可得乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用优秀人数除以总数可得优秀率． 【解答】解：（1）甲分厂中等级的人数为：， 补全甲分厂的条形统计图如下： 乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数为； （2）甲分厂抽取的20名青工成绩的中位数位于等级； 乙分厂抽取的20名青工成绩的中位数位于等级； （3）甲分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为； 乙分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：； 全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：． 19．要测量学校旗杆的高度，两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，标杆等 测量小组 第一小组 第二小组 测量示意图 测量方案 借助太阳光线构成相似三角形：在旗杆影子的端点处立标杆，测量标杆长和影子长及． 利用锐角三角函数：在观测台的处测量旗杆顶部的仰角和底部的俯角及观测台的高度． 测量数据 ，，． ，，． 参考数据 ，． ，，，． （1）根据测量数据，第 　一　 小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请根据另一小组测量的数据求出学校旗杆的高度（结果精确到． 【分析】（1）分析第一小组题意，可得缺少△中的边长，无法通过相似三角形计算长的值； （2）在△和△中，利用，，结合，即可求解旗杆的高度． 【解答】解：（1）第一小组无法计算长的值，因为缺少△中的边长， 第一小组无法测量旗杆的高度， 故答案为：一； （2）第二小组方案： 在△中，，， ， 在△中，， ， ， 答：学校旗杆的高度约为． 20．如图，是△的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连接，则，由是的直径，，得，则，所以，而，则，可推导出，即可证明是的切线； （2）由垂径定理得，因为，，所以△△，则，可求得，则，所以的半径长为5． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，，， ，， ， △△， ， ， ， ， 的半径长为5． 21．某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如表所示： 行驶时间 0 1 2 3 4 剩余电量 80 65 50 35 20 行驶路程 0 80 160 240 320 这辆新能源汽车电池的剩余电量与行驶时间，行驶路程与行驶时间之间满足不同的一次函数关系． （1）①直接写出与之间的函数关系式　　 ； ②求与之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量的取值范围）； （2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【分析】（1）①根据“路程时间速度”列代数式表示； ②根据待定系数法求解； （2）先根据的值求出值，再求出的值． 【解答】解：（1）①由题意得：， 故答案为：； ②设， 则：， 解得：， ； （2）当时，， 解得：， ， 答：行驶的最远路程为． 22．综合与实践． 【了解定义】 如图1，在△和△中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，△和△是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在△中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：△和△是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，△和△是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且，的延长线与，分别交于点，，点在上，．若，，求的长． 【分析】（1）根据△和△是同位等腰三角形，得到，．求得，推出点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，于是得到直线是线段的垂直平分线； （2）证明：作射线交于点，求得，得到根据全等三角形的性质得到．求得，得到，于是得到△和△是同位等腰三角形； （3）作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点．得到，由△和△是同位等腰三角形，得到，，垂直平分．由题意知．根据三角函数的定义得到，，根据勾股定理得到，求得．根据平行线的性质得到，．求得，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：△和△是同位等腰三角形， ，． ，， ， 即， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线； （2）证明：作射线交于点， ，垂足为， ， ， ， ． ， ， △△． ． ， ， ， ， ， ， ， △和△是同位等腰三角形； （3）解：作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点． ， △和△是同位等腰三角形， ，，垂直平分． 由题意知． ，， ， ， ． ， ，． ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． ， △△， ， ，， △△， ， 即， 解得， ． 23．在平面直角坐标系中，存在这样的新定义：将轴顺时针旋转后，点在新坐标系中的坐标满足变换规则． （1）请根据上述新定义，求出一次函数顺时针旋转的新坐标系中的解析式． （2）对于抛物线，在坐标系中顺时针旋转，求经此变换后其解析式； （Ⅱ）若旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线，且．请根据上述定义与条件，试用，，表示与的关系． （3）对于抛物线，经过变换后，在新坐标系中满足以下条件： ①与直线有且仅有一个交点； ②原抛物线参数满足且； ③旋转后抛物线的顶点到轴的距离为； 请依据以上定义与限制条件，试用和表示的值． 【分析】（1）代入新定义公式与特殊角计算即可； （2）代入新定义公式，整理计算即可； （Ⅱ）借助上一问计算的解析式，求出新坐标系中顶点的横坐标，原来的顶点坐标在新坐标系中表示出来，列方程求解即可； （3）联立解析式，根据判别式为0，以及题目的条件，计算即可求解． 【解答】解：（1）， ，， ， ， ； （2）把代入， 得：， 整理得：； （Ⅱ）， 原抛物线顶点在原坐标系中为，， 转换为新坐标系顶点横坐标：， 由题意得旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线， ， ， ，； （3）由题意得，， 根据△， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向： 根据2026年辽宁省中考样卷和2025年辽宁省中考试卷可知，辽宁中考的阅读量会大幅度增加，会增加50％左右，进一步细化了跨学科类的题目，把新能源、人工智能等话题也加入到题目当中。但整体难度不大难度比依旧是7:2:1，所以只要肯努力就能达到110以上。 中考·新考法： 选择题（10题）：侧重基础概念、逻辑推理，如第1题实数运算、第5题几何命题真伪判断。 填空题（5题）：考查知识综合与几何画图，如第15题几何画图。 解答题（8题）：分步骤考查综合能力，包括：基础计算与化简（第16题）、几何证明与推理（第20、22题）、统计与概率应用（第18题）、函数与方程建模（第17、23题）。 中考·新情境： ①以文言文形式进行考察，如《周易》的节选； ②以跨学科融合题的方式出题，比如欧姆定律与反比例函数的实际应用综合； ③融入科技前沿元素出题，比如以新能源汽车。 新情境问题，会增加学生阅读和理解题目的时间，在实际做题时，必须精准提炼要点。 命题·大预测： ①三角函数的实际应用（第19题）是中考必考题型之一，主要考察的内容为直角三角形的边与角的相关概念，虽然去年中考没出大题，但依旧有极大可能性在今年的中考题目中出大题。 ②尺规作图（第21题）是近几年的中考热点问题之一，属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，需要熟练掌握平行线、角平分线、中垂线、垂线的做法。 ③二次函数综合题（第23题）也是中考必考题型之一，而新定义也是近几年的中考热点问题之一，二者的结合“新定义函数”很有可能称为压轴的新题型，且新定义函数可以将一次函数、反比例函数和二次函数串联起来，进行综合性的考查，切记认真对待。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（　　） A．35 B．45 C．55 D．65 2．辽宁省的陆地面积约14.86万平方千米，14.86万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．我国古代经典著作《周易》中，常用“卦”的符号来阐释世间万物的变化规律．如图呈现了部分“卦”的符号样式，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直 6．如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图象如图（2）所示．下列说法正确的是（　　） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B．随着温度的升高，电流表的示数减小 C．随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D．当环境温度是时，电流表的示数是 7．2025年辽宁省的高考落下帷幕，高考的小科目“生物”“地理”“化学”“政治”采取赋分制，其赋分规则为将考生原始成绩从高到低划分为、、、、五个等级，各等级人数比例依次为、、、、，并对应转换到，、，、，、，、，五个分数段．若小明政治成绩原始分排名位于该科目参考人数的，则小明政治科目的赋分可能是（　　） A．60分 B．82分 C．48分 D．95分 8．是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（　　） A．4 B． C． D．5 10．在数学中通常表示为自然常数，且，为正整数，且对于阶乘，，下列值中最接近自然常数的值为（　　） A．2.723 B．2.072 C．2.689 D．2.755 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．因式分解：　　． 12．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率是　　 ． 13．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为 　　． 14．若一个三位正整数P可以分解成P＝m2﹣n2的形式（其中m，n均为正整数且m＞n），则称P为“平方差分解数”．在P的所有分解中，当m﹣n取得最小值时，称m﹣n为P的最优分解，此时规定：．计算F（120）＝　 　 ；若三位数Q＝100a+10b+60+c为“平方差分解数”，其中a，b，c均为整数，（1≤a≤8，1≤b，c≤9），且Q的个位数字与十位数字相同，将Q的各个数位上的数字之和记为G（Q），记，若H（Q）为5的整数倍，Q为满足条件的所有三位整数中的最小值，则F（Q）＝　 　 15．如图，四边形中，，，，，以点为圆心，以长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 　　 （用含的代数式表示）． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（1）解方程组：． （2）计算；． 17．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 18．某工厂有甲、乙两个分厂，其中甲分厂有240名青工，乙分厂有180名青工．在全厂这420名青工中开展了劳动技能大赛，并按统一标准将比赛成绩从小到大分成，，，，五个等级．两个分厂各自随机抽取了20名青工的成绩，分别绘制了如下两种不完整的统计图． （1）补全甲分厂的条形统计图，并求出乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数； （2）求出甲、乙两分厂抽取的20名青工成绩的中位数分别属于哪个等级？ （3）如果，等级的成绩为优秀，请估计该厂甲、乙两个分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率以及全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率．（结果精确到 19．要测量学校旗杆的高度，两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，标杆等 测量小组 第一小组 第二小组 测量示意图 测量方案 借助太阳光线构成相似三角形：在旗杆影子的端点处立标杆，测量标杆长和影子长及． 利用锐角三角函数：在观测台的处测量旗杆顶部的仰角和底部的俯角及观测台的高度． 测量数据 ，，． ，，． 参考数据 ，． ，，，． （1）根据测量数据，第 　　 小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请根据另一小组测量的数据求出学校旗杆的高度（结果精确到． 20．如图，是△的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21．某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如表所示： 行驶时间 0 1 2 3 4 剩余电量 80 65 50 35 20 行驶路程 0 80 160 240 320 这辆新能源汽车电池的剩余电量与行驶时间，行驶路程与行驶时间之间满足不同的一次函数关系． （1）①直接写出与之间的函数关系式　　 ； ②求与之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量的取值范围）； （2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 22．综合与实践． 【了解定义】 如图1，在△和△中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，△和△是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在△中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：△和△是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，△和△是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且，的延长线与，分别交于点，，点在上，．若，，求的长． 23．在平面直角坐标系中，存在这样的新定义：将轴顺时针旋转后，点在新坐标系中的坐标满足变换规则． （1）请根据上述新定义，求出一次函数顺时针旋转的新坐标系中的解析式． （2）对于抛物线，在坐标系中顺时针旋转，求经此变换后其解析式； （Ⅱ）若旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线，且．请根据上述定义与条件，试用，，表示与的关系． （3）对于抛物线，经过变换后，在新坐标系中满足以下条件： ①与直线有且仅有一个交点； ②原抛物线参数满足且； ③旋转后抛物线的顶点到轴的距离为； 请依据以上定义与限制条件，试用和表示的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $