第08讲 有理数的混合运算11大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第08讲 有理数的混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数的混合运算（简单） 题型2 有理数的混合运算（复杂） 题型3 有理数混合运算的错题纠正问题 题型4 有理数四则混合运算的实际应用 题型5 程序流程图与有理数计算 题型6 算“24”点 题型7 含乘方的有理数混合运算 题型8 计算器——有理数 题型9 有理数混合运算的规律计算 题型10 有理数混合运算的新定义问题 题型11 二进制计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的混合运算 有理数混合运算的实际应用 程序流程图 算24点 1. 掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，熟记混合运算的运算顺序。 2. 能规范、准确进行有理数四则及乘方混合运算，提升运算熟练度与准确性。 3. 学会运用运算律简化运算，掌握分步运算、验算纠错的解题方法。 4. 培养严谨的逻辑思维和有序思考的习惯，规避符号、顺序类运算错误。 5. 能运用有理数混合运算解决简单实际问题，提升数学运算核心素养。 学习重点：掌握有理数混合运算顺序，熟练运用运算法则和运算律进行准确运算。 学习难点：正确处理运算中的符号问题，灵活运用运算律简化复杂混合运算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 注意：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 即时即练 1．有理数计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）利用乘法分配律可简便计算得到结果； （2）按照先算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减的运算顺序计算即可， 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2)12 【分析】（1）利用乘法分配律简便计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方与括号内运算，再算除法，得出结果； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点02 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 易错警示： 1. 简便运算不能改变原式结果，所有凑整、结合、变形都必须符合运算律。 2. 带符号运算是核心，所有数字必须连带前方符号参与组合运算。 3. 只可对乘法、加法使用分配、结合、交换律，除法严禁随意套用简便运算律。 4. 优先判断运算优先级，先乘方、再乘除，最后加减，简便运算需建立在优先级基础上。 即时即练 4． 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)99900 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、乘法运算律，解答的关键是熟知运算法则和运算顺序． （1）将化为，然后利用乘法分配律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用有理数的乘方运算和乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：． ； （2）解： ； （3）解： ． 5．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法运算律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，据此计算求解即可； （2）利用乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将式子变形，然后根据乘法分配律计算即可； （2）先将式子变形，然后提公因数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．运用运算律可以简化运算． 知识点03 算24点 核心定义 算24点是依托有理数混合运算的趣味数学题型，给定4个整数（包含正负数），运用加减乘除、乘方及括号，每个数字必须使用且只能使用1次，组合运算得出结果24。 二、运算规则（核心考点） 1. 数字规则：4个数字全部参与运算，每个数字只用一次，不可重复、遗漏，可调整数字排列顺序。 2. 运算规则：可使用加、减、乘、除、乘方运算，搭配小括号、中括号改变运算顺序，严格遵循有理数混合运算优先级。 3. 结果规则：最终计算结果必须精准等于24，允许中间运算过程出现负数、分数。 4. 拓展规则：初中阶段新增负数数字题型，需重点注意负负得正、正负得负的符号运算规则。 三、常用解题核心思路（高频方法） 1. 固定因数凑数法（最常用） 利用24的基础因数组合，凑出核心配对，剩余数字运算得1、2、3、4、6、8、12等关键数，核心公式：3×8=24、4×6=24、2×12=24、24×1=24，同时适配负数凑数：（-3）×（-8）=24、（-4）×（-6）=24。 2. 加减抵消凑数法 当无法凑出乘法因数时，利用加减运算组合，常用形式：30-6=24、18+6=24、25-1=24，负数题型可运用36+(-12)=24等有理数加减逻辑。 3. 括号改序法 针对多步运算题型，通过括号优先计算加减，再进行乘除运算，突破单一运算局限，是复杂数字组合的核心解题技巧。 常见易错点 1. 符号错误：负数参与乘除、乘方运算时，混淆正负符号规则，导致最终结果偏差。 2. 数字误用：出现重复使用数字、遗漏数字的情况，违反题型基本规则。 3. 顺序错误：未遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。 4. 思维局限：忽略负数、分数中间运算过程，仅局限于正数整数运算组合。 学习意义 巩固有理数混合运算顺序、符号法则及运算律，锻炼快速运算、逆向思维和灵活解题能力，是提升数学运算核心素养的经典训练题型。 即时即练 7．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 8．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）：请你帮他写出运算结果为24的算式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 利用点游戏规律列出算式即可； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 9．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 题型1 有理数的混合运算（简单） 1．计算 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．计算： 【答案】0 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)22 (2)10 (3) (4)39 【分析】（1）去括号依次加减即可； （2）先将除法化为乘法，再计算即可； （3）利用分配律进行简便计算即可； （4）先计算平方、乘法、绝对值，再相加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 4．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除即可. 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式 . 5．计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【易错警示】 简便运算需严守运算定律，不可随意变形改结果。计算务必坚持带符号搬家，分清负号与乘方的运算优先级。牢记除法无分配律，加减添括号注意变号，杜绝漏乘、错符号、乱改运算顺序等常见失误。 题型2 有理数的混合运算（复杂） 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 10．计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型3 有理数混合运算的错题纠正问题 11．小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一、三；二、三、四 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，小红错误的步骤是第二、三、四步； （2）解： ． 12．下面是甲、乙两位同学计算：的错误解法 甲同学 乙同学 错误解法 错误原因 正确解法 (1)请你分别圈出他们俩第一步出错的地方，并指出错误原因； (2)写出正确解法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序和运算法则，即可进行判断； （2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则即可进行解答． 【详解】（1）解：    （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 13．小明在计算时出现了错误，请找出错误并改正． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先根据相关的运算法则进行分析错误，再进行正确的求解即可． 【详解】解：错误分析：第一步中计算错误，，而非8（负数的奇次幂为负）； 应用乘法分配律时漏乘，未将与相乘，违背了“括号内每一项都要与括号外的数相乘”的规则； 正确解法： ． 14．小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，需注意运算顺序和符号处理 （1）小明在第一步将除法运算错误地当成了乘法运算，且未正确处理符号； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）小明在第一步将除法运算错误地当成了乘法运算，且未正确处理符号； 故答案为：一． （2）解：原式 15．（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【答案】（1）从第一步开始出现错误，正确过程见解析； （2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及乘法分配律的应用及有理数混合运算的顺序，关键是准确把握运算符号和运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，能简便计算的优先使用简便方法． （1）该题错误出现在第一步，应用乘法分配律时符号处理错误，正确运用乘法分配律将与括号内每一项相乘，注意符号变化后再计算； （2）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方和绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：错误出现在第一步； 正确解答过程： ； （2）解： ． 题型4 有理数四则混合运算的实际应用 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 【答案】(1)91 (2)471个 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． （1）根据所列公式计算即可； （2）类比可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即． 【详解】（1）解：， 故答案为：91； （2）解：依题意，得第二次采集到的野果数量应为个． 17．月球距地球大约为千米，一艘宇宙飞船的速度约为千米/时，如果该宇宙飞船从地球飞到月球，那么需要飞行多少天？ 【答案】20天 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解： （天）    答∶需要飞行20天． 18．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法． (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ 【答案】(1)23 (2)30只 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据二进制转换为十进制的方法计算即可； （2）仿照二进制转换为十进制的方法计算即可； 【详解】（1）解：将二进制数10111转换为十进制数为； （2）解：∵满4进1，图示表示的四进制数为132， ∴转化为十进制数为， 他所放牧的羊的只数是30只． 19．如图1，二维码在生活中很常见，它可以表示不同的信息．类似的，可通过正方形网格中，对每个小方格的涂色情况来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图2是王芳准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制数字11000，转化成十进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成十进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是张亮准考证号的二维码简易编码， ①第三行代表二进制的数字是______； ②将第四行代表二进制的数字转化成十进制数字，并说明这个数字的实际意义； (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整； (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，从考场号和座位号的角度来看，该校准考证号的编码识别系统理论上最多能识别多少个考生的信息？（考场号和座位号均从01开始排序，即01，02，03…） 【答案】(1)①11011；②21，本次考试张亮的考场号是21 (2)见解析 (3)961 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数混合运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． （1）①根据黑色代表1，白色代表0求解即可； ②根据题意将其转化为10进制数字，然后得出实际意义即可； （2）由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）①根据题意得，第三行代表二进制的数字是11011； ②根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 转化成十进制为：， 实际意义：本次考试张亮的考场号是21； （2）准考证号是2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）根据编码系统考场号和座位号最大识别数为：， 故从考场号和座位号的角度来看，理论上该校最多识别（个）． 20．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 【答案】（1）36；（2）欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米；（3）；（4）乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是： （1）根据缎带净重总质量中心纸筒的质量求解即可； （2）利用缎带净重÷缎带的质量即可求解； （3）利用20层的厚度÷层数（20）即可； （4）根据缎带总长=卷筒缎带底面环形面积÷缎带厚度求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：36； （2）（米） 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米． （3）， 故答案为：0.015； （4）这卷缎带的总长度大约 答：乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 【易错警示】 解决实际问题需先准确列式，找准题目数量关系，不可盲目套用简便算法。认真区分增减、盈亏等正负意义，审题不清易列式错误。运算严守顺序与符号规则，单位、作答不可遗漏，避免审题、列式、计算三重失误。 题型5 程序流程图与有理数计算 21．按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则运算； 根据运算程序，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴输出的结果是， 故选：D． 22．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据“数值转换机”的运算顺序计算即可． 【详解】解：当输入x为2时，输出的结果是． 故选：A． 23．有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【答案】/ 【分析】考查了有理数的混合运算，程序流程图的理解，求代数式的值，严格遵循流程、准确计算是解题的关键．解题关键是弄清题意，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可求得结果． 【详解】解：明确流程图的运算为，判断能否成立， 若成立，输出 y； 若不成立，将 y 作为新的 x 再次代入运算，直到满足条件， 将代入上式，得， 将代入上式，得，， 输出的结果为． 故答案为：. 24．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 25．如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大1，求输入的x值．列式：________________．（列式即可） 【答案】(1)6，； (2)，； (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的运算，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大1，可得到关于x的一次方程，即可作答． 【详解】（1）解：输入， 输出，． 故答案为：6，； （2）解：时， ， 解得， ∴； （3）解：∵，且m值比n值大1， ∴． 故答案为：． 【易错警示】 需严格遵循审题、列式、运算、检验流程解题，不可跳步、乱序。准确区分正负实际意义，严禁乱用简便算法、错改括号与符号。牢记先乘方再乘除后加减，杜绝漏算、错算，最后规范检查结果。 题型6 算“24”点 26．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 27．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 28．根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 29．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 30．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1)； (2)； (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； （2）解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； （3）解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 【易错警示】 计算24点时，四个数字必须各用一次、不可重复遗漏。严格遵循有理数运算顺序和符号规则，区分负数运算、乘方与括号优先级。不随意乱用简便算法，避免符号出错、运算跳步，灵活凑出3×8、4×6等标准组合，认真验算结果。 题型7 含乘方的有理数混合运算 31．计算： 【答案】 【分析】原式先计算乘方和括号内的，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 32．计算：． 【答案】． 【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 33．计算：． 【答案】50 【分析】先计算乘方，再计算括号内的，最后计算乘除即可得出结果． 【详解】解： ． 34．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】解： ． 35．计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 计算器——有理数 36．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据按键顺序写出算式，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 37．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 【答案】B 【分析】本题考查科学计算器的使用，掌握好相关知识是关键． 根据科学计算器的操作方法，逐个判断即可． 【详解】解：对于选项A：对应的运算公式为，故A正确； 对于选项B：对应的运算公式为，故B错误； 对于选项C：对应的运算公式为，故C正确； 对于选项D：对应的运算公式为，故D正确． 故选：B． 38．使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 【答案】 【分析】此题考查了计算器的使用和有理数的四则混合运算，根据题意正确列式是关键．根据列式，再根据有理数的四则混合运算顺序计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 39．计算器按键顺序为：，结果为_____________． 【答案】6.5 【分析】本题考查了计算器的运用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 40．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，正确在计算器中输入是解题的关键． （1）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （2）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （3）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （4）在计算器中正确输入对应的算式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 题型9 有理数混合运算的规律计算 41．观察下列算式，寻找规律，利用规律解答问题．， ， ， ， … (1)根据上述规律填空：________=________； (2)计算： 【答案】(1)64， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，理解数字之间计算的规律，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据材料提示的计算方法，将原式变形为，再根据规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：64，； （2）解： ． 42．观察下列算式： 按规律填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4)根据以上规律计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加法，规律型：数字的变化类，解题关键在于掌握计算法则找到规律. （1）首先根据前面的式子的规律即可求解； （2）探索当个数相加时，每个式子等号左右两边与的关系，然后根据规律求解； （3）利用（2）中的规律即可得； （4）由上述规律得：，，则，计算即可. 【详解】（1）解：根据所给算式规律可得， 故答案为：； （2）解：由题意，得，，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）中规律可得， 故答案为：； （4）解：由上述规律得：，， ∴ ． 43．如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成． 根据图形与等式的关系寻找规律，解答下列问题： (1) ， ，猜想______；（用含的代数式表示结果，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1)；； (2)7500 【分析】本题考查数字类规律探索，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律即可． （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可； （2）将原式变形为，然后利用（1）中结论进行简便运算即可． 【详解】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… ， ， 以此类推； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 44．仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【答案】(1) (2) (3)6，过程见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合运算，正确得到规律是解题的关键. （1）根据所给式子对照可得答案； （2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果 ； （3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算． 【详解】（1）解： （2） （3） ， ， ， 45．观察以下等式： ①， ②______， ③______， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式； （4）计算：． 【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3）；（4） 【分析】探究：（1）计算出结果即可． （2）根据①②③的规律写出第四个式子即可． 拓展：（1）根据①②③的规律写出第个等式即可． （2）首先提取负号，得出前面的规律式子，两个两个的相减，最后做到即可． 本题考查数字规律，有理数计算，解题关键是计算正确． 【详解】解：探究：（1）①， ②， ③， 故答案为：1，，2，，3 （2）④， 拓展：（1）第个式子：， （2） ． 题型10 有理数混合运算的新定义问题 46．定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 【答案】(1)24 (2)18 【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可； （2）根据定义的运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：24； （2）解：※ ， 原式※ 故答案为： 47．，为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义直接计算； （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 48．用“”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 50．定义：如果，那么称b为n的劳格数，记为． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么 ． (2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则；，如．根据运算性质，填空： ． (3)在（1）（2）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1)3 (2)5 (3)， 【分析】（1）根据劳格数的定义求解即可； （2）根据劳格数的性质得到，据此求解即可； （3）根据劳格数的性质可得，、，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据劳格数的定义可得，； （2）解：由劳格数的性质可得，， 所以； （3）解：由劳格数的性质可得，， 则． 题型11 二进制计算 51．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制中的数23．那么二进制中的1011101等于十进制中的数（ ） A．94 B．188 C．93 D．186 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算的应用；将二进制数转换为十进制数，通过每一位乘以2的相应次幂并求和． 【详解】解：∵ 1011101₂ ， ∴ 二进制数1011101等于十进制数93． 故选：C． 52．二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习《进位制的认识与探究》后，小明查阅了资料并进行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：可用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把123转换为四进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 则把123转换为四进制数是， 故选：A． 53．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中，等于十进制中的数5，请问二进制中的1011101等于十进制中的________． 【答案】93 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，依照示例进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：93． 54．课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：．计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．如二进制中的，可以表示十进制中的10． 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，有一种密钥破解方式，先将明码二进制数转成十进制数后，再按以下规定获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．按上述规定，则二进制明码“101101”译成密码为__________． 【答案】21 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意列式计算即可，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解： ， 则， 即二进制明码“101101”译成密码为21， 故答案为：21． 55．综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 【答案】(1) (2) (3)23 (4) 【分析】（1）按照材料2解答即可； （2）按照材料2解答即可； （3）根据材料1解答即可． （4）根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】（1）解：十进制数89，转二进制数如下： 所以； （2）解：十进制数89，转八进制数如下： 所以； （3）解：二进制数，转十进制数如下： （4）解：由题意得， 所以． 【易错警示】 二进制运算仅用0、1，计算时需熟记逢二进一、借一当二规则。容易出现进位遗漏、借位错误、混淆十进制运算习惯等问题。需严格区分加减运算规则，不乱套用十进制算法，步骤清晰，逐位验算，杜绝粗心失误。 1．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 2．下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 3．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，结合题意把十进制数转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制数是二进制下的11位数， 4．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 5．定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，只需将对应数值代入给定的新运算公式进行计算即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴将，代入公式得 故选：A． 6．下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．根据有理数混合运算的运算法则计算判断即可． 【详解】解： ， 接近， 非常接近， 的值最接近的是， 故选：C 7．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化规律． 根据数值转换机中的规律，确定出第2025次输出的结果即可． 【详解】解：把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 故输出的结果是1、4、2循环， 依此类推， ， 第2025次输出的结果为2． 故选：B． 8．有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可． 【详解】解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差， 且前三个数为，a， ∴， 即 解得 由a、、b的关系得： ∴第五个数为 则第六个数为， ∴第6个数为． 故选：B． 9．在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 【答案】C 【分析】本题考查不同记数制之间的转换，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数和十进制数转化为六进制数的方法． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为六进制数． 【详解】解： ， 故选：C． 10．如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为，，，，那么可以通过“”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示，白色小正方形表示，该生所在班级的序号为，则以下表示班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，类比题干中提供的计算方法，把转换成含有的次方的形式，可得：，再根据黑色小正方形表示，白色小正方形表示，即可得到班学生的识别图案． 【详解】解：A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，符合题意； D.，不符合题意； 故选：C． 11．统计数据显示，截至年月日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为亿元，如果该电影的平均票价是每张元，那么售出的电影票大约______张．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果即可． 【详解】解：亿元 元 元， 售出电影票的张数：（张）． 12．计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 13．定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 14．_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 先算乘方，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 16．小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以加上，若它是偶数，则除以．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到．例如：如图所示，输入自然数，最少经过次运算后可得到．如果一个自然数恰好经过次运算后得到，则所有符合条件的的值的和为____________． 【答案】172 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 依据题中给出的自然数5的运算结果，运算结果是16时，前一个运算结果可以是奇数5或偶数（），由此前继续推算，找出符合要求的数． 【详解】解：因为， 得数为64之前的数为偶数时，； 得数为64之前的数为奇数时，则，则； 当得数为16之前输入的数为奇数时，第一次计算的结果为10，则或，则． 综上所述a的值为128，21，20，3，则． 故答案为：172． 17．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 18．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 19．定义新运算∶，如．则的值为__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据新运算的定义，将 和代入公式进行计算． 【详解】解：由定义，， 当时， ． 故答案为：20． 20．如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“________”． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，根据密文“”对应的数字为“16 21”，代入运算程序计算得出明文即可． 【详解】解：密文“”对应的数字为“16 21”， 当时，，对应明文T， 当时，，对应明文O ∴密文“”破译成明文为“”， 故答案为：． 21．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算． (1)； (2) 【答案】(1)60 (2)2 【详解】（1）解： （2）解∶ 24．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘法运算，再进行加减运算即可； （2）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 26．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 27．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)佳佳，昊昊 (2)答案见解析 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可，注意负数的乘方； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：，计算，除法没有分配律， 佳佳计算错误， 昊昊应先计算乘除，最后算加减，不能先计算， 昊昊计算错误， 计算错误的学生有：佳佳，昊昊； （2） ． 28．为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 29．为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【答案】 【分析】仿照题干给定的方法，令，则，两式相减后，即可得出结果． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴，即． 30．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 有理数的混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数的混合运算（简单） 题型2 有理数的混合运算（复杂） 题型3 有理数混合运算的错题纠正问题 题型4 有理数四则混合运算的实际应用 题型5 程序流程图与有理数计算 题型6 算“24”点 题型7 含乘方的有理数混合运算 题型8 计算器——有理数 题型9 有理数混合运算的规律计算 题型10 有理数混合运算的新定义问题 题型11 二进制计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的混合运算 有理数混合运算的实际应用 程序流程图 算24点 1. 掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，熟记混合运算的运算顺序。 2. 能规范、准确进行有理数四则及乘方混合运算，提升运算熟练度与准确性。 3. 学会运用运算律简化运算，掌握分步运算、验算纠错的解题方法。 4. 培养严谨的逻辑思维和有序思考的习惯，规避符号、顺序类运算错误。 5. 能运用有理数混合运算解决简单实际问题，提升数学运算核心素养。 学习重点：掌握有理数混合运算顺序，熟练运用运算法则和运算律进行准确运算。 学习难点：正确处理运算中的符号问题，灵活运用运算律简化复杂混合运算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 注意：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 即时即练 1．有理数计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2) 3．计算： (1)； (2)． 知识点02 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 易错警示： 1. 简便运算不能改变原式结果，所有凑整、结合、变形都必须符合运算律。 2. 带符号运算是核心，所有数字必须连带前方符号参与组合运算。 3. 只可对乘法、加法使用分配、结合、交换律，除法严禁随意套用简便运算律。 4. 优先判断运算优先级，先乘方、再乘除，最后加减，简便运算需建立在优先级基础上。 即时即练 4． 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 5．简便计算： (1)； (2)． 6．简便计算 (1) (2) 知识点03 算24点 核心定义 算24点是依托有理数混合运算的趣味数学题型，给定4个整数（包含正负数），运用加减乘除、乘方及括号，每个数字必须使用且只能使用1次，组合运算得出结果24。 二、运算规则（核心考点） 1. 数字规则：4个数字全部参与运算，每个数字只用一次，不可重复、遗漏，可调整数字排列顺序。 2. 运算规则：可使用加、减、乘、除、乘方运算，搭配小括号、中括号改变运算顺序，严格遵循有理数混合运算优先级。 3. 结果规则：最终计算结果必须精准等于24，允许中间运算过程出现负数、分数。 4. 拓展规则：初中阶段新增负数数字题型，需重点注意负负得正、正负得负的符号运算规则。 三、常用解题核心思路（高频方法） 1. 固定因数凑数法（最常用） 利用24的基础因数组合，凑出核心配对，剩余数字运算得1、2、3、4、6、8、12等关键数，核心公式：3×8=24、4×6=24、2×12=24、24×1=24，同时适配负数凑数：（-3）×（-8）=24、（-4）×（-6）=24。 2. 加减抵消凑数法 当无法凑出乘法因数时，利用加减运算组合，常用形式：30-6=24、18+6=24、25-1=24，负数题型可运用36+(-12)=24等有理数加减逻辑。 3. 括号改序法 针对多步运算题型，通过括号优先计算加减，再进行乘除运算，突破单一运算局限，是复杂数字组合的核心解题技巧。 常见易错点 1. 符号错误：负数参与乘除、乘方运算时，混淆正负符号规则，导致最终结果偏差。 2. 数字误用：出现重复使用数字、遗漏数字的情况，违反题型基本规则。 3. 顺序错误：未遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。 4. 思维局限：忽略负数、分数中间运算过程，仅局限于正数整数运算组合。 学习意义 巩固有理数混合运算顺序、符号法则及运算律，锻炼快速运算、逆向思维和灵活解题能力，是提升数学运算核心素养的经典训练题型。 即时即练 7．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）：请你帮他写出运算结果为24的算式：__________． 9．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 题型1 有理数的混合运算（简单） 1．计算 (1) (2) 2．计算： 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．计算下列各题 (1) (2) 5．计算： (1)； (2)． (3)． 【易错警示】 简便运算需严守运算定律，不可随意变形改结果。计算务必坚持带符号搬家，分清负号与乘方的运算优先级。牢记除法无分配律，加减添括号注意变号，杜绝漏乘、错符号、乱改运算顺序等常见失误。 题型2 有理数的混合运算（复杂） 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2) 8．计算 (1) (2) 9．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： 题型3 有理数混合运算的错题纠正问题 11．小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 12．下面是甲、乙两位同学计算：的错误解法 甲同学 乙同学 错误解法 错误原因 正确解法 (1)请你分别圈出他们俩第一步出错的地方，并指出错误原因； (2)写出正确解法． 13．小明在计算时出现了错误，请找出错误并改正． ． 14．小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 15．（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 题型4 有理数四则混合运算的实际应用 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 17．月球距地球大约为千米，一艘宇宙飞船的速度约为千米/时，如果该宇宙飞船从地球飞到月球，那么需要飞行多少天？ 18．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法． (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ 19．如图1，二维码在生活中很常见，它可以表示不同的信息．类似的，可通过正方形网格中，对每个小方格的涂色情况来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图2是王芳准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制数字11000，转化成十进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成十进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是张亮准考证号的二维码简易编码， ①第三行代表二进制的数字是______； ②将第四行代表二进制的数字转化成十进制数字，并说明这个数字的实际意义； (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整； (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，从考场号和座位号的角度来看，该校准考证号的编码识别系统理论上最多能识别多少个考生的信息？（考场号和座位号均从01开始排序，即01，02，03…） 20．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 【易错警示】 解决实际问题需先准确列式，找准题目数量关系，不可盲目套用简便算法。认真区分增减、盈亏等正负意义，审题不清易列式错误。运算严守顺序与符号规则，单位、作答不可遗漏，避免审题、列式、计算三重失误。 题型5 程序流程图与有理数计算 21．按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 22．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 24．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 25．如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大1，求输入的x值．列式：________________．（列式即可） 【易错警示】 需严格遵循审题、列式、运算、检验流程解题，不可跳步、乱序。准确区分正负实际意义，严禁乱用简便算法、错改括号与符号。牢记先乘方再乘除后加减，杜绝漏算、错算，最后规范检查结果。 题型6 算“24”点 26．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 27．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 28．根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 29．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 30．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【易错警示】 计算24点时，四个数字必须各用一次、不可重复遗漏。严格遵循有理数运算顺序和符号规则，区分负数运算、乘方与括号优先级。不随意乱用简便算法，避免符号出错、运算跳步，灵活凑出3×8、4×6等标准组合，认真验算结果。 题型7 含乘方的有理数混合运算 31．计算： 32．计算：． 33．计算：． 34．计算：． 35．计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 题型8 计算器——有理数 36．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 37．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 38．使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 39．计算器按键顺序为：，结果为_____________． 40．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 题型9 有理数混合运算的规律计算 41．观察下列算式，寻找规律，利用规律解答问题．， ， ， ， … (1)根据上述规律填空：________=________； (2)计算： 42．观察下列算式： 按规律填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4)根据以上规律计算． 43．如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成． 根据图形与等式的关系寻找规律，解答下列问题： (1) ， ，猜想______；（用含的代数式表示结果，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 44．仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 45．观察以下等式： ①， ②______， ③______， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式； （4）计算：． 题型10 有理数混合运算的新定义问题 46．定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 47．，为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算下列各题． (1)； (2)． 48．用“”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 49．我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 50．定义：如果，那么称b为n的劳格数，记为． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么 ． (2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则；，如．根据运算性质，填空： ． (3)在（1）（2）的条件下，若，求和的值． 题型11 二进制计算 51．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制中的数23．那么二进制中的1011101等于十进制中的数（ ） A．94 B．188 C．93 D．186 52．二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习《进位制的认识与探究》后，小明查阅了资料并进行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：可用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把123转换为四进制数是（    ） A． B． C． D． 53．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中，等于十进制中的数5，请问二进制中的1011101等于十进制中的________． 54．课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：．计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．如二进制中的，可以表示十进制中的10． 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，有一种密钥破解方式，先将明码二进制数转成十进制数后，再按以下规定获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．按上述规定，则二进制明码“101101”译成密码为__________． 55．综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 【易错警示】 二进制运算仅用0、1，计算时需熟记逢二进一、借一当二规则。容易出现进位遗漏、借位错误、混淆十进制运算习惯等问题。需严格区分加减运算规则，不乱套用十进制算法，步骤清晰，逐位验算，杜绝粗心失误。 1．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 2．下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 4．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 5．定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 7．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 9．在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 10．如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为，，，，那么可以通过“”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示，白色小正方形表示，该生所在班级的序号为，则以下表示班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 11．统计数据显示，截至年月日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为亿元，如果该电影的平均票价是每张元，那么售出的电影票大约______张．（用科学记数法表示） 12．计算：________． 13．定义新运算：，例如：☆，则_____． 14．_______ ． 15．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 16．小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以加上，若它是偶数，则除以．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到．例如：如图所示，输入自然数，最少经过次运算后可得到．如果一个自然数恰好经过次运算后得到，则所有符合条件的的值的和为____________． 17．计算：_______． 18．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 19．定义新运算∶，如．则的值为__________． 20．如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“________”． 21．计算题： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算． (1)； (2) 24．计算： (1) (2)． 25．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 26．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 27．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 28．为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 29．为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 30．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $