专题22 相似模型之A字型与（双）8字型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题22 相似模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 8 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 12 14 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例2（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 例3（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 例4（2023·山东烟台·中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 例2（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 例4（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点． 操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点． 证明：，，， ________，________． ，，________， ________，________， ，，、N分别为的中点． 请将上述证明过程补充完整． 【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． 【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的异侧，点D为线段上的定点，过点D作交于点E，连结、交于点G，作直线交于点H，则线段长度的取值范围是________． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 例2（2025·成都·校考二模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；  小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 3.（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5.（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 6．（2025·广东深圳·一模）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 9.（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 10.（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 11．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ． 12.（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    13.（2025·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，．过点B作的垂线，交于点G，交于点F，则 ． 14（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 15.（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ． 16.（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 17．（2025·河南·校考三模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？    在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【问题思考】如图1，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长； 【类比探究】如图2，中，，，点D．E分别在线段、上，，．求的长； 【拓展应用】如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边、上，其中A、D之间是一池塘，测得，，．，．求A、D之间的距离． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 相似模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 8 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 12 14 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， 综上，或，故答案为：3或． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，，故选：B． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分，∴，∴， ∴，∴．故选：C． 例2（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：，． ，．，．． ．，故答案为：． 例3（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴，∴， ∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：． 例4（2023·山东烟台·中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰，∴，，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：取的中点H，连接，    ∵点是的中点，∴是的中位线，∴，， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，整理得，解得（负值已舍）， 经检验是所列方程的解，且符合题意，∴． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】四边形是平行四边形，， ，， ，，，，， 和分别以为底，它们高相同，，， 四边形是平行四边形，，， ，四边形的面积为：，故答案为：． 例2（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【答案】20 【详解】解：如图，延长交延长线于点，点是边的中点，， 四边形是菱形，，，， 在和中，，，， ，，又点是中点， ，，， 的面积为1，的面积为5，菱形的面积为20，故答案为：20． 例4（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点． 操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点． 证明：，，， ________，________． ，，________， ________，________， ，，、N分别为的中点． 请将上述证明过程补充完整． 【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． 【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的异侧，点D为线段上的定点，过点D作交于点E，连结、交于点G，作直线交于点H，则线段长度的取值范围是________． 【答案】（1），，，，；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：证明：，，， ，．，，， ，，，， 、N分别为的中点．故答案为：，，，，． （2）解：画射线，作线段交于点H，连接交于定E，作射线交于点F，根据四边形为平行四边形，故，根据（1）的证明，得点F是的中点， 连接交于点O，根据四边形为平行四边形，故定O是的中点，连接 则是的中位线．则即为所求． （3）解：连接，∵为的直径，∴， 设的交点为N，∵，∴，，∴，∴． ∵，∴，，∴，∴，∴， ∴，∴为的中点．∴是的中位线，∴，∴， ∴点H的运动轨迹是以为直径的的半圆，且为下方的半圆， 连接，过点C作于点M，∵，且， ∴，，设， ∵为的直径，∴，∴， ∴，解得，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，取得最大值，且最大值为， ∴线段长度的取值范围是．故答案为：． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，解得， ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴，∴．故选：A． 例2（2025·成都·校考二模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，， ，是的中点，，， ，，故选：B． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意知，，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴是的中位线，∴，故选：D． 3.（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，过点作∥交于点， ，平分，，是的中点， ∵∥，∴,是的中点，是的中位线， ，是上靠近点的三等分点，，，， ∵∥，，，，．故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平行四边形中，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，，故A、D不符合题意；∴，故C符合题意； ∵，，∴，故D不符合题意．故选：C． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：，，，，，， ∴，，， ，，，，，， ，，，，故①符合题意； 由得，与不一定相等，不一定等于， 与不一定相等，故②不符合题意； ，且，，故③符合题意，故选：B． 5.（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，，，是的中位线，， ，， ，即，解得：，，故选：C． 6．（2025·广东深圳·一模）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作于点M，于点N， ，，，，，，， ，，，同理，，，， ，，，， 设，，，，， ，，， 平行四边形中，，，又，， ，，，，， ，，， ，，，故选A． 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，为的角平分线，∴， ∵矩形，∴，∴， ∴，故A正确，不符合题意；∴， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故B正确，不符合题意； ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，选项C正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意；故选：D． 8．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【详解】解：设，为中点，，， ，， ，，．故答案为：． 9.（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，，， ，，在中，， ，，， ，，在中，， ，，，， ，，，， ．故答案为：． 10.（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵四边形是菱形，且， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，∴，故答案为：96． 11．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ． 【答案】/0.25 【详解】解：，，，， ，，，，，故答案为：． 12.（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴, ∵，∴，∴．故答案为： 13.（2025·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，．过点B作的垂线，交于点G，交于点F，则 ． 【答案】/ 【详解】解：过作平行于的直线交于于点，如下图： ，，， ，，，， ，， ，， ，，， ，，故答案为：． 14（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形，，， ，，， ，，， 解得：，正方形的面积为故答案为： 15.（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，，∴，故答案为：． 16.（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【解析】(1)解：∵，∴， ∴，∴．∵，∴． (2)解：由（1）得，∵，∴． ∵，∴．∵，∴．∴． (3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵，∴由（1）得， ∵，∴，∴． ∵，∴，∴． ∵平分，∴， ∴． ∴．在中，． ∵，∴， ∴． 17．（2025·河南·校考三模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？    在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．    (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 【答案】(1)(2)4(3)正确，理由见解析(4)或 【详解】（1）由折叠可得，， 又∵，∴，∴，故答案为：； （2）由折叠可得，，∵，∴，连接，      ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴； （3）正确，理由如下：连接， ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴， ∴，∴； （4）   如图③，连接， ∵，∴，由（3）知，， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质得，∴， ∵，∴，∴， 即，∴，∴， ∵与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，∴共有两种情况： ①当点与点B重合，如图③，；②当点与点F重合，如图④⑤，连接， 在中，由勾股定理得； 综上，的长为或． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)见解析，(2)①；② 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴． （2）解：①过点C作交于Q，如图， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，，∴是等边三角形， ∴，∴，设，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，由（1）知：， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴． ②作交延长线于F，于E，交于H，如图， ∵平分，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在与中，，∴， ∴，同理可证明是等边三角形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【问题思考】如图1，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长； 【类比探究】如图2，中，，，点D．E分别在线段、上，，．求的长； 【拓展应用】如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边、上，其中A、D之间是一池塘，测得，，．，．求A、D之间的距离． 【答案】【问题思考】的长为4；【类比探究】的长为；【拓展应用】A、D之间的距离为． 【详解】问题思考：，，，， ，，，，解得； 类比探究：如图2，在上截取，连接， ，为等边三角形，，， ，，，，， ，，，即，解得，答：的长为． 拓展应用：如图3，在上截取，连接， ，为等腰直角三角形， ，，，， ，，， ，，，即，解得（m）， 答：A、D之间的距离为． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，． (1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)见解析，(2)①；② 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴． （2）解：①过点C作交于Q，如图， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，，∴是等边三角形， ∴，∴，设，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，由（1）知：， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴． ②作交延长线于F，于E，交于H，如图， ∵平分，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在与中，，∴， ∴，同理可证明是等边三角形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $