专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦三角形倒角核心考点，系统梳理“8”字模型、“A”字模型及三角板模型，通过“真题溯源—模型提炼—结论推导—应用训练”架构，帮助学生建立从图形结构到角度关系的逻辑链，结合定理证明与真题解析突破角度计算难点。 亮点在于“模型具象化+分层突破”策略，如“8”字模型通过内角和定理推导∠A+∠B=∠C+∠D，培养几何直观与推理能力，三角板模型融入动态旋转真题训练强化模型意识。设置基础结论应用、综合变式拓展等分层练习，助力学生高效掌握解题通法，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

专题03.三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.“8”字模型 4 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板模型 9 13 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·湖北武汉·校考一模）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），_________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义），（等量代换）． 【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为____． 【答案】（1），，；（2）见详解；（3）；（4） 【详解】（1）证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （平角的定义），（等量代换）． 故答案为：，，． （2）证明：在中，， 在中，，，． （3）解：如图：则， ，，故答案为：． （4）解：如图，连接并延长， ∵和分别平分和，∴， 根据（2）可得，即，∴． 根据图象可得：，， ∴． 故答案为：． （2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，∴，故选：C． （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴；故选：B． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（2025·山东·中考模拟预测）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 【答案】35 【详解】解：∴，而，∴， ∵，∴．故答案为：35． 例2（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10． 例3【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【详解】解：（1）和，，． ， （2）分别平分，， 由（1）可知：由①+②可得， ，即，，，． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：，， ，，，， ①， ②， 由①②得：，． 模型2.“A”字模型 例1（2024·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴，故选：A． 例2（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，即，故选：． 例3（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，为直角三角形，，∴， ∵，，∴，∴； （2）如图，∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，，理由见下：由题意得，， ∴，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∴，∴，即． 模型3.三角板模型 例1（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，由题意可知， ，，，故选：D． 例2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记交于点，如图所示： ，，，，；故选：C． 例3（2025·浙江·模拟预测）一副三角板叠在一起如图放置．最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与，分别交于点，．把绕点旋转到一定位置，使得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得到，， 当时，， ∴， ∴在中，， ∴，故选：C ． 例4（2025·安徽马鞍山·三模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线和上，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，∵，，∴根据三角板的特点可得， ∴，∴，∵，∴；故选：A. 例5（2025·江苏·中考真题）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．①求线段的长；（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析 【详解】解：（1）∵中，，∴， ∵中，，∴， ∴； 在中，， 在中，，∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴，． ②，理由如下： ∵在中，，∴， 又∵，∴，∴． 1．（2025·河南周口·一模）将一块直尺与一块三角尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：由直尺两边平行可得， ∵，∴故选：A． 2．（2025·重庆·中考模拟预测）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D． 3．（2025·河南商丘·校考一模）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，，，，， ，，，．    4．（2024·河北石家庄·一模）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，故选：B． 5．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图标记，，，， 又，， ，，故选C． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意知，，，    ∵，∴，故选：D． 7．（2025·山东临沂·一模）一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意知，， ∵，∴，∴， ∴，∴．故选：D． 8．（2025·浙江丽水·二模）如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴，∴；故选D． 9．（2025·山东济宁·二模）一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，∴， ∴ 故选：C 10．（2025·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图方式摆放，已知，则的大小为（　　） A．25° B．20° C．15° D．30° 【答案】C 【详解】解：如图 ∵，∴ ， ∵ ，∴ ， 在中， ，∴ ，故选：C． 11．（2025·湖北·模拟预测）小强同学将一副三角板按如图所示的方式放置，一个顶点重合，一条边平行（），则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据题意易得， ∵，∴，∴， ∴．故选：A． 12．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）    A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，    ∵BC∥DE，∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B． 13．（四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A．210° B．110° C．150° D．100° 【答案】A 【详解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150° ∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180° ∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故选A． 14．（山东日照·中考真题）如图，一个顶角是的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则 【答案】/220度 【详解】解：如图， ∵，∴， ∴．故答案为： 15．如图，在中剪去得到四边形，且，纸片中的度数为 ． 【答案】 【详解】解：在四边形中，， ∵，， ，故答案为：． 16.如图，，相交于点O，，分别平分和．若，，则 ． 【答案】/60度 【详解】因为，分别平分和， 所以设，，则，， ，两式相加得，．故答案为． 17.如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)①，；② (3) 【详解】（1）证明：，，； （2）①，，； ，，； 故答案为：，； ②如图所示：和的平分线和相交于点，，， 由(1)得，，，． ，，； （3）解：，理由如下：与分别平分与， ，， 和的平分线和相交于点，，， ，， ，， ，，， 四边形，， ，， ，，， ，，． 18．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴， 由题干的结论得：，∠， ∴，∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知， ∵分别平分，∴， ∵∴， ∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；       ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，，同理可得，， ∴； ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角，∴， ∵，∴， 由题干的结论可知，∴， ∴ ． 19．如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：在中，， 在中，，∵，∴； （2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴， ∵①，②， 由，得：，即， ∵，∴； ②∵，∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴），故答案为：． 20．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)(4)540； 【详解】（1）解：，，，∴； （2）解：由（1）可知，， ∴ ； （3）解：连接，由（1）得：， 在中，，即， 即五角星的五个内角之和为． （4）解：连接，如图所示，由（1）可得，， ∴； ∵五角星内角和，七角星内角和， ∴“n角星”的n个内角的和为，故答案为：540；． 21.一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1)(2)或或(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）①当时, 如图所示, ，，即 ， ②当时， 如图所示，过点作，∴， ∴， ∴，， ∴；∴； 当时， 如图所示，如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵,∴， ∵,∴. 22．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【详解】（1）为直角三角形，，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为：．       （2）∵，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为：． （3）由（1）和（2）得，， ∵，∴，∴． （4），理由见下：由题意得，，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． 23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)125，90，35 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，结论：或，理由见解析 【详解】（1）解：由题意：，， ．故答案为125，90，35． （2）猜想：．理由：在中，， ∵，∴， ∴， 又∵在中，，∴， ∴，∴． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图3﹣1中，结论：． 理由：设交于O．        ∵，∴，∴． ②如图4﹣2中，结论： ③如图3﹣7中，结论：． 理由：∵， ∴，∴． 24.如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．(1)当为______时，；(2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数；(3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】(1)15(2)旋转角的所有可能的度数是：，，，， (3)，证明见解析 【详解】（1）解：当时，， ∴，即旋转角°故答案为：15 （2）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况： ①当时，如下图，由（1）知旋转角； ②当时，如下图，与重合，∴，即旋转角为； ③当时，如下图，∴，∴， ∴， ∴，即旋转角为； ④当时，如下图，延长交于点M， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴，在同一直线上，即点A，B，D共线， ∴，即旋转角为； ⑤当时，如下图， ∵，∴，即旋转角为； 综上所述，旋转角的所有可能的度数是：，，，，． （3）（3）当，，保持不变； 理由如下：在中，， ，，， ，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.“8”字模型 4 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板模型 9 13 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·湖北武汉·校考一模）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），_________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义），（等量代换）． 【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为____． （2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（2025·山东·中考模拟预测）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 例2（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 例3【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 模型2.“A”字模型 例1（2024·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 例3（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 模型3.三角板模型 例1（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 例2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 例3（2025·浙江·模拟预测）一副三角板叠在一起如图放置．最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与，分别交于点，．把绕点旋转到一定位置，使得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例4（2025·安徽马鞍山·三模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线和上，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例5（2025·江苏·中考真题）综合与实践:小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．①求线段的长；（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由． 1．（2025·河南周口·一模）将一块直尺与一块三角尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·中考模拟预测）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 3．（2025·河南商丘·校考一模）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·河北石家庄·一模）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 5．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东临沂·一模）一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江丽水·二模）如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 9．（2025·山东济宁·二模）一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图方式摆放，已知，则的大小为（　　） A．25° B．20° C．15° D．30° 11．（2025·湖北·模拟预测）小强同学将一副三角板按如图所示的方式放置，一个顶点重合，一条边平行（），则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）    A．15° B．30° C．45° D．60° 13．（四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A．210° B．110° C．150° D．100° 14．（山东日照·中考真题）如图，一个顶角是的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则 15．如图，在中剪去得到四边形，且，纸片中的度数为 ． 16.如图，，相交于点O，，分别平分和．若，，则 ． 17.如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． 18．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．        (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数． ②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）． ③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　　   19．如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 20．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 21.一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 22．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 24.如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．(1)当为______时，；(2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数；(3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $