专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习资料聚焦三角形倒角模型专题，覆盖高分线模型、双垂直模型及射影模型三大中考核心考点。资料以“真题现模型-提炼模型-模型运用”为主线，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生系统掌握角度计算与线段关系，突破几何推理难点。 亮点在于以2024江苏宿迁、2025四川乐山等中考真题为切入点，采用“条件-结论-证明-例题”四步教学法，培养学生几何直观与推理意识。设置分层练习与综合探究题，适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，提升学生中考几何题解题效率。

专题05.三角形中的倒角模型之高分线模型、双垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以， 根据题意得：平分，所以， 因为为高，所以，所以, 所以，故答案为：． （2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长；(2)求点到线段的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，，∴， ∵，∴，∴，∴ （2）解：过点作于点， ∵，∴， ∵，∴， ∴点到线段的距离为． （2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交于，求证：． （3）探究AB、BC、AC、BD之间的数量关系，请完成相关证明。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图， （2）证明：如图 ∵，∴， ∵，∴，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，∴． （3）∵∠ACB=90°，CD是高线， ∴，∴。 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③（等面积）。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③（等面积）。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（2025·南京·二模）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，∴， ∵是角平分线，∴， ∵是高，∴，∴，∴，∴， ∴，故选：A． 例2（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，，点为上一点，于点，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，∴， ∵尺规作图的痕迹，∴平分，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 例3已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 模型2.双垂直模型 例1（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 例2已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当与交于点时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是锐角三角形时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可求，，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可得；故答案为：或． 例3（2025·四川·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，，， ，由题意得：，∴DH= 故答案为：． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，是高，若，，则 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 例2（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，，∴垂直平分，则，， ∵在中，，，，∴， 由得， ∴，故答案为：． 例3如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 1．（2025·安徽合肥·中考模拟预测）如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，∴，∴在中，， ∴在中，，∴．故选：C． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形，，，∴，，， 在中，，∴， ∵菱形的面积为，∴，故选：A． 3．如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，，， 平分，， 为边上的高，，．故选：C． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，是边上的中线，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴，∴， ∵平分，∴， ∴；故选B． 5．（2025·山西晋中·三模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是边上的高，∴，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，故选：C． 6．（山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，∴BF⊥AC， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴， ∴，∴CE：AD：BF=，故答案是：． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵，∴，∴， ∵，即，∴，∴， 设，则，∴， ∵，∴在中，，即， 解得，即，解得或9，即或9，故答案为：7或9． 8.如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 . 【答案】 【详解】由题意得： ，解得．故答案为：． 9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【详解】解：∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴， ∵是的平分线，∴， ∴．故答案为：． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）中，边上的高相交于点F，的角平分线交于点G，若，则 ． 【答案】110° 【详解】解：∵∴∠GBC＋∠GCB=180°－∠CGB=55° ∵的角平分线交于点G，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACB=2∠GCB ∴∠ABC＋∠ACB=2∠GBC＋2∠GCB=2（∠GBC＋∠GCB）=110° ∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB）=70° ∵边上的高相交于点F，∴∠AEC=∠FDC=90°， ∴∠ACE=180°－∠AEC－∠A=20°∴∠FDC＋∠ACE=110°故答案为：110°． 11．（贵州黔东南·中考真题）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 ． 【答案】60 【详解】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°， ∵∠BAC=45°，∴AE=EB，∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBE，∴△AEF≌△BEC，∴AF=BC=10，设DF=x． ∵△ADC∽△BDF，∴，∴， 整理得x2+10x﹣24=0，解得x=2或﹣12（舍弃）， ∴AD=AF+DF=12，∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60．故答案为60． 12．如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证：；(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值；②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)①3；②21 【详解】（1）证明：，， ，，，， （2）证明：平分，， ，，而，； （3）①，，，，， ； ②如图，连接， 设，则，，， ，， ，，解得， 四边形的面积，故答案为：21． 13．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． (1)若，求的度数．(2)求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，∴． （2）解：∵是边上的中线，∴． ∴． 14．如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)成立 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线，．是边上的高线，， 在中，，； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立，设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线，， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 15.小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，，∴； （3）解：由（1）可得， ∵，∴，∴； 由线段垂直平分线的性质可得，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴，∴． 16．综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 【答案】（1）的度数为；（2）；（3）证明见解析． 【详解】解：（1）， 平分 ，故答案为：． （2），理由如下：在中，， ，平分，， ， ，，， ， ，故答案为：； （3）∵垂直平分，∴，， 在和中，∴， ∴，即， ∵是的外角，是的外角，∴，， ∵平分，∴，∴，∴． 17．（浙江杭州·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：．（2）若，求的面积 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）因为平分，所以．所以， 又因为，所以，所以． （2）由题意，得，，所以， 所以的面积为． 18．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 【答案】（1） 【详解】解：（1）∵在中，，，，∴， ∵，∴，即，解得．故答案为：； 19．（广西贵港·中考真题）已知：如图，在中，是边上的高，是平分线. ，． （1）求的度数；（2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【详解】解：（1）因为是边上的高所以 又因为所以 因为所以 （2）因为是平分线所以 又因为 所以 20．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直； (2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴，∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：由（）得，， ∵米，米，∴米，米，米， ∴，∴，∴， 又∵在中有， ∴，∴，∴， 如果另一端点在路段上，则在中，，∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时，设，则在中，有， ∴，∴，∵，∴能修建成这样的一条直路． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.三角形中的倒角模型之高分线模型、双垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． （2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长；(2)求点到线段的距离． （2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交于，求证：． （3）探究AB、BC、AC、BD之间的数量关系，请完成相关证明。 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③（等面积）。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③（等面积）。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（2025·南京·二模）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则 A． B． C． D． 例2（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，，点为上一点，于点，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    模型2.双垂直模型 例1（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例2已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 例3（2025·四川·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，是高，若，，则 例2（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 例3如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 1．（2025·安徽合肥·中考模拟预测）如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，是边上的中线，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西晋中·三模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 ． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 8.如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 . 9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）中，边上的高相交于点F，的角平分线交于点G，若，则 ． 11．（贵州黔东南·中考真题）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 ． 12．如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证：；(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值；②四边形的面积是______． 13．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． (1)若，求的度数．(2)求证：． 14．如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 15.小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 16．综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 17．（浙江杭州·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：．（2）若，求的面积 18．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 19．（广西贵港·中考真题）已知：如图，在中，是边上的高，是平分线. ，．（1）求的度数；（2）求的度数． 20．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $