第6章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高二选择性必修第二册

第6章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（ ） A. B. 4 C. 7 D. 23 2.已知，，，若三向量共面，则实数等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（ ） A. B. C. D. 5.在正四棱锥中，，与平面所成角为，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 6.如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ） A. B. C. D. 7.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（　　） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 10.正方体的棱长为2，为的中点，则（ ） A. B. 与所成角余弦值为 C. 面与面所成角正弦值为 D. 与面的距离为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 存在点，使得 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________. 13.在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则______． 14.如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知空间三点. （1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与垂直，且，求的坐标. 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． （1）求证：BE⊥DC； （2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值． 17.如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且． （1）证明：平面： （2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值． 18.如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点，求锐二面角的余弦值的取值范围． 19.三阶行列式是解决复杂代数运算算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点 （1）①若，，求； ②证明. （2）记的面积为 ，证明：. （3）证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（ ） A. B. 4 C. 7 D. 23 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 2.已知，，，若三向量共面，则实数等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】由条件结合空间向量共面定理列方程可求值. 【详解】由向量，，， 因为三向量共面， 则存在实数使得，即， 可得， 解得， 故选：A. 3.已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A 4.已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底结合运算表示目标向量即可. 【详解】由题意. 故选：A 5.在正四棱锥中，，与平面所成角为，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离，从而得解. 【详解】依题意，设，则平面， 因为平面，所以为与平面所成角，即， 因为，所以，则， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 6.如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 7.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标， 因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故选：D 8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，找到球心O和点的轨迹，求出到平面的距离，利用几何法求截面圆的半径和周长. 【详解】取面对角线中点，连接，，，，分别在上，且， 以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，， ，，，， 三棱锥中， 为直角三角形，所以， 因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为， ，，，，，共面， ，，， ， 平面，，平面，平面， 点轨迹为矩形的四边，如图所示， ，为平面的法向量， 则球心到平面的距离为， 球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（　　） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 【答案】BD 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 10.正方体的棱长为2，为的中点，则（ ） A. B. 与所成角余弦值为 C. 面与面所成角正弦值为 D. 与面的距离为 【答案】ABD 【分析】本题建立空间直角坐标系，利用空间向量可解决线线垂直、异面直线所成的角的相关问题、二面角的相关问题，以及解决空间一点到面的距离问题. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系 正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、. 选项A：因为，，所以 所以，故A正确. 选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B正确. 选项C：易求平面的法向量. 设平面的法向量为，易求,， 由，令，则. 设平面与平面所成角为，则, ，即，故选项C不正确. 选项D：因为平面的法向量为，， 设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为， 则：,故选项D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 存在点，使得 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】对ABC选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体的性质可得截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断. 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则点坐标为； 对A：设平面的法向量为，， 则，即，取，解得，故； 又，， 考虑到，则，故， 故一定是异面直线，A正确； 对B：，， 若，则，即， 解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误； 对C： ，取平面法向量， 则， 设直线与平面的夹角为 则，则， ，又，故， 即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C正确； 对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大. 此时过的截面经过对称中心， 设截面交于中点，也为中点， 所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大， 取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形， 其面积，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________. 【答案】 【分析】 先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可. 【详解】由题意， 所以， 解得. 故答案为： 13.在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则______． 【答案】 【分析】取定空间的一个基底，表示出，再利用数量积的运算律求得答案. 【详解】在平行六面体中，，， 则，而，则， 而，则 ， 所以. 故答案为： 14.如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为______． 【答案】 【分析】由题意得面面，结合菱形性质，得两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，由空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【详解】 折起前，连接菱形的对角线交于点， 所以，所以折起后有， 因为菱形的边长为1， 所以， 又因为，，且 所以在中，有， 所以， 所以折起前后四边形的面积固定， 若以为折痕将折起， 当点到达的位置时，四棱锥的体积最大， 则此时点到平面的距离最大， 则此时有面面， 又面面，，面， 所以面， 又面， 所以， 又， 所以两两互相垂直， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系： 则， 过点作于点，则， 又因为， 所以，即， 所以， 因为三点共线， 所以不妨设 ， 所以点到直线的距离 ， 所以当时，， 所以到距离最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知空间三点. （1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与垂直，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）利用空间向量的夹角余弦公式求出，从而得到以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； （2）设出，根据空间向量垂直关系和模长，列出方程组，求出的坐标. 【详解】（1）， ， , ∵， . 故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积. （2）设. ，且， ，解得或 故或. 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． （1）求证：BE⊥DC； （2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积为零证明线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，通过两个法向量夹角余弦求二面角的余弦值. 【详解】（1）依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，， 由E为棱PC中点，得， 所以，， 故， 所以BE⊥DC.； （2），，，， 由点F在棱PC上，设， 故 由BF⊥AC，得， 则，解得， 即. 设为平面FAB的法向量， 则 即， 不妨令，可得为平面FAB的一个法向量． 易知向量为平面ABP的一个法向量， 则. 由图可知，二面角F－AB－P为锐角， 所以二面角F－AB－P的余弦值为. 17.如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且． （1）证明：平面： （2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）连接，可证为的中点且，可得，又，由线面垂直的判定可证； （2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解. 【详解】（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点， 所以有，又因为， 所以都为正三角形， 所以，四边形是菱形， 记与的交点为，为和的中点， 因为， 所以三角形为正三角形， 所以，所以， 因为是半球面上一点，是半球的直径，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）因为点在底面圆内的射影恰在上， 由（1）知为的中点，为正三角形，所以， 所以底面， 因为四边形是菱形，所以， 即两两互相垂直， 以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则， 设直线与平面的所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18.如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点，求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答案; （3）设，（），表示出F点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为； （3）因为， 设，（），则， 可得，，，即，可得， 由（2）知：平面的一个法向量， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则，可得， 因为，结合在上单调递增，得， 则，所以 所以锐二面角的余弦值的取值范围为. 19.三阶行列式是解决复杂代数运算算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点 （1）①若，，求； ②证明. （2）记的面积为 ，证明：. （3）证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 【答案】（1）①；②证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）①由向量叉乘的定义直接求解即可；②设，,根据叉乘的运算表示和即可证明； （2）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后根据（1）的运算证明即可； （3）由（2），通过变形可得，即可证明. 【详解】（1）① 因为，， 则； ② 设，，则 ， 将与互换，与互换，与互换， 可得， 故； （2）因为 ， 故， 故要证， 只需证， 即证， 由（1），，， 故， 又， ，， 则成立， 故； （3）由（2）， ， 故， 故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $