第6章 空间向量与立体几何（单元自测·基础卷）数学苏教版高二选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学选择性必修二单元自测 第6章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 2．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 3．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为不重合，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误． 故选：B． 4．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的夹角公式计算，求出向量的夹角，逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：设，则， 且，则，故A错误； 对于选项B：设，则， 由于，则，故B正确； 对于选项C：设，则， 且，则，故C错误； 对于选项D：设，则， 由于，则，D错误; 故选：B. 6．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 7．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面垂直以及线线平行可得为直线与平面所成角的线面角，又三角形边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用线面角公式即可求解． 【详解】方法一：连接相交于，取中点，中点为,连接， 则,, 由于底面，平面，所以, 又,平面，所以平面， 所以平面,因此为直线与平面所成角， ,,所以, 则,    方法二：建立如图空间直角坐标系，则,2,,,2,,,0,， ,2,，,0,，    由于所以平面的法向量为,2,， 设直线与平面所成角为， 则， 则直线与平面所成角的余弦值为． 故选：B． 8．已知点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可. 【详解】设， 可求得， 所以． 故选：B 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案. 【详解】若，则，即有，即，即有3，故A正确，C错误； 若，则，即有，可得， 解得，则，故B错误，D正确. 故选：AD. 10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到. 【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ， 故，D正确. 故选：ABD 11．在长方体中，，以为原点，以分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面的一个法向量为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】BD 【分析】建立坐标系，由向量法逐一判断即可. 【详解】由题意可得 选项A：，，即不成立； 选项B：设平面的一个法向量为, 由，则 所以，取，得. 选项C：， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 选项D：由上可得平面的一个法向量为， 又平面的法向量为，则， 所以两个平面夹角的余弦值为，则D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，且，则向量与的夹角为 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角. 【详解】因为，，， 所以，解得； ， 因为，所以. 故答案为：. 13．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，进而可求出直线与平面的夹角大小，进而可求得向量在平面内的投影向量的长度． 【详解】因为平面的法向量为，向量，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，所以． 所以向量在平面内的投影向量的长度为． 故答案为：． 14．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由题可得，，然后根据空间向量的数量积结合条件可得，进而即得. 【详解】因为平面，平面， 所以，， 因为， 所以， 所以，，即. 16．（15分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解. 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴． 又∵平面平面，平面平面， 且平面 ∴平面． （2）由，得， ∴．     建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴，，． 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为． 则，令，则， ∴． ，令，则， ∴， ∴． ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）记，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）记，则： ， ，， ， ，即有； （2）． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由底面，得到，结合⊥得到线面垂直，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，计算出，得到线面平行； （2）求出平面的法向量，计算出，得到线面角的正弦值； （3）利用两平面的法向量，得到两法向量的夹角余弦值，进而求出面面角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故，， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 19．（17分）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，再由线面垂直的判断定理即可； （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，根据平面与平面的夹角余弦值计算，然后计算异面直线与夹角余弦值即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 .    学科网（北京）股份有限公司14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学选择性必修二单元自测 第6章空间向量与立体几何基础通关 （参考答案) 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A B A B B 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 (本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9 10 11 AD ABD BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.晋 1.号 14.号 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.(13分) 因为AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°，ABC平面ABC, 所以AA1⊥AB,AB⊥AC,(5分) 因为AC=AA+AC, 所以ACA丽=(AA+A心)A丽=A4西+ACA=0:(10分) 所以，AC⊥A店，即AB⊥AC1(13分) 16.(15分) 【解析】(1)四边形AAC1C是正方形， ·AA1⊥AC 又，平面ABC⊥平面AAC1C,平面ABCn平面AAC1C=AC, 1/5 可学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 且A4,c平面AA1C1C AA1⊥平面ABC.(5分) (2)由AC=4,BC=5,AB=3,得AC2+AB2=BC2, …AB⊥AC 建立如图所示的空间直角坐标系， Bi D A y B E 则A10,0,4,B(0,30),B(0,3,4)C(4,0,4(7分) …BC=4,-3,8A=0,3,4B8=0.0,4.（9分) 设平面A,CB的一个法向量为元=(XyZ小平面4CB的一个法向量为元=，). 则可B元1=4x13y1+421=0,令y1=4,则x1=0,z1=3, 可BA1=-3y1+4红1=0 可=(0,43)(11分) 2BC1=4x23y2+422=0，令x2=3,则y2=4, 2·BB1=422=0, 2=(3,40,(13分) cos(训=需=品= 平面A1C1B与平面BGB夹角的余弦值为，(15分) 25 17.(15分) (1)记A=京，A而=6，A4=,则： 2/5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=丽+C+cC=A+A丽+AA,=+6+,(3分) :A.A而=京6=0'AAA1=京=1×2×()=-1” A.AA1=6=1×2×()=-1' AC-（自+6+=++2+2（京6+a+6)9分） =1+1+4+2(0-1-1)=2,即有|4C=V2:(12分) (2》AAD=A41(而-)=(6-)=6-=1-(1)=0(15分) 18.(17分) (1)因为PA⊥底面ABCD,ABC底面ABCD,所以PA⊥AB, 又因为AD⊥AB,ADOAP=AAD,APC平面PAD: 所以AB1平面PAD,即AB为平面PAD的一个法向量，(5分) 如图以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,3),(8分) 由E为棱PC的中点，得E(11,)' 向量B应=(0,1，)'A=(1,0,0)'故2A=0'8驼1通 又BEt平面PAD,所以BE/平面PAD:(10分) (2)因为BD=(-1,20),设平面BDE的法向量为五=(xy,2): 则i.Bi=-x+2y=0,令y=3得x=6,z=2,取元=(6,3，-2)，(12分) （i·B2=y+z=0 c-(220)oc动-器品=誓， 14 所以直线AC与平面BDE所成角的正弦值为95；(15分) 14 3/5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)又平面PAD的法向量京=庙=(10,0)' cos(成)=需=岛=身 所以平面PAD与平面BDE所成角的正弦值为，-(9)厂=零 (17分〉 19.(17分) (1)因为四边形BCDE为矩形， 所以DE⊥CD, 因为∠ACB=90°，即AC⊥BC, 又DEIBC, 所以DE⊥AC, 因为Acn CD=C,ACC平面ACD,CDC平面ACD, 所以DE⊥平面ACD.(5分) (2)由题意可知，平面BCDE⊥平面ABC,平面BCDEn平面ABC=BC, 且DC⊥BC 所以DC⊥平面ABC, 所以DC⊥AC,DC⊥BC 因为DC/IEB,DC=EB 所以EB1平面ABC,(9分) 又因为ABC平面ABC,所以EB⊥AB 所以AB=VAB2-BE=6-4=25(10分) 如图所示以CACB,CD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设CA=a,CB=b,且a2+b2=AB2=12(a>0,b>0 则D(0,02E0,b,2,Aa0,0 所以D2=(0,b,0,DA=(a0,-2(12分) 设五=(&y,z)为平面ADE的法向量， 则i:D=0→{y=0。,取x=2: (i.DA=0（ax-2z=0 4/5 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则方=(2,0，a)(14分) 因为DC1平面ABC,则C⑦=(00,2为平面ABC的法向量， 设平面ADE与平面ABC的夹角为6， 则os9=aacl-需 2=5， √4+ax2 5 解得2=1，b=Vi 即A1,000,i,0A=(-1i,0)克=0，压，0)15分) 所以异面直线DE与AB夹角余弦值为 1c应---17分 23V11 ZA D E B 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修二单元自测 第6章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 2．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 7．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D．5 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．在长方体中，，以为原点，以分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面的一个法向量为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，且，则向量与的夹角为 13．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为 ． 14．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.求证：. 16．（15分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， (1)求； (2)求． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 19．（17分）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学选择性必修二单元自测 第6章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 2．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 7．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D．5 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．在长方体中，，以为原点，以分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面的一个法向量为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，且，则向量与的夹角为 13．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为 ． 14．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.求证：. 16．（15分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， (1)求； (2)求． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 19．（17分）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $