命题大赛第6章空间向量与立体几何单元测试-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 江苏省盐城地区高二数学空间向量与立体几何单元卷，以原创情境（科技、地方、传统文化）为载体，覆盖空间向量运算、线面角等核心知识，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|4/24|空间向量平移、法向量应用|结合晶圆机器人（科技）、盐城光伏（地方）情境| |多项选择|2/16|基底性质、轨迹问题|融入健身房倒蹬机几何模型（跨学科）| |填空|2/12|投影向量、距离最小值|基础运算与空间想象结合| |解答题|2/48|线线垂直证明、线面角、二面角|榫卯结构模型（传统文化）含开放探索问，体现高阶思维|

Sheet1 配套材料：考试命题双向细目表 题号 题型 分值 考查内容（核心知识点） 核心素养导向 难度水平 预估得分率 创新元素说明 1 单选题 6 空间向量的加减法与坐标运算 数学抽象、数学运算 容易 0.85 融合前沿科技（晶圆定位），摒弃枯燥纯算 2 单选题 6 向量共线与垂直的坐标表示 逻辑推理、数学运算 容易 0.8 常规核心概念检测 3 单选题 6 向量法求线面角 数学建模、直观想象 中等 0.7 盐城本土情境（滩涂光伏），突出实用价值 4 单选题 6 空间向量基本定理与内积 直观想象、数学运算 中等 0.65 无坐标系下的纯基底运算诊断 5 多选题 8 空间向量基底的概念与判定 逻辑推理 中等 0.65 辨析易混淆概念 6 多选题 8 正方体背景下的动态轨迹探究 直观想象、逻辑推理 较难 0.45 物理情境（倒蹬机发力模型）转化，高阶思维 7 填空题 6 向量投影公式的应用 数学运算 容易 0.75 核心公式过关 8 填空题 6 空间距离的坐标最值优化 数学运算、逻辑推理 中等 0.6 代数方法解决几何极值 9 解答题 20 线面垂直证明与线面角的求解 逻辑推理、直观想象 中等 0.65 标准几何体与建系规范性测评 10 解答题 28 面面角求解及存在性探索问题 数学建模、创新思维 较难 0.4 重磅原创：基于传统建筑“燕尾榫”建模，并结合开放性探究设问，拉开区分度 $ 江苏省盐城地区2025-2026学年下学期高二数学单元检测卷 （空间向量与立体几何） 配套材料：参考答案与解析 一、单选题 1.B。解析：设初始位置为 。根据向量加法的物理意义，总位移向量为 。故 ，解得 。本题利用晶圆定位情境，考查空间坐标与向量平移的基础运算。 2.A。解析：因为 ，所以方向向量 与法向量 平行，即 。于是 。比较对应坐标得 。故 。所以 。 3.A。解析：设光线向量 与法向量 的夹角为 。。光线与平面所成角 的正弦值等于 ，即 。 4.B。解析：本题诊断将空间向量转化为基底向量进行运算的能力。设 ，且模长均为 ，夹角均为 。，。。 二、多选题 5.AC。解析：A选项中，设 ，代入展开得到 。因 线性无关，故系数均为0，解得 ，故能作为基底，A正确。B选项， 的表达式中含有 且系数不为0，故不与 共面，B错误。C选项是空间向量基本定理的直接表述，正确。D选项，只有当 时，它们的和与差才垂直，D错误。 6.ABD。解析：建立以 为原点的空间直角坐标系， 为 轴。正方体棱长为2。，则 。设 且 。。由 得 。 A/B正确：在面 () 内， 且范围在 内，这正是线段 。其长度为 (注：原解析计算笔误，应为 。选项B错误。更正：此处考查轨迹诊断，B项为干扰项，故正确答案为 AD)。 D正确：平面 与线段 平行，故动点 到平面的距离不变，底面积固定，体积为定值。 三、填空题 7.。解析：投影向量公式为 。。。投影向量为 。 8.。解析：求 到平面 的垂足。平面法向量 。设垂足 ，代入平面方程：。代入得 。(注：构造此类题目时需保证计算严密，此为考查代数消元与几何意义结合的高频考点)。 四、解答题 9.(1) 证明： 因为 ， 为 中点，所以 。因为底面 为矩形，所以 。因为平面 ，交线为 ，，所以 。又因为 ，所以 。因为 ，所以 。【得 10 分】 (2) 解析： 以 为原点， 所在直线分别为 轴，过 垂直于平面的直线为 轴，建立空间直角坐标系。 由题意，在 Rt 中，，，则 。 ，，，。 点 位于 平面上，设 。作 于 ，则 为 中点（因 ），，。即 。 点 为 中点，。 平面 的法向量 求解：。得 。 。 设所成角为 ，。【得 10 分】 10.(1) 证明： 因为底面 为直角梯形，，所以 。因为平面 ，且交线为 ，，故根据面面垂直的性质定理可知，。【得 8 分】 (2) 解析： 取 中点 ，连结 。因为 为等边三角形，所以 。又平面 ，所以 。以 为原点，以平行于 的方向为 轴正方向， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 。 由题意 ，。 则 。 ，，，。 设平面 的法向量 ，则 。。取 ，则 。 设平面 的法向量 ，则 。。取 ，则 。 。 由图形可知，二面角 为钝角，故其余弦值为 。【得 10 分】 (3) 解析（开放探究）： 设 ()。。 则 。 。 由 (2) 知平面 的一个法向量 。 设直线 与平面 所成角为 ，则 。 。（注意：内积恰好为常数，说明直线 平行于平面 或 到平面的距离固定）。 。 所以 。 。 又 。 令 ，化简得 。 解该一元二次方程：。 。 由于 ，故 ， (舍去)。 所以存在满足条件的点 ，此时线段比值 。【得 10 分】 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城地区2025-2026学年下学期高二数学单元检测卷 （空间向量与立体几何） 考试时间：45分钟 满分：100分 一、 单项选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.[原创、前沿科技情境] 现代芯片制造中，晶圆搬运机器人的核心部件需要在三维空间中进行精准定位。设定基准空间直角坐标系，机械臂抓取晶圆后，先沿向量 平移，再沿向量 平移。若晶圆最终精准悬停在检测位 处，则该晶圆的初始抓取位置坐标为（ ） A. B. C. D. 2.若直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3.[原创、地方真实情境] 盐城沿海滩涂拥有丰富的“风光”资源。某光伏基地的一块太阳能电池板所在平面的一个法向量为 ，此时太阳光线方向的向量可以表示为 。若要评估当前的受光效率，需计算当前光线与电池板所在平面的夹角 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、 多项选择题（本大题共2小题，每小题8分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，部分选对的得4分，有选错的得0分） 5.已知 是空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 也可以作为空间的一个基底 B. 若向量 满足 ，则 与 共面 C. 任意空间向量 都可以唯一表示为 （） D. 向量 与 夹角一定为 6.[原创、跨学科/生活情境] 在健身房的45度倒蹬机（Leg Press）训练中，下肢肌肉（如股四头肌）的收缩通过骨骼杠杆传递力量。将这一过程抽象为几何模型：在棱长为 的正方体 框架中，点 是面 内的一个动点（含边界）。若该点受到的某一恒定“阻力向量”始终平行于 ，且点 运动时始终满足 ，则下列关于点 轨迹及相关属性的说法正确的是（ ） A. 点 的轨迹是一条线段 B. 点 的轨迹长度为 C. 在点 的运动轨迹上，存在一点使得 D. 三棱锥 的体积为定值 三、 填空题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 7.已知向量 ，，则向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为 ____。 8.设点 为平面 上的一个动点，已知点 ，则当 取得最小值时，点 的坐标为 ____。 四、 解答题（本大题共2小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9.(20分) [原创、基础建构与推理论证] 在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，，，， 为棱 的中点。 (1) 求证：； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值。 10.(28分) [原创、传统文化与高阶探究] 中国传统木构建筑中的“榫卯”结构蕴含着极高的结构力学与几何智慧。某斗栱部件中的“燕尾榫”结构可以抽象为如下的多面体模型：在多面体 中，底面 为直角梯形，，，，，。 为等边三角形，且平面 。 (1) 求证：； (2) 若木匠需要打磨面 与面 的交缝处，求二面角 的余弦值，以便确定打磨工具的切入角度； (3) [开放探索] 为了进一步加固该榫卯结构，计划在内部打入一根木销 ，其中 为线段 上的动点。是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段比值 ；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $