七年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 整式的乘法～第3章 一元一次不等式（组））

七年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）已知，，m，n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算，先将32转化为2的5次方，再利用幂的运算法则把所求式子变形为含已知式的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据的条件，利用不等式性质与正负数运算的符号规律，判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵， ∴（不等式两边同时减去，不等号方向不变）， 又∵， ∴， ∵两个负数相加的结果为负数， ∴，D正确； 取，，，可得，A错误； 取，，，可得，B错误； ∵，， ∴， 又， ∴，C错误； 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 4．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 7．（25-26八年级上·吉林·期末）若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，积的乘方运算、同底数幂的乘方运算逆用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，分别计算a、b、c的值，然后比较大小即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 9．已知，，，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据，，分别求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成. 【详解】∵，，， ∴ 故选D 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据已知列出不等式组．由将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满可得，根据再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出得，解不等式可得a的范围． 【详解】解：将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ， 解得， 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ， 解得， ； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·江西宜春·月考）关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为________． 【答案】0或6或8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的整数解，不等式的解集，掌握知识点是解题的关键． 先解方程得到，由于解是正整数，因此必须是9的正因数，且，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 解得． 由于方程的解是正整数，因此且为整数， 故，即， 且必须是9的正因数． 9的正因数有1、3、9， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 均满足解为正整数． 若为负因数，则为负，不符合要求； 若，则分母为零，方程无解． 因此整数的值为0或6或8． 故答案为：0或6或8． 12．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是______． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴ 或； 故答案为：． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 【答案】2026 【分析】本题考查“逐步确定”策略，根据题意，先确定之间，满足除以8余2的数，再在这些数中确定除以7余3的数，再确定除以5余1的数即可． 【详解】解：设八八数之剩二的数为， 由题意，， ∴，即， ∴满足题意的整数为共13个数， ∴满足条件的数有2002，2010，2018，2026，2034，2042，2050，2058，2066，2074，2082，2090，2098，共13个数， 这13个数中满足七七数之剩三的数只有2026和2082两个数， 2026和2082两个数中满足五五数之剩一的只有2026； 故共有兵2026人； 故答案为：2026. 16．观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是_______． 【答案】 【分析】由题意可得＋＋＋…＋＋＝（1＋2＋22＋…＋229＋230）＝（1＋231−2）＝（×2−1），再将＝m代入即可求解． 【详解】∵，， ∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2 ∵， ∴＋＋＋…＋＋ ＝（1＋2＋22＋…＋229＋230） ＝（1＋231−2） =（×2−1） ＝m（2m−1） =． 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 18．（6分）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 20．（8分）（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的估算以及实数的运算性质，核心是利用“夹逼法”确定无理数的范围，从而分离出整数部分和小数部分，再代入计算． （1）先确定和的范围，得到小数部分和整数部分，再代入计算的值，最后求其平方根； （2）先确定的范围，得到整数部分和小数部分，再代入计算的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分； ∵，即， ∴的整数部分； 则， ∵1的平方根为， ∴的平方根为； （2）∵，即， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分； 则. 21．（10分）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题： (1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且； (2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式； (3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将看作已知数求出方程组的解表示出与，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）将看作已知数求出方程组的解表示出与，代入不等式，解不等式即可； （3）解方程组得到，，，再解不等式组，得到，代入不等式解答即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵且， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴当时，原题意成立； （2）解：解方程组得，， ∵为正整数，、为整数， ∴， 把代入得， 解得：； （3）解：解方程组得，， ∵，，为3个非负实数， ∴，解得：， ∴的最小值，的最大值， ∵始终成立， ∴， ∴， 解得：． 22．（10分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 23．（12分）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)，，， 【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， ． 、为正整数， 为的倍数， 又， 满足条件的为：，，，． 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 24．（12分）（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章整式的乘法~第3章一元一次不等式（组） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）已知，，m，n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若是实数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 4．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级上·吉林·期末）若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．已知，，，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·江西宜春·月考）关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为________． 12．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 14．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是______． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 16．观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 18．（6分）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 20．（8分）（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 21．（10分）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题： (1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且； (2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式； (3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围． 22．（10分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 23．（12分）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 24．（12分）（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $