第7章 培优专题5 应用意识—折纸中的数学学问&培优专题6 学科融合—光线传播中的数学学问-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（人教版·新教材）

∠COE=∠C=30°，∠BOF=∠B=45°，∠DOF=∠D=:5.B[解析]如图，过点B,D,F分别作水平线的垂线，则 60°，.∠1=∠AOE+∠COE=90°+30°=120°，∠2= PC∥DE∥QG,∴.∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+ ∠BOF+∠DOF=45°+60°=105°，∴.∠1-∠2=120°- 105°=15°. ∠DFG.由题意，得∠DBC= 3∠ABP=2 (90°-a), 4.解：(1)∠B=∠BED十∠D.理由如下：如图①，过点E作 号∠HrQ-号(90-，∠BDr=号（(0- ∠DFG= EF∥AB..AB∥CD,.EF∥AB∥CD,∴∠BEF=∠B, ∠D=∠DEF.∠BEF=∠BED十∠DEF,∴∠B= 号（90-0=号180°-a-0,即y=120-号a+ )+ ∠BED+∠D.(2)∠CDE=∠B十∠BED.理由如下： 如图②，过点E作EP∥AB.·ABCD,.EP∥AB∥CD, 0,即号a+=120-x ∴.∠B+∠BEP=180°，∠CDE+∠DEP=180°. P E 又，∠DEP=∠BEP-∠BED,∴.∠CDE+∠BEP- ∠BED=∠B+∠BEP,即∠CDE=∠B+∠BED. CDG 6.C7.30° ① ② 章末复习 5.獬：(1)∠E+∠G=∠B+∠F+∠D(2)∠B+∠F1+ 1.D2.B3.B4.75°5.D6.B7.B8.180° ∠F2十…十∠Fm-1+∠D=∠E1十∠E2十…十∠Em 9.(1)证明：因为∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠3+∠2+ 培优专题5：应用意识一折纸中的数学学问 ∠4=2（∠1+∠2）.因为∠1+∠2=90°，所以∠1+∠3+ 1.110°2.65°3.72 ∠2+∠4=180°.因为∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4= 4.(1)30°(2)135 180°×2，所以∠D+∠B=180°，所以DE∥BC. 5.解：135°(2)由题意，得∠D0G=(180-∠3)，AF∥ (2)解：成立.示例：选题图②证明如下：如图，连接EC.因 为∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，所以∠3+∠4= BE,AD∥BC.,CD∥BE,.CD∥BE∥AF,∴.∠4= ∠1+∠2=90°，因为∠EAC=90°，所以∠AEC+∠ACE ∠ADC.∠3=50，∴.∠DCG=65°，∴∠BCD=∠DCG =180°-90°=90°，所以∠AEC+∠ACE+∠3+∠4= +∠3=115°.，AD∥BC,∴.∠BCD+∠ADC=180°， 180°，即∠DEC+∠BCE=180°，所以DE∥BC. ∴∠ADC=180°-∠BCD=65°，.∠4=65. 6.解：(I)由折叠，得∠DEF=∠D'EF,∠CFE=∠C'FE. :四边形ABCD是长方形，AD∥BC,∴.∠CFE十 ∠DEF=180°，∠DEF=∠1，∠AEG+∠EGB=180°. ∠1：2=3：4，∴∠2=号∠4，∠1+∠2+1= 10.118°11.2412.A 180,即∠1+号∠1+∠1=180，解得∠1=5，∠DEF 13.解：(1)①135°②40°(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由 =54°，.∠D'EF=54°，.∠AEG=180°-∠DEF 如下：因为∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,所 ∠D'EF=72°，.∠EGB=180°-∠AEG=108°. 以∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90° (2)由折叠，得∠DEF=∠D'EF,∠CFE=∠C'FE.四 =180°.(3)存在.当∠ACE=30°时，AD∥BC;当 边形ABCD是长方形，∴ADBC,∠A=90°，∠DEF+ ∠ACE=45时，AC∥BE;当∠ACE=120°时，AD∥CE; ∠EFC=180°.∠M=40°，.∠AEM=180°-∠A 当∠ACE=135°时，BE∥CD;当∠ACE=165°时，BE ∠M=50,·∠DEF=2(18o-∠AEM)=65, ∥AD. ∴.∠CFE=180°-∠DEF=115°，.∠EFC=∠CFE 第八章 实 数 =115°. 8.1平方根 培优专题6：学科融合一光线传播 第1课时平方根 中的数学学问 1.D2.D3.D4.A5.D 1.A2.A3.C4.A 6.解：(1)±√/121=±11.(2)-√81=-9. 8v-==士√原=±是 25 (2)由数轴可知a<0,b>0,a一b<0,所以原式=一a一b十 (a-b)=-a-b+a-b=-2b. 7解：(1移项，得16r=9,所以=品两边开平方，得z 第3课时用计算器求一个正数的算术平方根 1.B 3 一士4 《②)原方程可化为(1-x)P=6,两边开平方，得 1 2.(1)18.7883(2)8.7487(3)0.0486(4)110.0954 3.B4.(1)0.2284228.4(2)0.0005217 1一x=士行，解得x- 7 6或x=6 5.B6.B7.46-28.> 8.D9.A 9.(1)-3.1415>-π(2)2√1Π<3√5 10.D11.D12.6913.B14.D 10.解：(1)易知面积为400cm2的正方形卡纸的边长为 15.(1)A(2)D16.1017.8或0 20cm.要裁出的长方形面积为300cm2,.若以原正方 18.解：设边长应为xcm.依题意，得x2=11+13×8,即x2 形卡纸的边长为长方形的长，则长方形的宽为300÷20= =225,所以x=15或x=-15(舍去).答：边长应为 15(cm),.可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上 15cm. 截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方 19.解：选择方案二.理由：方案一：设正方形的边长为am.由 形.（答案不唯一）(2)不能.理由：，长方形卡纸的长、宽 题意，得a2=81,且a>0,所以a=9,4a=36,所以方案一 之比为5：3，∴.设长方形卡纸的长为5xcm,宽为3xcm, 需要用工料36m.方案二：设圆的半径为rm.由题意，得 则5x·3x=300,即15x2=300,x2=20,∴.x=士√20. 2=81,且r>0,则r=√元 /81 ≈5.08,5.08×2Xx≈31. 又，x>0,x=√20，.长方形卡纸的长为5√20cm 20>16,.√20>4，即5√/20>20，∴.小华不能用这张 90,所以方案二需要用工料约31.90m.由于31.90<36， 卡纸裁出符合要求的长方形卡纸. 所以方案二用工料少一些，因此选择方案二 11.C12.A13.387.3 第2课时算术平方根 14.解：(1)3=√9，√7<√9，√7<3.1.52=2.25<3， 1.B2.D3.B4.C5.26.5 7.(1)6(2)0.07(3)3(4)48.D9.0 1.5<3.(2)√3>1.5，.2/3>3.3>√7，∴.23 10.解：由题意得√x+I十√y-2=0.√x十I≥0， >√7.(3)原式=√7-√3-25+√7=27-33. 15.解：(1)如图所示 √y-2≥0，x+1=0,y-2=0,.x=-1,y=2,x -y=-1-2=-3,∴.(x-y)2=（-3)2=9, ∴.√(x-y)=√=3，.(x-y)2的算术平方根是3. 11.解：(1)16.4(2)16.9(3)√273在16.5和16.6之间. 理由.16.52=272.25,16.62=275.56，且272.25<273 (2)不能.理由：，要裁出的长方形的面积为8.64，长与宽 275.56,.√273在16.5和16.6之间. 的比为3：2，.设长为3x,则宽为2x.由题意，得3x·2x =8.64,∴x=1.2(负值舍去)，此时长为3.6，宽为2.4. 18.3 √10<3.6，∴.不能沿着边的方向裁出一块面积为8.64 1 19.解：因为√2a十1=0，所以2a十1=0，所以a=- 的长方形纸片，且使它的长与宽的比为3：2. 2 16.(1)0.220200(2)2×10m(3)0.235823.58 因为v6-a=2,所以b-a=是，所以b= 1 4十a= 8.2立方根 4 合=-子，所以分w-V合x(-）x(-) 第1课时立方根 1.A2.B3B4C5.10.6(203)-号 1-1 W16=4 6.(1)x=4(2)x=-3 20.解：易知x2-4>≥0且4-x2≥0，.x2-4=0,即x=士2. 7.C8.D9.C10.C11.A 又x十2≠0，∴x≠一2，x=2.将x=2代人y= 12.解：设小康制作的正方体礼盒的棱长为acm,则6a2= 150,解得a=5(负值舍去)，∴.小康制作的正方体礼盒的 √x2-4+√4-x x+2 十2025，可得y=2025,.x2+y-3 体积为a3=125cm3.:小明制作的正方体礼盒的体积比 =22+2025-3=2026. 小康制作的正方体礼盒小61cm3,∴.小明制作的正方体 礼盒的体积为125一61=64(cm3),∴.小明制作的正方体 1 21.解：1)04160ga@3512-a 礼盒的棱长为64=4(cm),∴.小明制作的正方体礼盒的 同行学案学练测·23·同行学案学练测七年级数学下RJ 培优专题5：应用意识 学 素 1.如图，△ABC中，∠B=40°，点D为 新课标 边BC上一点，将△ADC沿直线AD 新考向 折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB,则 象能 ∠ADE的度数为 B 运算能 E 几何 B 直观 第1题图 第2题图 间观 2.如图，一张四边形纸片ABCD中，∠B=∠D 念 =90°，∠C=130°，把纸片按如图所示折叠，使 点B落在AD边上的点B'处，AE是折痕，则 力 ∠AEB的度数是 3.如图①，已知长方形纸带ABCD,将纸带沿 EF折叠后，点C,D分别落在点H,G的位 模 置，再沿BC折叠成图②，若∠DEF=72°，则 ∠GMN= 用 创新 识 ② 4.如图①，有一条长方形纸带ABCD,∠DEF= 15° AE ② 3 (1)如图②，将纸带沿EF折叠，则∠EPB的 度数为 (2)将图②中的纸带再沿PF折叠，如图③所 示，则∠CFE的度数为 32 做神龙题得好成绩 折纸中的数学学问 5.[空间观念]如图，将一条对边互相平行的纸 带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD. (1)如图①，若BECG,∠1=55°，则∠2的度 数是 (2)如图②，若CD∥BE,且∠3=50°，求∠4 的度数. F D B C ① 6.[模型观念]如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D,C分别落在点D',C的位置， ED'的延长线与BC相交于点G (1)如图①，∠1：∠2=3：4，求∠EGB的 度数 (2)如图②，延长EG,AB交于点M,若∠M =40°，求∠EFC的度数. D 培优专题6：学科融合 1.当光线从空气斜射向水中时，会发生 新课标 折射.如图，若人射角∠1=50°，折射 新考向 角∠2=36°，则∠EDF的度数为() A.14° B.16 C.18 D.259 D B E B 第1题图 第2题图 2.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB 35°，在OB边上有一点E,从点E射出一束光 线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB 平行，则∠DEB的度数是( )(提示： ∠ODE=∠ADC) A.70° B.60° C.65° D.1109 3.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折 射后，其折射光线与一束经过光心O的光线 相交于点P,点F为焦点.若∠1=x°，∠2 y°，则∠3的度数为( A.(x-y)° B.(180-x-y)° C.(180-x+y)° D.(x+y-90)° B 第3题图 第4题图 4.(通辽中考)如图，一束光线AB先后经平面 镜OM,ON反射后，反射光线CD与AB平 行，当∠ABM=35°时，∠DCN的度数 为() A.55° B.70 C.60 D.35 第七章相交线与平行线☑ 光线传播中的数学学问 数 5.如图①，当光线从空气斜射入某种透明的液 养 体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角 ∠2的度数比为3：2.如图②，在同一平面 内，两条光线同时从空气斜射入这种液体中， 抽 两条人射光线与水平液面的夹角分别为α，3， 在液体中两条折射光线的夹角为Y,则α，B,Y 三者之间的数量关系为( 力 A.a B号a+=1wr-y C.a+B=Y D.a+3+y=180° 6.(凉山州中考)光线在不同介质中的传播速度 念 是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发 模 生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的 光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=45°， ∠2=120°，则∠3十∠4=( 新 识 A.165° B.155° C.105° D.90° 7.如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地 面，现在地面AB上支放一个平面镜CD,使 这束光线经过平面镜反射后成为水平光线射 出，则平面镜CD与地面AB的夹角∠DCA 的度数等于 B 视频讲解 做神龙题得好成绩33