第7章 培优专题3 平行线中的几何证明与计算&培优专题4 平行线中的“拐点”问题-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（人教版·新教材）

/同行学案学练测七年级数学下RJ 培优专题3：平行线中的几何证明与计算 学素 1.如图，已知AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2， 3.如图，点D在AC上，点F,G分别在AC,BC ∠D=∠3+70°，∠CBD=80°. 的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点H, (1)求证：AB/CD. 且∠EHD+∠HBF=180°. (2)求∠C的度数. (1)若∠F=30°，求∠ACB的度数： 抽象能力·运算能力 (2)若∠F=∠G,求证：DGBF. 几何直观·空间观念·推理能力 ·数据观念 2.如图，在△DEF和△ABC中，∠D=∠A= 4.如图①，AB/∥CD,点E是AB上一点，EM平 模型观念· 90°，∠E=30°，∠C=45°，AC与DF相交于 分∠AED交CD于点M,且EN⊥EM, 点G,若∠FGC=105°，请判断EF与BC是 (1)若∠EDM=48°，求∠EMD的度数. 应用意识 否平行，并说明理由. (2)如图②，若MA平分∠EMC,∠BEN= 30°，求证：MADE. 创新意识 G D 30 做神龙题得好成绩 第七章相交线与平行线 培优专题4：平行线中的“拐点”问题 的 素 母题：如图，如果ABCD∥EF,那么∠BAC+ 变式二：变“平行线间”为“平行线的外部” 养 ∠ACE+∠CEF=( 4.已知AB/CD,点E为AB,CD外任意一点. A.180°B.270°C.360° D.540° (1)如图①，探究∠BED与∠B,∠D之间的 A B 数量关系，并说明理由。 抽 B (2)如图②，探究∠CDE与∠B,∠BED之间 的数量关系，并说明理由. D 运算 A A 母题图 变式图 变式：[推理能力]如图，AB∥CD,∠A=25°， 几何直 ∠CDP=140°，则∠P= 变式训练 ③ 变式一：变“外凸”为“内凹” 1.(安徽中考)一副直角三角尺如图摆放，其中 ∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C= 30°，AB与DF交于点M.若BC∥EF,则 ∠BMD的大小为( A.60° B.67.5° 变式三：变“一次”为“多次” C.75° D.82.5 5.[创新意识](1)如图①，AB∥CD,则∠E+ ∠G与∠B+∠F+∠D之间的数量关系 为 识 D (2)如图②，若AB∥CD,又能得到什么结论？ 第1题图 第2题图 请直接写出结论 2.如图，AB/DE,∠ABC=80°，∠CDE=140°， B 则∠BCD的度数为() E >F A.30 B.40° G D C.609 D.80° ① 3.把一副三角尺按如图所示摆放在桌面上，AB CD,∠1与∠2的差是( ) B A.10° B.15° C.20° D.25 做神龙题得好成绩3190°，∴.∠CGH+∠EHG=180°，∴.纸带②的上下边线 .∠BPQ=90°，.∠PBQ=180°-90°-78=12°， 平行 .∠ABC=180°-∠PBQ=180°-12°-168°. G ② AD G D B E H 第3课时平行线的性质 ① ② 1.A2.C3.25°4.B5.A6.C7.C8.B 13.解：(1)：AD是∠BAC的平分线，∠BAD=35°， 9.B10.574711.512.A13.B14.D ∴∠BAC=2∠BAD=70°.又.AB∥DG,.∠DGC ∠BAC=70°.(2)：AB∥DG,.∠2=∠BAD 15.解：(1)，EF/CD,∴∠1+∠ACD=180°.：∠1=140°， 又∠1=∠2，∴∠1=∠BAD,.AD∥EF. .∠ACD=40°.，GD/CA,.∠2=∠ACD=40°. 14.解：(1)ABCD.理由：.∠1与∠2互补，∴.∠1+∠2= (2):DG平分∠CDB,∠2=40°，∴.∠BDG=∠2=40 180°又：∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,∴.∠AEF+ .GDCA,∴∠A=∠BDG=40. ∠CFE=180°，.AB∥CD.(2)由(1)知，AB∥CD, 16.解：(1)如图①，过点E作EM∥AB.,AB∥CD,∴.CD∥ ∴·∠BEF+∠EFD=180°.又，∠BEF与∠EFD的平分 EM∥AB,∴.∠ABE=∠BEM,∠DCE=∠CEM.,CF 线交于点P,∴∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD) 平分∠DCE,.∠DCE=2∠DCF.∠DCF=30°， =90°，∴.∠EPF=90°，即EG⊥PF.GH⊥EG,PF .∠DCE=60°，∠CEM=60°.又：∠CEB=20°， //GH. 7.3定义、命题、定理 ∴.∠BEM=∠CEM-∠CEB=40°，∴.∠ABE=40. 1.A2.①②③④ (2)如图②，过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB. 3.解：(1)如果两条直线平行，那么同位角相等. ,∠EBF=2∠ABF,.设∠ABF=x,∠EBF=2x,则 (2)在同一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的 ∠ABE=3.x.,CF平分∠DCE,设∠DCF=∠ECF= 边相等 y,则∠DCE=2y.:AB∥CD,∴.EM∥AB∥CD, 4.D5.真 6.证明：.MN平分∠BMH,HG平分∠CHM,.∠1= ∴∠DCE=∠CEM=2y,∠BEM=∠ABE=3x, ∴.∠CEB=∠CEM-∠BEM=2y-3x,同理∠CFB=y ∠BMH,∠2=∠CHM.:AB/CD.∠BMH= -x.2∠CFB+(180°-∠CEB)=190°，.2(y-x)+ ∠CHM,∴.∠1=∠2，∴.MN/GH. 7.题设：AB⊥BC,CD⊥BC,BECF. 180°-(2y-3.x)=190°，.x=10°，∠ABE=3.x=30. 结论：∠1=∠2. D 证明：：AB⊥BC,CD⊥BC,.AB∥CD,∠ABC= ∠DCB.又·BE∥CF,∴.∠EBC=∠FCB,∴∠ABC ∠EBC=∠DCB-∠FCB,∴∠I=∠2.（答案不唯一） 8.B9.真命题 A H B 10.两个角相等这两个角是对顶角假 11.示例：(1)3×0=(-2)×0,3≠-2 (2)3=1-3,3≠-3 12.解：(1)题设：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互 ② 补.结论：这两条直线平行. 第4课时平行线的性质与判定的综合应用 (2)题设：∠1=∠2，∠2=∠3.结论：∠1=∠3. 13解：示例：已知：∠1=∠2，∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B 证明：如图，：∠1=∠3，∠1=∠2，∴.∠3=∠2，.EC∥ 8.639.①②③10.C11.①④ BF,∴∠AEC=∠B.又：∠B=∠C,∴∠AEC=∠C, 12.125168[解析]如图①，延长CB,HG相交于点K. .ABCD,.∠A=∠D. BC∥EF,∠EFH=55°，.∠BKH=∠EFH=55. ABGH,∴.∠ABK=∠BKH=55,∴.∠ABC=180 一∠ABK=125°.如图②，延长BC,FE相交于点P,则可 得BP⊥EP,延长AB交FE的延长线于点Q.:'AB∥ FH,∠EFH=78°，.∠Q=∠EFH=78°.，BP⊥EP, ·22·同行学案学练测 14.证明：a∥b,∴.∠CAE+∠ACF=180°.又AB平分 培优专题3：平行线中的几何证明与计算 ∠CAE,CD平分∠ACE,∴∠1=2∠CAE,∠2- 1.(1)证明：AE⊥BC,FG⊥BC,.AE∥GF,∴∠2=∠A. 3∠AC.∠I+∠2=日∠CAE+号∠ACF ∠1=∠2，∴∠1=∠A,.AB∥CD.(2)解：AB∥ CD,∴.∠D+∠ABD=∠D+∠CBD+∠3=180°..∠D 2(∠CAE+∠ACp)-2X180°=90，∠AcC=180 =∠3+70°，∠CBD=80°，∴.∠3+70°+80°+∠3=180°， ∴.∠3=15°..ABCD,∴.∠C=∠3=15. -(∠1+∠2)=180°-90°=90°，.AB⊥CD 2.解：EFBC.理由：如图，过点G作GH∥BC.,∠C=45°， 7.4平移 ∠CGH=45°.，∠FGC=105,∴.∠FGH=105°-45°= 1.B2.D3.C4.B5.C 6.解：(1).∠ACB=90°，∠A=40°，∴.∠ABC=90°-40°= 60°.在△DEF中，∠D=90°，∠E=30°，.∠F=60°， 50°.，三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形 .∠F=∠FGH,∴.EFGH,.EF∥BC. DEF,∴.∠E=∠ABC=50°.(2)：三角形ABC沿AB 方向向右平移得到三角形DEF,∴.AB=DE,∴AD=BE. ,AD+DB十BE=AE,.BE十2十BE=9,.BE =3.5cm. G 7.解：如图所示，三角形A'B'C即为所求. B C 3.(1)解：∠EHD+∠HBF=180°，∠EHD=∠BHC, .∠BHC+∠HBF=180°，.BF∥EC,.∠ACE=∠F =30°.又，CE平分∠ACB,∴.∠ACB=2∠ACE=60°. B' (2)证明：：CE平分∠ACB,.∠BCE=∠ACE. ∠ACE=∠F,∠F=∠G,.∠BCE=∠G,DG∥EC. B 又BF∥EC,.DGBF. 8.C9.C10.1311.A 4.(1)解：AB∥CD,.∠AED+∠EDM=180°. 12.解：(1)三角形A1B1C1如图所示.(2)CE如图所示. 又，∠EDM=48°，.∠AED=132.又，EM平分 (3)16 ∠AED.∠AEM=∠MED=号∠AED=G6.AB∥ CD,.∠EMD=∠AEM=66°.(2)证明：EM⊥EN, ∴.∠MEN=90°.∠BEN=30°，∴.∠AEM=180°-90 夕 -30°=60°.AB∥CD,∴.∠EMD=∠AEM=60° Eh C BT ,∠CME+∠EMD=180°，∴∠CME=180°-60°=120°. C 13.解：(1)如图.（答案不唯 :MA平分∠CME,∠AME=号∠CME=60.:EM 平分∠AED,.∠MED=60°，∴.∠AME=∠MED, ..MA//DE. (2)三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积均为ab 培优专题4：平行线中的“拐点”问题 一b.(3)10×15-10×1=140(m2).答：这块菜地种菜 母题：C 部分的面积为140m2. 变式：65 数学活动一你有多少种画平行线的方法 变式训练 1.D2.B3.A4.C5.A6.②④ 1.C2.B 7.解：(1)(2)(3)如图所示.(4)平行且相等 3.B[解析]如图，过点O作EFAB. Q A E--- E C B ,AB∥CD,.AB∥CD∥EF,.∠AOE=∠A=90°， ∠COE=∠C=30°，∠BOF=∠B=45°，∠DOF=∠D=5.B[解析]如图，过点B,D,F分别作水平线的垂线，则 60°，∴.∠1=∠A0E+∠C0E=90°+30°=120°，∠2= PC∥DE∥QG,.∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+ ∠BOF+∠D0F=45°+60°=105°，∴.∠1-∠2=120°- 105°=15. ∠DPG.由题意，得∠DBC=号∠ABP=号(S0°-a. 4.解：(1)∠B=∠BED十∠D.理由如下：如图①，过点E作 ∠DFG= 号∠HrQ=号(9e-∠BDF=号(90 EF∥AB..AB∥CD,.EF∥AB∥CD,∴∠BEF=∠B, ∠D=∠DEF.,∠BEF=∠BED+∠DEF,∴.∠B= 90°-)=号180°-a-Bm,即y=120°-2 a)+2 2 3 a+ ∠BED十∠D.(2)∠CDE=∠B十∠BED.理由如下： 如图②，过点E作EP∥AB.,ABCD,∴.EP∥ABCD, 9,即号e+8=12-7 ∴.∠B+∠BEP=180°，∠CDE+∠DEP=180°. P E 又∠DEP=∠BEP-∠BED,.∠CDE+∠BEP ∠BED=∠B+∠BEP,即∠CDE=∠B+∠BED, C入BF CDG 6.C7.30 ① ② 章末复习 5.解：(1)∠E+∠G=∠B+∠F+∠D(2)∠B+∠F1+ 1.D2.B3.B4.75°5.D6.B7.B8.180 ∠F2十…十∠Fm-1+∠D=∠E1+∠E2十…十∠E 9.(1)证明：因为∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠1十∠3十∠2十 培优专题5：应用意识一折纸中的数学学问 ∠4=2（∠1+∠2）.因为∠1十∠2=90°，所以∠1+∠3+ 1.110°2.65°3.72 ∠2+∠4=180°.因为∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4= 4.(1)30°(2)135 180°×2，所以∠D+∠B=180°，所以DE∥BC. 5.解：(1)35° (2)由题意，得∠DG=210-∠3)，AF/ (2)解：成立.示例：选题图②证明如下：如图，连接C因 为∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，所以∠3+∠4= BE,AD∥BC.CD∥BE,.CD∥BE∥AF,.∠4= ∠1+∠2=90°.因为∠EAC=90°，所以∠AEC+∠ACE ∠ADC.,∠3=50°，∴.∠DCG=65°，∴.∠BCD=∠DCG =180°-90°=90°，所以∠AEC+∠ACE+∠3+∠4= +∠3=115°.AD∥BC,∴.∠BCD+∠ADC=180°， 180°，即∠DEC+∠BCE=180°，所以DE∥BC. ∴.∠ADC=180°-∠BCD=65°，∴.∠4=65°. D E 6.解：(1)由折叠，得∠DEF=∠D'EF,∠CFE=∠C'FE 四边形ABCD是长方形，∴.AD∥BC,∴.∠CFE+ ∠DEF=180°，∠DEF=∠1，∠AEG+∠EGB=180°. “∠1：∠2=3：4∴∠2=青∠1∠1+∠2+∠1= 10.118°11.2412.A 180,即∠1+号∠1+∠1=180，解得∠1=5，∠DEF 13.解：(1)①135°②40°(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由 =54°，.∠D'EF=54°，∴.∠AEG=180°-∠DEF 如下：因为∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,所 ∠D'EF=72°，∴.∠EGB=180°-∠AEG=108. 以∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90 (2)由折叠，得∠DEF=∠D'EF,∠CFE=∠C'FE.,四 =180°.(3)存在.当∠ACE=30°时，AD∥BC;当 边形ABCD是长方形，∴.AD∥BC,∠A=90°，.∠DEF+ ∠ACE=45时，AC∥BE;当∠ACE=120时，AD∥CE; ∠EFC=180°.∠M=40°，∴.∠AEM=180°-∠A 当∠ACE=135时，BE∥CD;当∠ACE=165°时，BE 1 ∠M=50,.∠DEF= (180°-∠AEM)=65°， ∥AD. .∠CFE=180°-∠DEF=115°，.∠EFC'=∠CFE 第八章实 数 =115° 8.1平方根 培优专题6：学科融合一光线传播 第1课时平方根 中的数学学问 1.D2.D3.D4.A5.D 1.A2.A3.C4.A 6.解：(1)±√121=±11.(2)-/81=-9. 8=酒=④士V隔=± 25 (2)由数轴可知a<0,b>0,a一b<0,所以原式=一a一b+ (a-b)=-a-b+a-b=-2b. 7.解：1)移项，得16x2=9,所以x2=6,两边开平方，得x 9 第3课时用计算器求一个正数的算术平方根 1.B 。（2)原方程可化为1-xP=6两边开平方，得 2.(1)18.7883(2)8.7487(3)0.0486(4)110.0954 5 3.B4.(1)0.2284228.4(2)0.0005217 1-x=士名解得x=号或1=6 7 5.B6.B7.46-28.> 8.D9.A 9.(1)-3.1415>-π(2)2/1Π<35 10.D11.D12.6913.B14.D 10.解：(1)易知面积为400cm的正方形卡纸的边长为 15.(1)A(2)D16.1017.8或0 20cm.,要裁出的长方形面积为300cm2,∴.若以原正方 18.解：设边长应为xcm.依题意，得x2=112十13×8，即x2 形卡纸的边长为长方形的长，则长方形的宽为300÷20= =225,所以x=15或x=-15(舍去).答：边长应为 15(cm),.可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上 15cm. 截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方 19.解：选择方案二.理由：方案一：设正方形的边长为am.由 形.（答案不唯一）(2)不能.理由：，长方形卡纸的长、宽 题意，得a2=81,且a>0,所以a=9,4a=36,所以方案一 之比为5：3，.设长方形卡纸的长为5.xcm,宽为3.xcm, 需要用工料36m.方案二：设圆的半径为rm.由题意，得 则5x·3.x=300,即15.x2=300,x2=20,.x=士￥20. 2=81,且r>0,则r=V元 /81 ≈5.08,5.08×2Xπ≈31. 又，x>0,.x=√/20，.长方形卡纸的长为5/20cm .20>16,.√20>4，即5√20>20，.小华不能用这张 90,所以方案二需要用工料约31.90m.由于31.90<36， 卡纸裁出符合要求的长方形卡纸. 所以方案二用工料少一些，因此选择方案二 11.C12.A13.387.3 第2课时算术平方根 14.獬：(1)3=9,7<√9，√7<3.1.5=2.25<3， 1.B2.D3.B4.C5.26.5 7.(1)6(2)0.07(3)3(4)48.D9.0 ∴.1.5<3.(2)3>1.5，∴.25>3.3>7，.23 10.解：由题意得x+I+1y-2=0.,√/x+1≥0， >7.(3)原式=7-5-23+v7=2/7-33. 15.解：(1)如图所示 1y-2≥0，.x+1=0,y-2=0,.x=-1,y=2,∴x -y=-1-2=-3,.(x-y)2=(-3)2=9, ∴.(x-y)2=9=3,.(x-y)2的算术平方根是3. 11.解：(1)16.4(2)16.9(3)√273在16.5和16.6之间. - 理由.16.52=272.25,16.6=275.56，且272.25<273 (2)不能.理由：，要裁出的长方形的面积为8.64，长与宽 <275.56,∴.√273在16.5和16.6之间. 的比为3：2，∴.设长为3x,则宽为2x.由题意，得3x·2x 12.A13.C14.B15.B16.C17.-2 1 =8.64,x=1.2(负值舍去)，此时长为3.6，宽为2.4. 1 18. ￥10<3.6，∴.不能沿着边的方向裁出一块面积为8.64 1 的长方形纸片，且使它的长与宽的比为3：2. 19.解：因为/2a十1=0，所以2a+1=0,所以a=一 2 16.(1)0.220200(2)2×10”(3)0.235823.58 因为V6=,所以6-a=},所以6=}+a= 1 4 8.2立方根 第1课时立方根 合=-子所以V2w=√分×(-2)×(-4】 1.A2BB4C5I0.620(8)号 11 V16=4 6.(1)x=4(2)x=-3 20.解：易知x2-4≥0且4一x2≥0，∴x2-4=0,即x=士2. 7.C8.D9.C10.C11.A 又x十2≠0，x≠-2，x=2.将x=2代入y= 12.解：设小康制作的正方体礼盒的棱长为acm,则6a2 150,解得a=5(负值舍去)，.∴.小康制作的正方体礼盒的 -4十/4-元+2025，可得y=2025,x2+y-3 x十2 体积为a3=125cm3.,小明制作的正方体礼盒的体积比 =2+2025-3=2026. 小康制作的正方体礼盒小61cm3,∴.小明制作的正方体 礼盒的体积为125一61=64(cm3),.小明制作的正方体 1 21.解：1)①41609a②3512-a 礼盒的棱长为64=4(cm),.小明制作的正方体礼盒的 同行学案学练测·23·