2.3 平行线的性质（题型专练）（基础达标8大题型+能力提升4大题型+拓展培优）数学新教材北师大版七年级下册

2.3 平行线的性质 题型一 两直线平行，同位角相等 1．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质可得的度数，再根据邻补角的性质可得的度数． 【详解】解：如下图， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，邻补角的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 2．如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，两直线平行同位角相等，垂线的定义理解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用平行线的性质得出，，从而可得，再结合垂直的意义求得． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．如图，已知直线，，则________° 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，由平角的定义得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，直线，，求、的度数． 根据下面的解答过程，填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） ∴（______） ∵（______），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质、对顶角相等、邻补角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 先根据平行线的性质得到，再根据对顶角相等和等量代换得到；利用邻补角定义可得的度数． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴． 5．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 题型二 两直线平行，内错角相等 1．已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是（    ） A．68° B．102° C．112° D．122° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵直线a//b，∠1＝68°， ∴∠1＝∠3＝68°． ∵∠2与∠3是邻补角， ∴∠2+∠3＝180° ∴∠2=112°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、邻补角的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解决问题的关键． 3．如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 4．如图，，，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 5．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 【答案】第二次的拐角是，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解． 由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答． 【详解】， 理由是：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴拐弯前、后的两条路平行 ∴．（两直线平行，内错角相等） 题型三 两直线平行，同旁内角互补 1．如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解；∵， ， 故选：B． 2．如图，已知则图中与互补的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和互补的概念求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴， ∴与互补， ∵， ∴， ∴与互补， ∵是平角， ∴， ∴与互补． ∴图中与互补的角有3个，分别是，和． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质和互补的概念，解题的关键是熟记平行线的性质和互补的概念． 3．如图，已知a//b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】D 【详解】解：如图， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=90°﹣40°=50°， ∵a//b， ∴∠2+∠3=180°． ∴∠2=180°﹣50°=130°． 故选D． 4．如图，，，，则的度数为__________． 【答案】132° 【分析】由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数． 【详解】∵，， ∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°， ∵， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°， 故答案为：132°． 【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 5．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为__________． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 1．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行的性质得到角的关系是关键． 根据邻补角判定A、B选项，根据两直线平行，同位角相等判定C选项，根据对顶角相等，两直线平行，同旁内角互补判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：∵与互为邻补角， ∴，故A选项错误； 同理可得，，故B选项错误； ∵， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D选项错误， 故选：C． 3．已知，一个含有角的三角尺按照如图所示位置摆放，则的度数为_________． 【答案】∠1+∠2＝90° 【分析】先利用平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，最后利用直角三角形的性质即可． 【详解】解：如图， 过直角顶点作l3//l1， ∵l1//l2， ∴l1//l2//l3， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目． 4．已知：如图，都是射线，点F是内一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，则由等量代换可证明． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴． 5．阅读并填空：如图，已知，如果，那么与相等吗？为什么？ 解：因为（已知）， 所以 ． （ ）． 因为（ ）， 所以（等量代换）． 【答案】∠B；两直线平行，同位角相等；已知 【分析】先根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再由∠ADE＝∠AED即可得出结论． 【详解】解：因为（已知）， 所以∠B． （两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 故答案为：∠B；两直线平行，同位角相等；已知． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 题型五 根据平行线的性质求角的度数 1．如图，，分别与、交于点G、F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： ，， ，即， ， ． 故选：B． 2．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据题意可得，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，平分交于点E，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，由角平分线的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由题意得，，则，，然后代入即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴，， ∴， 故选：． 题型六 平行线的性质和判定在生活中的应用 1．如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（　　）    A．左拐 B．左拐 C．右拐 D．右拐 【答案】B 【分析】根据平行线性质即可求出，再根据题意即可判断在处的实际拐弯方向. 【详解】解：由题意得，过点作，如图所示，   某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东， . ， . 若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为向左拐. 故选：B. 【点睛】本题考查了平行线的性质.解题的关键在于熟练掌握两直线平行，同位角相等. 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线 从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，，， 根据题意可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质，角度的计算方法是解题的关键． 4．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于______． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2），理由如下 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型七 结合平行线判定与性质求角度 1．如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质即可得出. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴, 故选：A． 2．如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，先证明，可得，再利用平行线的性质进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：C 3．如图，如果，那么_______． 【答案】/50度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出是解此题的关键．根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，等于多少度？ 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据内错角相等，两直线平行得，故，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 5．如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F． (1)求证：． (2)如果，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是正确判定平行线． （1）先利用垂直得到直角，再利用同位角相等，两直线平行即可求证； （2）先判定，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 结合平行线判定与性质进行证明 1．如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、若，则（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、若，则（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、若，无法得出，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 3．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 4．填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】 D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，根据题干思路解答即可． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 5．如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，得到，则可证明，再证明，得到，则可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型一 平行线的性质 1．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 2．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线性质求角度，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 由平行线的性质：同位角相等、同旁内角互补得到，，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由平行线的性质，可得，， ， 故选：D． 3．如图，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，求一个角的余角，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．由可得的度数，根据平行线的性质即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，平分，，，则______°，______°． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．先利用邻补角求出的度数，再由角平分线的定义求出和的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】 ， ， 平分， ， ， ，， 故答案为：；． 5．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 【答案】已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，结合证明过程写出依据即可． 【详解】解：（已知） （对顶角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 题型二 根据平行线的性质探究角的有关系或求角的度数 1．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵直尺对边互相平行， ∴． 4．如图，已知，，则的度数是 ________ ． 【答案】/72度 【分析】设，则，，根据平行线的性质得到，进而得到﹒根据平角的定义得到，求出，即可求出﹒ 【详解】解：如图， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 5．如图，直线，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质得出的度数； （2）利用角平分线的定义得出的度数，结合平行线性质得出的度数，根据对顶角性质即得答案． 【详解】（1）解：∵直线， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵平分，， ∴． ∴． ∴． 题型三 有关平行线判定与性质的综合计算 1．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握同位角相等判定两直线平行，两直线平行内错角相等是解题的关键． 先通过判定AB与CD平行，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的内错角相等性质，得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵，FG平分， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为___． 【答案】75 【分析】此题考查了平行线的性质，如图所示，设与交于点E，过点E作，首先得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点E，过点E作 由反射性质得，， ∵， ∴， ∵由题意有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75． 4．如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，且．已知，求的度数． 解：（已知）， （依据①）． （依据②）． ， 请写出上述推理过程中的依据①和②，并补全后续推理过程． 【答案】依据①：内错角相等，两直线平行； 依据②：两直线平行，同位角相等；过程见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定定理解题即可． 【详解】解：依据①：内错角相等，两直线平行； 依据②：两直线平行，同位角相等； 后续推理过程： ， ， ， ， ． 题型四 平行线的综合证明与实际应用 1．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 2．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 4．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 5．如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键． （1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得； （2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的线段； （2）解：， ， ， 由（1）得，， ， ． 1．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 2．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 4．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质、角的动态定义，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，根据题意画出所有可能情况是解题关键． 【详解】解：如下图所示， 当时，延长交于点， ， 在中，， ， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， 在中，， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， ， ， ， ， 绕点旋转的度数为， 秒； 综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行． 5．将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有________（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据三角板的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质解答即可． 此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数． 【详解】解：根据题意，得，，，， 故， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，不平行， 故②正确；③错误； ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确； 故答案为：①②④． 6．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则_______° 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．依据，，可得，进而判定，即可得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线、分别交于点M、N， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求解即可； （2）根据平行线性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，则可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可判断； （3）动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 是的角平分线， ； （2）解： 理由： ，， ， ， ， 是的角平分线， ， ； （3）解： ，， ， 设转动时间为， 当时，延长至点Q，如图， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：， ， 是的角平分线， ， ； 当时，如图 ， 由题意知得， ∴， 解得， ， 是的角平分线， ， ； 如图，当时，延长交于点T，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 是的角平分线， ， ； 如图，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 综上，当与的一边平行时，的度数为或或或． 8．综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①55°；②125°； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 平行线的性质 题型一 两直线平行，同位角相等 1．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线，，则________° 4．如图，直线，，求、的度数． 根据下面的解答过程，填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） ∴（______） ∵（______），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（______） 5．如图，，，．求的度数． 题型二 两直线平行，内错角相等 1．已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是（    ） A．68° B．102° C．112° D．122° 3．如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    4．如图，，，则的度数为_____________． 5．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 题型三 两直线平行，同旁内角互补 1．如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知则图中与互补的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，已知a//b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 4．如图，，，，则的度数为__________． 5．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为__________． 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 1．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，一个含有角的三角尺按照如图所示位置摆放，则的度数为_________． 4．已知：如图，都是射线，点F是内一点，且，求证：． 5．阅读并填空：如图，已知，如果，那么与相等吗？为什么？ 解：因为（已知）， 所以 ． （ ）． 因为（ ）， 所以（等量代换）． 题型五 根据平行线的性质求角的度数 1．如图，，分别与、交于点G、F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则______． 3．如图，在中，，平分交于点E，若，则的度数为_____． 4．如图，，，，求的度数． 5．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 题型六 平行线的性质和判定在生活中的应用 1．如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（　　）    A．左拐 B．左拐 C．右拐 D．右拐 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线 从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则（  ） A． B． C． D． 4．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于______． 5．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 题型七 结合平行线判定与性质求角度 1．如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，如果，那么_______． 4．如图，等于多少度？ 5．如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F． (1)求证：． (2)如果，且，求的度数． 题型八 结合平行线判定与性质进行证明 1．如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 3．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 4．填空：如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 5．如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 题型一 平行线的性质 1．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，，，，则______． 4．如图，平分，，，则______°，______°． 5．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 题型二 根据平行线的性质探究角的有关系或求角的度数 1．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 3．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，则的度数是 ________ ． 5．如图，直线，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型三 有关平行线判定与性质的综合计算 1．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为___． 4．如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 5．如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，且．已知，求的度数． 解：（已知）， （依据①）． （依据②）． ， 请写出上述推理过程中的依据①和②，并补全后续推理过程． 题型四 平行线的综合证明与实际应用 1．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 4．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 5．如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 1．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 2．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 5．将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有________（填序号） 6．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则_______° 7．如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 8．综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.3平行线的性质 题型一：两直线平行，同位角相等 平行线的基本性质 题型二：两直线平行，内错角相等 题型三：两直线平行，同旁内角互补 题型四：根据平行线的性质探究角的关系 平行线性质的基础应用 平行线的性质 题型五：根据平行线的性质求角的度数 题型六：平行线的性质和判定在生活中的应用 平行线性质和判定的综合应用 题型七：结合平行线判定与性质求角度 题型八：结合平行线判定与性质进行证明 基础达标题 题型一两直线平行，同位角相等 1.C 2.A 3.60° 4.两直线平行；同位角相等；对顶角相等；95· 5.解：如图，设AE与CD相交于点G, B AB//CD, ∠DGE=∠A=75°. AE//CF, ∴∠C=∠DGE=75°. 题型二两直线平行，内错角相等 1.D 2.C 3.80 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.110° 5.解：∠B=130°， 理由是：一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， 拐弯前、后的两条路平行 ∴∠B=∠A=130°.（两直线平行，内错角相等） 题型三两直线平行，同旁内角互补 1.B 2.B 3.D 4.132 5.130 题型四根据平行线的性质探究角的关系 1.B 2.C 3.∠1+∠2=90° 4.证明：FD/AC, ∴∠2=∠C(两直线平行，同位角相等). ∠1=∠C ∠1=∠2 5.∠B:两直线平行，同位角相等；己知 题型五根据平行线的性质求角的度数 1.B 2.150° 3.70° 4.解：AB/CD, ∴∠C+∠BAC=180°， ∠C=60°， .∠BAC=120°， ∠BAE=70°， 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAE=∠BAC-∠BAE=50°. 5.C 题型六平行线的性质和判定在生活中的应用 1.B 2.C 3.B 4.80° 5.解：(1)AB/CD,∠CDB=60°， ∴∠ABD=180°-∠BCD=120 (2)AE/BC,理由如下 AB/CD,∠ACD=80°， ∴∠BAC=180°-∠ACD=100° ∠CAE=40o ∴∠EAB=∠CAB-∠CAE=100°-40°=60° ∴∠EAB+∠ABD=180° ∴AE/BC. 题型七结合平行线判定与性质求角度 1.A 2.C 3.50° 4.解：∠1=∠2， a//b, ÷∠ABC=∠3=500. 5.证明：(1)CD⊥AB,EF⊥AB, ∴∠CDB=∠EFB=90°， ∴CD/IEF (2)解：CD/EF, ∴∠2=∠BCD, “∠1=∠2， 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠BCD, ∴DG//BC, ∠ACB=∠3=115°. 题型八结合平行线判定与性质进行证明 1.D 2.C 3.C 4.D;两直线平行，同旁内角互补；D;等量代换；同旁内角互补，两直线平行 5.解：AB//CD,理由如下： “∠2=∠E, AD/BE, ∠CAD=3, ∠3=∠4， ∠CAD=∠4； ∠1=∠2 ∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE, ∴.∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE=∠4， :AB //CD. B 能力提升题 题型一平行线的性质 1.B 2.D 3.110 4.47;86 5.己知；对顶角相等；己知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补 题型二根据平行线的性质探究角的有关系或求角的度数 1.D 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.A 3.B 4.72° 5.解：(1)直线AB/CD, ∠1=∠ABC. ×∠1=54°， ∠ABC=54o. (2)解：BC平分∠ABD,∠ABC=54°， ∠ABD=2∠ABC=108°. ∠BDC=180°-∠ABD=72°. ∠2=∠BDC=72°. 题型三有关平行线判定与性质的综合计算 1.B 2.A 3.75 4.160°50 5.解：依据①：内错角相等，两直线平行； 依据②：两直线平行，同位角相等： 后续推理过程： ·∠AEC=∠C, :AB//CD. ÷∠A=∠D, :∠A=40°， ∠D=40°. 题型四平行线的综合证明与实际应用 1.C 2.A 3.③ 4.(1)70: 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：(2)∠ABC=70°，∠CBF=20°， ∠FBA=∠ABC-∠CBF=50°， 又∠EFB=130°， ∠EFB+∠FBA=180°， .EF//CD: 解：(3)EF/CD,CD/AB, ∴CD/IEF, ∴∠CEF+∠ECD=180°， 又∠CEF=60°， ∠ECD=120°， 又∠DCB=70°， ∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=50° 5.解：(1)如图，线段FH就是所求作的线段： E (2):∠1=∠C, :ED AC, ·∠2=∠DAC, 由(1)得，FH//AD, ·∠DAC=∠CFH, ·∠2=∠CFH. 拓展培优题 1.C 2.B 3.C 6/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.5或35或65 5.①②④ 6.35 7.解：(1)：∠EFG=30°，∠GFB==42°， ·∠EFB=72°， AB//CD, ·∠CEF=∠EFB=72o, :EH是∠CEF的角平分线， A∠CEH=∠CEF=36°； (2)EH//FG 理由：：∠EFG=30°，∠GFB=《=30°， ·∠EFB=60°， AB//CD, ·∠CEF=∠EFB=60o, :EH是∠CEF的角平分线， ÷∠FEH=专∠CEF=30°=∠EFG, ·EH/IFG: (3):∠G=90°，∠EFG=30°， ÷∠FEG=60°， 设转动时间为ts, 当PC/EG时，延长GE至点Q,如图， C -B PC //EG, :∠CPC=∠CEQ, :∠CEQ=∠DEG, ·∠CPC=∠DEG, 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题意知，∠CPC=(4t)°， 由①得∠DEG=90°-《十t=90°-30°=60°十t°， :(4t)0=60°+t°， 解得：t=20, ·∠CEF=60°-20。=40°， :EH是∠CEF的角平分线， ÷∠FEH=专∠CEF=20°， ·∠HEG=∠HEF+∠FEG=80°； 当PC/EF时，如图 H B :∠CPC=∠DEF, 由题意知得∠DEF=∠DEG十∠FEG=120°十t°， (4t)°=120°+t°， 解得t=40, ·∠CEF=60°-40°=20°， :EH是∠CEF的角平分线， ÷∠FEH=3∠CEF=10°， ·∠HEG=∠HEF十∠FEG=70°； 如图，当PC/FG时，延长GF交CE于点T,过点G作GVI/CD, P D V.__ C H A B:∠VGE=∠DEG=60°+t°， :∠FGE=90°， .∠VGT=t°-30°， ·∠ETG=∠VGT=to-30°， PC//FG, ·∠DPC=∠ETG=to-30°， 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠DPC=(4t)°-180°， ·(4t)°-180°=t°-30°， 解得：t=50, ·∠CEF=60°-50°=10°， :EH是∠CEF的角平分线， :∠FEH=克∠CEF=5°， ·∠HEG=∠HEF+∠FEG=65°； 如图，当PC/EG(第二次)时， M E D C C A B H 则∠CPC'=∠CEG, 360°-(4t)°=180°-(60°+t°)， 解得：t=80, ÷∠CEF=80°-60°=20°， :EM是∠CEF的角平分线， ÷∠FEM=专∠CEP=10°， :∠MEG=∠FEG-∠MEF=50°， ÷∠HEG=180°-∠MEG=130°， 综上，当CP与△EFG的一边平行时，∠HEG的度数为65°或70°或80°或130°. 8.解：(1)如图，过点N作NF/AB, C D F 3入 A Q .∠3=∠FNQ, AB //CD,NF //AB, :.NF//CD, ∠1=∠PNF, '∠2=∠PNF+∠QNF, 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠2=∠1十3， 故答案为：∠2=∠1十∠3； (2)①当点N在PQ左侧时，由(1)可得∠PNQ=∠CPN+∠AQN,∠PMQ=∠CPM+∠AQM, :PM平分∠CPN,QM平分∠AQN, :∠CPM=克∠CPN,∠AQM=克∠AQN, .∠CPN+∠AQN=110°， :∠PMQ=∠CPM+∠AQM =(LCPN+∠AQN) =55°： ②如图，点N在PQ右侧时，过点N作NG//AB,则GN/CD, C -D M B ÷∠GNQ+∠AQN=180°，∠CPN+∠GNP=180°， ·∠CPN+∠AQN+∠QNP=360°， :∠PNQ=110°， ·∠CPN+∠AQN =360°-110° =250°， :PM平分∠CPN,QM平分∠AQN, ∴∠CPM=克∠CPN,∠AQM=∠AQN, .∠PMQ=∠CPM+∠AQM =(∠CPN+∠AQN) =125°； (3)解：依题意由(2)②可知，∠CPN+∠AQN+∠QNP=360°，∠PNQ=120°， ÷∠PMQ=(∠CPN+∠AQN) =(360°-120°) =120°， 由(2)①可知∠PMQ=∠CPM+∠AQM=120°，∠PM1Q=∠CPM1+∠AQM1 =(∠CPM+∠AQM) 10/11