微专题03 相交线与平行线中的思想方法（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03相交线与平行线中的思想方法 方程思想 转化思想 相交线与平行线中的思想方法 分类讨论思想 整体思想 建模思想 微点量破 题型1方程思想 煤方法 方程思想：通过设未知数建立方程求解角度或线段长度 1. 设未知数：选择与问题相关的角为变量： 2. 找等量关系：利用角平分线、对顶角、平行线性质等，将已知角与未知角关联： 3.列方程：根据周角、平角或角的和差关系建立方程； 4.解方程：求出未知数，进而得到所求角的度数。 AB,CD 1. AB∥CD (23-24八年级下·辽宁大连·月考)如图，直线 点P,Q分别在直线 上，射线P8绕点 P按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即绕点P按照原来的速度逆时针旋转，旋转的过程中记 P8；射线QC绕点Q按顺时针方向以每秒2”的速度旋转，旋转的过程中记为射线 P 为射线 ，当射 QC与射线QD重合时，两条射线同时停止旋转.若射线2C先旋转5秒，则射线PB旋转 PB,∥QC 秒时， 1/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C D MN OP A,B 2.(24-25七年级下·湖北期中)某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道 上分别放置了 两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转：B灯发出的光束自BP BO 5°B 9 逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，己知这两条景观 道是平行的，即MN∥QP. B M B 备用图 (I)如果B灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束AM'和BP到达如图 所示的位置，请判断AM'与BP的位置关系并说明理由. BO (2)如果B灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达吧之前，两灯的光束互相 平行时，请直接写出A灯转动的时间. (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束AM'逆时针旋转至AN然后回转到AM时，两灯同时停止旋转， 在此期间AM'所在直线与BP所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间：如果不 能，请说明理由。 3.(24-25七年级上江苏南京·期末)【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其 中OA与直线MN重合，∠NOC=之COD写0°，∠AOB=45°」 B M一 30° (1)在上述所拼图形中，∠BOD的度数为_°. 2/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺AOB固定不动，将三角尺COD绕着点O以每秒5° 的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线MN的上方.设三角尺COD的旋转时间为s,在旋 转过程中，请求出当∠BOC=3∠BOD时t的值. (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺COD绕着点O以每秒1°的速度按顺时针 方向旋转的同时，三角尺AOB也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转.在旋转过程中，两块三 角尺均在直线MN的上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转.设三角尺AOB的 旋转时间为s.在旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出t的值。 4.(24-25七年级下浙江金华·期中)如图，直 PO∥M,-副三角尺（∠4BC=∠CD6=90 ∠ACB=30°∠BAC=60°∠DCE=∠DEC=45 PO )按如图①放置，其中点E在直线上，点B,C均 在直线MN上，且CE平分∠ACN. E 图① 图② 图③ (1)求∠DEQ的度数. (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为 F,G),当BG落在射线BM上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当BG落在射线BN上时，运动停 止.设旋转时间为t(s). ①在旋转过程中，若边BG∥CD,求t的值. ②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转 (C,D的对应点为H,K),两个三角形同时停止运动.请直接写出当∠GBN的角平分线与∠HEK的 角平分线平行时t的值. 5.(25-26七年级上江苏淮安·月考)如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含60°的 三角板绕点O以2度/秒的速度逆时针转动，含45°的三角板绕点O以6度/秒的速度顺时针转动，设转 动时间为‘秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当t=时，两块三角板的斜边 互相平行. 3/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2526七年级上重庆期未)如图所示，合30°的直角三角形1BC,点和点C在两平行线 30° W、QR 上，AD、AE分别为∠BAN、∠BAM的角平分线，F为BC的延长线与AD的交点. 4 B (I)求证：EA⊥AD: (2)试判别∠AED和∠CFD的大小关系，并说明理由： (3)当∠ADE=36°时，射线AM和射线CB分别以10°每秒和30°每秒的速度同时顺时针旋转，当射线 CB旋转一周时，全部停止运动，求射线AM和射线CB在旋转过程中平行时对应的时间的值. 题型2转化思想 啸方法 转化思想：将复杂问题转化为简单或熟悉的问题 1.分析目标：明确需要证明的结论： 2. 寻找桥梁：通过作辅助线，将已知角与未知角关联： 3. 转化关系：利用平行线性质（如内错角相等、同旁内角互补）将角转化，逐步推导结论。 1. (2526七年级上江苏苏州期末)如图，ABCD·A-写2CDE,2-BE,则nE∠DB 为() C F< 2 A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 2.(24-25七年级下广东江门·月考)综合与实践 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题. M 图1 图2 图3 备用图 (①)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上， 已知，∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC,则∠CAE的度数为 °；（直接写出答 案) ABC∠B=∠ACB=45 (2)善思小组的同学们将一个三角板 )放在一组直线与之间，如图2， 并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线P9上，现测得∠MAB=36°，∠PCB=9°，猜想MN与Pg 的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点C重叠，固定△ACB，,如图3，将△DCE绕着点C在平面 内转动.其中DA=60°，DB=30°，DD=DE=45°，假设直角边DC=AC.图中所有点均在一个平面内. 设<4CE度数为a0°<a<180) 当a等于多少时，DE/AB.请画出图形并完成相应解答. MNI∥P PO 3.(2026七年级上·重庆·专题练习)如图， ,直线交咖N于点，交P”于点8，点E是线 段AB上一点，C、D分别在射线AN、BO上，连接CE、DE,∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交 于点F. P B DO 备用图 (I)当CE⊥DE时，求∠ACE+∠BDE的度数： (2)试猜想∠CED与∠CFD的数量关系，并说明理由： (3)过点D作DH⊥CF,交CF的延长线于H,将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后 的对应直线为AB',同时，将△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为 5/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △DFH',当直线AB首次与直线MN重合时，整个运动停止.在(1)的条件下，若∠CAB=80°， ∠EDB=4O°，经过t秒后，直线AB恰好与△DFH'的一条边平行，请直接写出所有满足条件的t的值. 4.(2026七年级上·江苏泰州专题练习)亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界. 一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置 摆放涉及的数学问题.如图①所示的是一副三角尺，∠C=∠F=90°，∠A=∠B=45°，∠D=30°， ∠E=60° B D 图① 图② 图③ 图④ (I)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G, 求∠BGD的度数； (2)如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直线 MN上，DF与AB相交于点P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由： (3)如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点 C,F重合.探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数. 5.(2025七年级上·重庆专题练习)如图，直线 线，点4，B,G在上，点K,D在上，连接 1D,歌交于点F,∠D1B和∠KBG的角平分线交于点H,直线H分别交直线歌，于E,C两 点. BG 图1 图2 备用图 (1)如果∠DAC=34°，∠H=42°，求∠HBG的度数： (2)请猜想∠H和∠AFB之间的数量关系，并说明理由： (3)如图2，当AD⊥BK,∠BAD=60°时，将△AFE绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转得到△AFE',同 6/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时将△ABH绕点B以每秒IO°的速度顺时针旋转得到△A'BH',当△ABH正好旋转一周时两者同时停止 运动.设运动时间为t(单位：秒)，直接写出当AE，EF'分别与△4BH'的其中一条边平行时，运 动时间t的值. 6.(25-26八年级上·全国期末)综合探究. ∥4，李想同学将△1BC放置在这两条平行线上展开探究，其中△1BC的三边与两条平行线分别 已知 交于点D,E,F,G P2025 图1 图2 图3 (1)【特例探究】如图1，∠C=90°. ①LCED+LCGF=_°： ②若∠CED与∠CGF的平分线相交于点P,则∠EPG=°： (2)【一般探索】 ∠C=a∠EPG=B. 如图2， D若∠DEP-∠CED,∠PGP-写CGF,求n与B的关系： 3 ②若∠DEP-∠CED,FGP-∠CGF(n≥2且a为整数)则a与B的关系为： n (3)【拓展应用】 如图3，∠C=a,∠CED与∠CGF 的平分线相交于点， R,RED与RG 的平分线相交于点B, 360°-∠C ∠PED与∠PGF的平分线相交于点B,…,以此类推，则∠EPmG的值是多少？（直接写出结果） 题型3分类讨论思想 7/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ©爆方法 分类讨论思想：对不确定的位置关系进行分类分析 1.确定分类标准：根据，点的位置（如在线段上、延长线上）、射线的方向（如顺时针、逆时针）等分 类： 2. 逐一分析：对每一种情况分别推导，利用平行线性质或角的关系求解： 3.总结结论：综合所有情况，得出最终答案。 1. (24-25七年级下·山西忻州期末)综合与探究：如图，直线AB∥CD,∠EFG的顶点F在直线CD上， ∠EFG=60° D B D(G 图1 图2 备用图 (1)如图1，当∠GFD=n°时，∠1=°，∠2=_°.（用含n的代数式表示） (2)在(1)的条件下，若∠1是∠2的3倍，判断EF与CD的位置关系，并说明理由. (3)如图2，当FG与FD重合时，EF交AB于点P,将射线FG绕点F以每秒1°的速度逆时针方向旋转， 得到射线FM，同时，将射线PE绕点P以每秒2°的速度顺时针方向旋转，得到射线PN.当射线PN 旋转至第一次与PF重合时，射线FM,PN均停止转动.设旋转时间为t秒.在旋转过程中，是否存 在PV∥FM？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由. 2.(24-25七年级下广东梅州期中)(1)如图1，AB/CD,∠PAB=128°，∠PCD=I15°.求∠APC度 数 (2)如图2，AD∥BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠a, ∠BCP=∠B.∠CPD、∠a、∠B之间有何数量关系？请说明理由： (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你 写出∠CPD、∠a、∠B间的数量关系，并说明理由. M 图1 备用图 8/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PQ∥MW ,∠BAC=∠CDE=90° 3.(24-25七年级下·浙江湖州期中)如图，直线 ,一副三角尺 ∠ABC=30°∠ACB=60°∠ECD=∠DEC=45°、 1 PO )按图放置，其中点E在直线上，点B,C均 在直线MN上，且CE平分∠ACN. P D G D M N M 图① 图② 图③ (1)求∠DEQ的度数. ABC (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为 G,F)，设旋转时间为 (s(0≤t≤60) ① BF∥CD 在旋转过程中，若边 ,求t的值： 如图3，若在三角形BC绕点B旋转的同时，三角形C0E ② 绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向 旋转(C,D的对应点为H,K),请求出当边BF∥HK时t的值. 4.(24-25七年级下·江苏无锡期中)如图，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°， ∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点 E落在射线AC的反向延长线上时停止旋转.设△ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t,若它的一边 与△ABC的某一边平行（不含重合情况），t= A E B 5.(24-25七年级下广东广州期未)如图所示，在△1BC。 ∠ACB≥90 中， ·初始时，点B、C位于直线 9/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF上.现 ABC 围绕点B,以每秒⊙的速度顺时针转动t秒， 0<t<36 旋转过程中，始终保持GH 过顶点A且GH∥EF, G G H G H E E B B 图① 图② 图③ 0)痴图0.若CB=100,当=6时，求2C1G 的度数： (t<18) (2)己知图形在旋转 秒后同时清足以下两个条件：0∠G1C=∠C16,②<CE=48C.请判断 ；② △ABC的形状，并给出证明过程. ∠ACB=120° (3)若 探素在旋转过程中∠GaC与∠CBE 间的数量关系. 6.(24-25七年级下·辽宁沈阳·月考)已知OB⊥AC,点F是线段AB上一点，满足∠FOA=∠FA0,OG是 ∠BOC内的一条射线，满足∠BOG=∠BOF B G G B G P 0 A 图1 图2 备用图 (I)如图1，求证：OG∥AB: (2)如图2，若∠FAO=45°，点P在线段OB上且∠PAO=2∠PAB,线段AP与OF交于点Q. ①∠PA0=; ②将 △OPQ 绕着点0以每秒15°的速度逆时针旋转，旋转时间为，当P吧 OA 边与射线重合时停止旋 转，则在旋转过程中，当△OP 的边OP与△01F 的某一边平行时，t的值为 10/16 微专题03 相交线与平行线中的思想方法 题型1 方程思想 方程思想：通过设未知数建立方程求解角度或线段长度​ 1. 设未知数：选择与问题相关的角为变量； 2. 找等量关系：利用角平分线、对顶角、平行线性质等，将已知角与未知角关联； 3. 列方程：根据周角、平角或角的和差关系建立方程； 4. 解方程：求出未知数，进而得到所求角的度数。 1．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）如图，直线 点P，Q分别在直线上，射线绕点 P 按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即绕点P按照原来的速度逆时针旋转，旋转的过程中记为射线 ；射线绕点 Q 按顺时针方向以每秒的速度旋转，旋转的过程中记为射线，当射线 与射线重合时，两条射线同时停止旋转．若射线先旋转5 秒，则射线旋转_________秒时， ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用，设当射线旋转秒时，，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：解：设当射线旋转秒时，， ①当时，如图，则， ∵， ∴， 即， 解得，； ②当时，如图，则， ∵， ∴， 即， 解得，；    综上，当射线旋转的时间为秒或秒时，． 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 _ °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：；      当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 5．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当_____时，两块三角板的斜边互相平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了与三角板有关的角度运算，平行线的性质与判定，一元一次方程的几何应用，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出秒，旋转停止，再进行分类讨论，且逐个情况作图，运用三角形内角和性质，平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动， ∴时间（秒）， 依题意， ∵两块三角板的斜边互相平行， ∴第一种情况，连接，如图所示： ∵， ∴ 则 ∴， 则， ∵， ∴， ∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒， ∴， 解得， ∴第二种情况， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 依题意， ∵ ∴ 解得 ∴第三种情况，连接，如图所示： ∵， 同理得， 则， ∵， ∴， ∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒， 则 ∵ ∴， 解得， 综上：当或或，两块三角板的斜边互相平行． 故答案为：或或 6．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的定义、几何中角度的运算、平行的性质、解一元一次方程等，具有分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 题型2 转化思想 转化思想：将复杂问题转化为简单或熟悉的问题​ 1. 分析目标：明确需要证明的结论； 2. 寻找桥梁：通过作辅助线，将已知角与未知角关联； 3. 转化关系：利用平行线性质（如内错角相等、同旁内角互补）将角转化，逐步推导结论。 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 3．（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，、分别在射线、上，连接、，的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由： (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（）的条件下，若，，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)的值为或或或或． 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键. （1）过点作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：，如图1，过点作， ， ，， ， ， ； （2）解：；理由如下： ，如图2，过点作，过点作交于点， ， 平分， ， 设，， ， ， 则， ， ， 则， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：的值为或10或17.5或32.5或40；理由如下： 由（1）得，， ， ， 平分， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， 直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ， 直线绕点顺时针旋转，速度为每秒， ， 当时，如图3， ， ， 解得：； 当旋转到如图4所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图5， ， ， ， 解得：； 当旋转到如图6所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图7所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图8所示位置： 同理得：， 解得：（不合题意，舍去）. 综上所述，的值为或10或17.5或32.5或40． 4．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，⑦当时，⑧当时，8种情况时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或或或或． 理由如下：依题意有以下8种情况： ①当时，如图4①所示： 延长交于点M， 则， ∴， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 当在下方时， 则， ∴； 当在上方时， 则， ∴， 即或． ④当时，如图4④： ∴， ∴； ⑤当时，如图4⑤所示： 则； ⑥当时，如图4⑥所示： 当在左侧时， 则， ∴， ∴； 当在右侧时， 则， ∴． 即或． ⑦当时，如图4⑦， ∴， ∴， ∴； ⑧当时，设与交于点，如图4⑧所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或或或或． 5．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为6或15或24或27或30． 【分析】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解； （2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解； （3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作直线， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：，理由如下， 过点作，如图所示， ∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， 设，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴； ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到， ∴； ①当时，如图所示， ∴， ∴， 解得：； ②如图所示，当时，延长交于点， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③如图所示，当在上，则， ∴， 解得：， 此时， ∴， 而， ∴， ∴， ④当时， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为6或15或24或27或30． 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ①_； ②若与的平分线相交于点P，则_； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为_； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 题型3 分类讨论思想 分类讨论思想：对不确定的位置关系进行分类分析​ 1. 确定分类标准：根据点的位置（如在线段上、延长线上）、射线的方向（如顺时针、逆时针）等分类； 2. 逐一分析：对每一种情况分别推导，利用平行线性质或角的关系求解； 3. 总结结论：综合所有情况，得出最终答案。 1．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时，_°，_°．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 2．（24-25七年级下·广东梅州·期中）（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． （1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过P作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2），理由如下： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）当P在延长线时，； 理由：如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，，，之间的数量关系为或． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解； （2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图， ， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：如图中， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ⅰ.如图，当时，延长交于点I， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以； ⅱ.如图中，当时，延长交于点J， 因为， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 综上所述，满足条件的t的值为或． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），__________． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． (1)如图①，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)70° (2)直角三角形；证明见解析 (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）延长交于D，根据时间求出，根据补角的定义求出，根据三角形内角和求出，根据平行线的性质求出即可； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可； （3）延长交于D，根据C在左右分类讨论，根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：延长交于D，如图： ， ， ， ， ， ， ； （2）直角三角形， 证明：， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形； （3）延长交于D， 当C在左侧时，如图： ， ， ， ， ， ； 当C在右侧时，如图： ，， ，， ， ， ； 综上所述，或． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或4或9 【分析】本题考查平行线的判定和性质，几何中角度的计算等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）①根据求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴； 故答案为： ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 故答案为：3或4或9 题型4 整体思想 整体思想：将局部问题转化为整体问题求解​ 1. 识别整体：找出包含未知角的整体； 2. 利用整体性质：利用平行线的同旁内角和为180°、平角为180°等性质； 3. 推导未知量：通过整体的数量关系，间接求出未知角的度数。 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为________． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 6．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 题型5 建模思想 建模思想：将实际问题转化为数学模型 1. 抽象模型：将实际问题转化为几何图形； 2. 应用性质：利用对顶角相等、邻补角互补等性质； 3. 求解问题：通过模型的性质，间接求出实际问题的答案。 1．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1) (2)与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）构造平行线，利用平行线的性质求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）解：如图，作，则， （两直线平行，同旁内角互补），（两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：； （2）解：过点作， 由题意可知：，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即：与所成锐角的度数为． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图是一款落地的平板支撑架，垂直水平地面，，是可转动的支撑杆，调整支撑杆使得其侧面示意图如图所示，此时平板，，． (1)请求出的度数； (2)先将支撑杆调整至图所示位置，调整过程中，和大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，请求出平板旋转的角度的度数． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：过点作，利用铅笔模型可得，然后进行计算即可解答； （2）如图：延长交于点，先利用三角形的外角性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后利用对顶角相等即可解答． 【详解】（1）如图：过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ，， ； （2）解：如图：延长交于点， 是的一个外角， ， ∵ ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角，_； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 5．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点． 【探究问题】 (1)在图①中，和三个角之间存在着怎样的数量关系？并说明理由． 【知识运用】 (2)如图②是汽车灯的剖面图，位于点O的灯发出的光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为_____． 【知识迁移】 (3)如图③，电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．左图是一辆正在工作的电动曲臂高空作业车，某时刻可将其抽象为右图．其中，，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，即可得数量关系； （2）通过构造平行线，使用“两直线平行，内错角相等”即可求解； （3）延长构造平行线，结合平行线的性质可得，再使用“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴， ∴，和的数量关系为：； （2）解：过点O作射线平行于水平线，如图， 则有且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：延长交于点M，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________． (2)如图3，根据小明的思路求和的度数． (3)小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解； （3）根据平行线的性质及角的和差及等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，     ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行） 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． / 学科网（北京）股份有限公司 $