甘肃省趋势卷（2-1）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年甘肃省中考数学趋势卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．计算的值为（　　） A． B． C． D． 2．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A．1.222×108 B．12.22×106 C．1.222×107 D．0.1222×108 3．下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 4．有一条直的等宽纸带，按如图折叠，纸带重叠部分中的∠α的度数（　　） A．30° B．60° C．70° D．75° 5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2且m≠0 B．m≥2 C．m≤2且m≠0 D．m≥2且m≠0 6．如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 8．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（　　） A．8h B．8.36h C．9h D．10h 9．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处．则该该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A．12m B．10m C．8m D．2m 10．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P、Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿路线B→A→C向终点C运动，点Q沿路线B→C向终点C运动，记点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t之间的函数关系图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分）所示，则点Q的运动速度为（　　） A．1cm/s B．1.5cm/s C．2cm/s D．2.5cm/s 二．填空题（共6小题） 11．因式分解：2x2﹣5x+2＝　 　 ． 12．分式方程的解是 　 　 ． 13．已知点A（﹣2，a），B（3，b）是反比例函数图象上的两点，则a，b的大小关系是a　 　 b（用“＞、＜、＝”填空）． 14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，沿对角线AC翻折，点B的对应点为B′，B′C与AD交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为 　 　 ． 15．风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，∠B＝52°，∠CDF＝112°，且AB∥MF，则∠F＝　 　 °． 16．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则Sn的值为 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．化简：（x）． 20．我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． （1）若所在圆的圆心为点O，EF是弦CD的垂直平分线，尺规作图：找出圆心O（保留作图痕迹，不写作图过程）． （2）若所在圆的半径为10米，拱桥的跨度（弦AB的长）为16米，求桥拱拱高的中点到弦AB的距离）． 21．榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在A位置的概率为　 　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 22．如图1是某市的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图．在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔AB垂直于地面，测角仪CD、EF在AB两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距105m（点C，B，E在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点A的仰角为45°，在F处测得铁塔顶点A的仰角为53°．求铁塔AB的高度（参考数据：，，，结果精确到1米）． 23．【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 a 1.95 c 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是　 　 （填序号）； （3）现有一片长13cm，宽6.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果树、荔枝树中的哪种树？并给出你的理由． 24．如图，已知反比例函数与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A、点D，且点A的横坐标为2，点D的纵坐标为﹣2，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点C，求∠ACO的度数． （3）结合图象直接写出，当y1＞y2时，x的取值范围． 25．如图，线段AB与圆O相切于点B，AO交圆O于点M，其延长线交圆O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为圆O上一点，且的中点为M，连接AD，CD． （1）求∠ACB的度数； （2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 26．问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ 　 　 °． （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF，连接OF，DE．求OF+DE的最小值． 【一轮复习】2026年甘肃省中考数学趋势卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C． C D C B C B B A 一．选择题（共10小题） 1．计算的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：原式＝1． 故选：D． 2．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A．1.222×108 B．12.22×106 C．1.222×107 D．0.1222×108 【答案】C． 【解答】解：12220000＝1.222×107． 故选：C． 3．下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 【答案】C 【解答】解：A．不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．a8÷a2＝a6，故此选项不符合题意； C．（a3）2＝a6，故此选项符合题意； D．（﹣2xy）3＝﹣8x3y3，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．有一条直的等宽纸带，按如图折叠，纸带重叠部分中的∠α的度数（　　） A．30° B．60° C．70° D．75° 【答案】D 【解答】解：由折叠的性质得到∠MGF＝∠EGF， ∵AF∥CM， ∴∠CGE＝∠AED＝30°，∠α＝∠MGF， ∴∠MGF（180°﹣30°）＝75°， ∴∠α＝75°． 故选：D． 5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2且m≠0 B．m≥2 C．m≤2且m≠0 D．m≥2且m≠0 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×m×2≥0且m≠0， 解得m≤2且m≠0． 故选：C． 6．如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，如图， ∴，，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝45°，∠BAC＝45°， ∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45°， 故选：B． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵∠BOD＝130°， ∴∠A∠BOD＝65°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝65°． 故选：C． 8．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（　　） A．8h B．8.36h C．9h D．10h 【答案】B 【解答】解：根据平均数，利用样本估计总体可得： ， 估计该校学生最近一周的平均读书时间为8.36h． 故选：B． 9．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处．则该该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A．12m B．10m C．8m D．2m 【答案】B 【解答】解：设行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 将（0，2）代入得：16a+3.6＝2， 解得：a＝﹣0.1， ∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝﹣0.1x2+0.8x+2， 当y＝0时，﹣0.1x2+0.8x+2＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴D点的坐标为（10，0）， ∴OD的长为10， ∴该男生此次掷实心球的成绩是10米， 故选：B． 10．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P、Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿路线B→A→C向终点C运动，点Q沿路线B→C向终点C运动，记点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t之间的函数关系图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分）所示，则点Q的运动速度为（　　） A．1cm/s B．1.5cm/s C．2cm/s D．2.5cm/s 【答案】A 【解答】解：由图2可知，当P与A重合时，t＝4， ∴AB＝2×4＝8cm， ∵BC＝10cm，∠A＝90°， ∴， 过A作AD⊥BC于D， ， ∴， ∴8×6＝10AD， ∴， ∴， ∴， ∴BQ＝4cm， ∴点Q的运动速度为4÷4＝1（cm/s）． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．因式分解：2x2﹣5x+2＝　（2x﹣1）（x﹣2）　 ． 【答案】（2x﹣1）（x﹣2）． 【解答】解：由题意可得： 2x2 分解为 2x 和 x， 将 2 分解为﹣1 和﹣2， 交叉相乘后相加得﹣5x， 故2x2﹣5x+2（2x﹣1）（x﹣2）， 验证：（2x﹣1）（x﹣2）＝2x2﹣4x﹣x+2＝2x2﹣5x+2， 故答案为：（2x﹣1）（x﹣2）． 12．分式方程的解是 x＝1　 ． 【答案】x＝1 【解答】解：去分母得：x+3＝4x， 解得：x＝1， 经检验x＝1是分式方程的解． 故答案为：x＝1． 13．已知点A（﹣2，a），B（3，b）是反比例函数图象上的两点，则a，b的大小关系是a　＞　 b（用“＞、＜、＝”填空）． 【答案】＞ 【解答】解：在反比例函数中，k＝﹣6＜0，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点A（﹣2，a）在第二象限，点B（3，b）在第四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴a＞b， 故答案为：＞． 14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，沿对角线AC翻折，点B的对应点为B′，B′C与AD交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为 　　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵平行四边形ABCD，AB＝6， ∴AB＝CD＝6， 由翻折可知AB＝AB'， ∵△CDE恰为等边三角形， ∴∠D＝∠DEC＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠B'AE＝∠D＝60°， ∵∠AEB'＝∠CED， ∴△AB'E是等边三角形， ∴AE＝AB'＝6， ∴阴影部分的面积和△CDE的面积相等， 在△EDC中，过点C作CH⊥ED交DE于点H， ∵∠D＝60°，ED＝6， ∴DH＝3， ∴CH＝3， ∴S6×39， 故答案为：9． 15．风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，∠B＝52°，∠CDF＝112°，且AB∥MF，则∠F＝　16　 °． 【答案】16． 【解答】解：如图 延长FM交BC于点I， ∵AB∥FM，∠B＝52°， ∴∠BIF＝∠B＝52°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠CDF＝112°， 在△DIF中，∠F＝∠180°﹣∠CDF﹣∠BIF ＝180°﹣52°﹣112° ＝16°， 则∠F的度数为16°， 故答案为：16． 16．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则Sn的值为 Sn 　 ． 【答案】Sn ． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质， 在△CDE中， 由勾股定理可得DE2+CE2＝CD2， 又∵DE＝CE，那么2DE2＝CD2． 而正方形的面积等于边长的平方， ∴S2＝ DE2，， 由此可得S2+S2＝S1， 已知正方形ABCD边长为2，那么 ＝4． 由S2+S2＝S1， 可得 ＝2．． 同理，． ． 通过观察这些面积值，可以发现规律：Sn ． 故答案为：Sn ． 三．解答题（共11小题） 17．计算：． 【答案】2． 【解答】解：原式＝2 ＝22 2． 18．解不等式组：． 【答案】1＜x≤3． 【解答】解：由题意，解不等式2（x﹣1）≥3x﹣5得，x≤3； 解不等式2x得，x＞1， ∴原不等式组的解集为1＜x≤3． 19．化简：（x）． 【答案】． 【解答】解：（x） • • ． 20．我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． （1）若所在圆的圆心为点O，EF是弦CD的垂直平分线，尺规作图：找出圆心O（保留作图痕迹，不写作图过程）． （2）若所在圆的半径为10米，拱桥的跨度（弦AB的长）为16米，求桥拱拱高的中点到弦AB的距离）． 【答案】（1）见解答． （2）桥拱拱高为4米． 【解答】解：（1）如图2，作线段AB的垂直平分线，交直线EF于点O， 则点O即为所求． （2）连接AO，设线段AB的垂直平分线交于点G，交AB于点H， ∴米，∠AHO＝90°． ∵OA＝10米， ∴OH6（米）． ∵OG＝10米， ∴GH＝OG﹣OH＝10﹣6＝4（ 米）． 答：桥拱拱高为4米． 21．榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在A位置的概率为　　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D， ∴甲停放在A位置的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 22．如图1是某市的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图．在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔AB垂直于地面，测角仪CD、EF在AB两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距105m（点C，B，E在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点A的仰角为45°，在F处测得铁塔顶点A的仰角为53°．求铁塔AB的高度（参考数据：，，，结果精确到1米）． 【答案】铁塔AB的高度约为62m． 【解答】解：连接DF交AB于点G，则DF⊥AB， 由题意得：CD＝EF＝BG＝1.6m，DF＝CE＝105m， 设DG＝xm，则FG＝DF﹣DG＝（105﹣x）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴AG＝DG•tan45°＝x（m）， 在Rt△AFG中，∠AFG＝53°， ∴AG＝FG•tan53°（105﹣x）m， ∴x（105﹣x）， 解得：x＝60， ∴AG＝60m， ∴AB＝AG+BG＝60+1.6≈62（m）， ∴铁塔AB的高度约为62m． 23．【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 a 1.95 c 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：a＝　1.91　 ，b＝　3.75　 ，c＝　2.0　 ； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是B （填序号）； （3）现有一片长13cm，宽6.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果树、荔枝树中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1）1.91；3.75；2.0； （2）B； （3）这片树叶更可能来自荔枝， 理由如下：∵一片长13cm，宽6.6cm的树叶，长宽比接近2.0， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 【解答】解：（1）由题意得，a（2.0×4+2.4+1.8×2+1.9×2+1.3）＝1.91， 把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8， 故b3.75， 10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故c＝2.0； 故答案为：1.91；3.75；2.0； （2）∵0.0424＜0.0669， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0， ∴B同学说法合理； 故答案为：B； （3）这片树叶更可能来自荔枝， 理由如下：∵一片长13cm，宽6.6cm的树叶，长宽比接近2.0， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 24．如图，已知反比例函数与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A、点D，且点A的横坐标为2，点D的纵坐标为﹣2，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点C，求∠ACO的度数． （3）结合图象直接写出，当y1＞y2时，x的取值范围． 【答案】（1），y2＝x+2； （2）∠ACO＝45°； （3）0＜x＜2或x＜﹣4 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为2， ∴OA＝2， ∵S△AOB＝4， ∴OA•OB＝4， ∴AB＝4， ∴A（2，4）， 把A点坐标代入y1中，得k＝8， ∴y1， 把y＝﹣2代入y1中，得x＝﹣4， ∴D（﹣4，﹣2）， 设直线AD解析式为y2＝ax+b， 将A、D两点坐标代入，得， 解得， ∴一次函数为y2＝x+2； （2）由直线y2＝x+2可知，C（﹣2，0）， 则BC＝OB+OC＝4，AB＝4， 所以，在Rt△ABC中，tan∠ACO1， 故∠ACO＝45°； （3）由图象可知，当y1＞y2时，x＜﹣4或0＜x＜2． 25．如图，线段AB与圆O相切于点B，AO交圆O于点M，其延长线交圆O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为圆O上一点，且的中点为M，连接AD，CD． （1）求∠ACB的度数； （2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】（1）30°； （2）是菱形， ∵的中点为M，∠ACB＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB＝30°，即∠DCB＝60°，而∠ABC＝120°， ∴∠CAB＝180°﹣120°﹣30°＝30°＝∠ACB， ∴BA＝BC． ∵的中点M，CM为直径， ∴， ∴CD＝CB． 在△ACD与△ACB中， ， ∴△ACD≌△ACB（SAS）， ∴AD＝AB， ∴AD＝AB＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 【解答】解：（1）如图，连接OB， ∵线段AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABC＝120°，∠ABO＝90°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°． ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°； （2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下： ∵的中点为M， ∴， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴∠DCB＝60°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CAB＝180°﹣120°﹣30°＝30°＝∠ACB， ∴BA＝BC． ∵的中点M，CM为直径， ∴， ∴CD＝CB． 在△ACD与△ACB中， ， ∴△ACD≌△ACB（SAS）， ∴AD＝AB， ∴AD＝AB＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 26．问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ 　45　 °． （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，45；（2）∠FAH＝45°；（3）随点P的运动，∠FAH 的度数不变，且为45°． 【解答】解：（1）如图，MN即为所求： 连接AH，AF与格线的交点记为M，N， 由网格可得，EM∥BH， ∴△AEM∽△ABH， ∴， ∵BH＝2， ∴EM＝1， ∴M为格点，同理N为格点， ∵，MN，， ∴AM2+MN2＝AN2，AM＝MN， ∴∠AMN＝90°， ∴△AMN为等腰直角三角形， ∴∠FAH＝45° 故答案为：45； （2）延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°， ∴△ABT≌△ADF（SAS）， ∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD， ∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴四边形AEPG是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形AEPG是矩形， 同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形， ∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°， ∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，， ∴HT＝HF， ∴在△AHT和△AHF中， ， ∴△AHT≌△AHF（SSS）， ∴∠TAH＝∠HAF， ∵∠TAH＝90°﹣∠HAF， ∴90°﹣∠HAF＝∠HAF， ∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°； （3）随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下： 延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°， ∴△ABT≌△ADF（SAS）， ∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD， ∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH， 同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形， 设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b， ∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b， ∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b， ∴HT＝BH+BT＝a+b， ∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE， ∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab， 整理得x2＝ab+ax+bx， ∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2， ∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2 ＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2 ＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2 ＝（a+b）2， ∴HF＝a+b（舍负）， ∴HF＝HT， ∴在△AHT和△AHF 中， ， ∴△AHT≌△AHF（SSS）， ∴∠TAH＝∠HAF， ∵∠TAH＝90°﹣∠HAF， ∴90°﹣∠HAF＝∠HAF， ∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF，连接OF，DE．求OF+DE的最小值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①D（1，4），②5． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）， 在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上， 设该二次函数为y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2）， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）①把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3， ∴C（0，3）， 如图，延长DC与x轴相交于点G， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠COB＝90°， ∴∠CBO＝45°， ∵∠DCB＝90°＝∠BCG， ∴∠CGB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣45°＝45°， ∴∠GCO＝180°﹣∠COG﹣∠CGB＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴OG＝OC＝3， ∴G（﹣3，0）， 设直线CG的解析式为：y＝kx+m（k≠0）， 把C（0，3），G（﹣3，0）代入， 得， 解得， ∴直线CG的解析式为：y＝x+3， ∵点D是直线CG与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∴D（1，4）； ②如图，过点D作二次函数的对称轴平行于y轴，过点O作OH∥EF交二次函数的对称轴于点H，且，连接HE，设DH交x轴为点G， ∵OH∥EF，且OH＝EF， ∴四边形OFEH是平行四边形， ∴OF＝EH， ∵∠CBO＝45°， ∴∠BOH＝45°， ∴△OGH为等腰直角三角形， ∴OG＝GH， ∵，OG2+GH2＝OH2， ∴OG＝GH＝1， ∴H（1，﹣1）， ∵DE+EH≥DH， ∴当DE+EH＝DH时，DE+EH最小， ∵D（1，4），H（1，﹣1）， ∴DH＝5．此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， ∴点F的坐标为（0，3）与点C重合，满足EF在线段BC上， ∴DE+OF的最小值为5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $