考点12 复数的四则运算（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点12 复数的四则运算 考点一：复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 考点二：复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 考点三：复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 题型一：复数的加减运算 （1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 【例1】复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 则其在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第二象限. 故选：B. 【例2】已知复数，，，其中为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为复数，，所以， 所以，故，， 所以. 故选：A 【变式1-1】若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【详解】，由题意知，即． 故答案为： 【变式1-2】已知，则__________. 【答案】5 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为：5 【变式1-3】若，则的实部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 则，解得，故的实部为. 故选：C 题型二：复数加减运算的几何意义 【例3】若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 【例4】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 【变式2-1】设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【变式2-2】若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【详解】由已知. 故答案为： 【变式2-3】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【详解】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 题型三：复数的乘、除运算 （1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 【例5】已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【例6】若复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 【变式3-1】已知复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知复数， 所以共轭复数，其虚部为. 【变式3-2】已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 可得，所以. 【变式3-3】已知复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数z满足，可得， 所以复数的虚部为． 题型四：复数的乘方运算 有如下性质：如果，那么有 【例7】若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】， ， ． 【例8】若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 【变式4-1】已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知，又因为， 所以． 【变式4-2】在复平面内，所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】， 显然其对应的点在第四象限． 【变式4-3】若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，，则为实数，正整数为偶数， 所以正整数n的最小值为2. 故选：B 题型五：根据四则运算的结果求参数 【例9】已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 【例10】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【变式5-1】已知复数,,如果为纯虚数,那么_____. 【答案】 【详解】解:由题知,, , 为纯虚数, , . 故答案为: 【变式5-2】已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以， 则，即， 从而，即，解得，故 故选：A. 【变式5-3】已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设，，， 则， 则，得或， 因的虚部比的虚部大，则， 则， （2）， 则复数在复平面内对应的点为， 将点绕着原点逆时针旋转，得， 则将复数逆时针旋转得到复数. 题型六：在复数范围内解方程 在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 【例11】若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】C 【详解】设，则， 整理得，即， 所以，则或， 又时，判别式， 所以此方程无实数根，故舍去， 所以或， 则，在复平面上对应的点为，位于第二象限或第三象限. 【例12】已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为（）是实系数一元二次方程的两个根， 所以，是共轭复数， 则，，即实系数一元二次方程的两个根是， 所以，． 故选：AB 【变式6-1】已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 【变式6-2】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以， 整理得，则，解得． 故选：BD. 【变式6-3】设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 故选：D 2．复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 所以复数的虚部为. 故选：D. 3．复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意得，对应的点在第一象限． 故选：A 4．已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 5．若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 其中，当时，最大值为. 6．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【详解】设，代入方程： 展开得： 实部与虚部分别为零： 由虚部： 情况1：（实数解）代入实部：，解得或，即， 情况2：（虚数解）则，代入实部： 即， 化简得：，即（无实数解）， 仅有2个实数解（无虚数解），故解的个数为2， 故选：A. 7．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 8．在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，为相反向量， 而，则，即，则， 所以，故A错误； 而，则，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误. 故选：C 二、多选题 9．若复数（），则（   ） A．当z为实数时， B．当z为纯虚数时， C．当z的实部与虚部相等时， D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 【答案】ABD 【详解】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 故选：ABD 10．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A：设，，其中，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：设，，其中，，，， 则， ， 所以，故B正确； 对于C：若，则， 同理可得，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件， 但，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．设为虚数单位，若复数满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 12．设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 【答案】 【详解】因为复数，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，，故， 故向量对应的复数所对应的点的坐标为， 故答案为：. 13．计算：______． 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)-1 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）因为， 所以原式 15．（1）已知，且（i为虚数单位），求复数的虚部． （2）已知，（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】 【详解】（1）设，代入方程， 得出， 因此，解得， 则，复数，所以所求虚部为1． （2），且为纯虚数，则且，所以． 16．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）(方法一)因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 (方法二)依题意，，则， 由根与系数的关系，得. （2），， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点12 复数的四则运算 考点一：复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 考点二：复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 考点三：复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 题型一：复数的加减运算 （1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 【例1】复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】已知复数，，，其中为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是___________． 【变式1-2】已知，则__________. 【变式1-3】若，则的实部为（   ） A．1 B． C． D． 题型二：复数加减运算的几何意义 【例3】若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【变式2-1】设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【变式2-3】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 题型三：复数的乘、除运算 （1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 【例5】已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A． B． C． D． 【例6】若复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】已知复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-3】已知复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 题型四：复数的乘方运算 有如下性质：如果，那么有 【例7】若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【例8】若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 【变式4-2】在复平面内，所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：根据四则运算的结果求参数 【例9】已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【例10】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【变式5-1】已知复数,,如果为纯虚数,那么_____. 【变式5-2】已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-3】已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 题型六：在复数范围内解方程 在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 【例11】若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【例12】已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【变式6-2】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 5．若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B． C． D．8 7．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若复数（），则（   ） A．当z为实数时， B．当z为纯虚数时， C．当z的实部与虚部相等时， D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．设为虚数单位，若复数满足，则__________. 12．设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 13．计算：______． 四、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（1）已知，且（i为虚数单位），求复数的虚部． （2）已知，（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数的值． 16．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $