广东普宁市第二中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

普宁二中2025-2026学年度第二学期高二级第一次月考 数学科试题参考答案及评分标准 试卷满分150分，考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B A D G D B 4,6 8.【详解1抽an=h+号则a,=2a=号a=2a,= 2 号，当m≥7n∈N时恒有n号S>0,则a.=n+只5=n十号-s,此时a道， n 综上a2<au,a2<ag,a7<a6,a7<as,故数列{an}的“谷值点”为2、7，共2个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BD ACD BCD 1.【详解】因为a,=S+1,当n=1时，a=S十1 2 2 ,解得a1=1, 当n≥2时，an-1= 2 ,两式相诚可得a.一01=8-S-十1，即a,-a1= Sm-1+1 an 2 2 所以am=2,故数列{a,}是以1为首项、2为公比的等比数列，故am=2-,A错误： Sn=2am-1=2m-1,S4=15,B正确： 记T=bnbg…b。=(21b,故当n≥2时，品=2b.n, T (2n-1b) 即bn二 食会广2=六压A会子 bn-i 1、1 故数列b}是以1为首项，为公比的等比数列，故b,=子， Γ44 1、1 33×4-1 4 C、D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 13 14 (1,1) 7√ √13 2 14.【详解】由题知，记右焦点为F,过做FM∥OQ如图所示， .QF与圆x2+y=a2相切，∴.OQ⊥PF,lOQ=a, .OF=c,∴.FQ=b .∵O为FR中点，FM∥OQ,故△FQO相似于△FMR,且相似比为1：2，即FM=2a,QM=b, .PQ=2QF=26,..PM=b,PF=3b, 第1页，共4页 在双曲线 2-号=1中，有Pr-P=2a, a2 b2 ∴PF=3b-2a, FM∥OQ,OQ⊥PF,∴△PM为直角三角形， .FM+PM2=PRP, 即(2a)2+b2=(3b-2a)2,化简可得：2b=3a, 上式两边同时平方，将b2=c2-a2代入可得，4c2=13a2, 即离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)已知圆C经过点A(1,2)和B(5,-2), 则线段AB的垂直平分线方程为：y=x-3,即x-y-3=0, 又圆心在直线2x+y=0上， 联立2x+y=0 x3=0解得2=1 寻{g二2所以圆心为C1,-2)…3分 半径为R=AC=4,… …5分 所以圆C的标准方程(x-1)2+(y+2)2=16:…6分 (2)若直线l的斜率存在，方程可设为y=k(x+3)+1,即kx-y+3k+1=0, 圆心CL,-2到直线的距离d=+2+3张+1=4，解得k=务， √1+2 故所求的一条切线为7x-24划十45=0，…10分 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=一3，与圆C相切，…12分 所以直线1的方程为x=-3和7x-24划十45=0. …13分 16.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,…1分 山+-1好得ag2a laq-(b1+2d)=14' 即3g+d=14 3g2-2a=17'即g+29-15=0,解得g=-5或g=3. …3分 当q=-5时，a2<a,不满足{an}单调递增，当q=3时，an=3,满足{an}单调递增， 所以an=3”. ………5分 又3q+d=14,所以d=5,所以bn=3+5(m-1)=5m-2,… …9分 即数列{an}的通项公式为am=3",数列{bn}的通项公式为bn=5n-2. (2)由(1)知am=3",bm=5n-2, 所以Snm=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2++an)-(b1+b2++bn) =3m+1-3_5m2+n=3+1-52-n-3 2 2 2 即3=3m1-5n2-n-3 2 …15分 17.【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 得PA⊥BC,…2分 又因为AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,…4分 因为BCc平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.. …5分 第2页，共4页 (2)取CD中点为E,连接AE,AB⊥BC,AB∥CD,AB=BC=1,CD=2, 则AB∥CE,AB=CE,即四边形ABCE为矩形，则AB⊥AE, 又PA⊥平面ABCD,AB,AEC平面ABCD,显然AB,AE,AP两两垂直， 以A为坐标原点，直线AB,AE,AP分别为为x,丛，z轴，建立空间直角坐标系，6分 G 4-- 设PA=m>0,则A(0,0,0),P(0,0,m),C(1,1,0),D(-1,1,0),B(1,0,0),…7分 由点G是△PCD的重心，得GP+GO+GD=0, 则G0,号，g)DG=(山，号)9分 又P2=(1,0,-m),BC=(0,1,0),设平面PBC的一个法向量元=(x,,z), 则万P羽=-m2=0,取2=1，得方=m0.1,1分 i·BC=y=0 设DG与平面PBC所成角为6,0≤0≤受， DGn 4m sin=cos(DG,)= 3 2W2 ,…13分 DG成 /10+m2 3 √m2+1 9 化简得m*-7m2+10=0, 解得m2=2或m2=5,即m=√2或m=√5，所以PA的长度为√2或√5.…15分 18,【详解】①因为F1.0),所以c=1,点P1,号)代入椭圆方程可得合+品=1， 又心-=心2-1，解得心=48=3，所以横图C方程为兰+号-11分 (2)(i)由题意得F(1,0),N4,0),设A(m,n)(-2<m<2), 则B0m,-)m≠0.且平+号=1①. 则AF,BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,n(x-4)+(m-4)y=0. 设M(xo,则有n(-4)+(m-4)=0②，n(-1)-(m-1)=0③ 由②，③得0三奶三225…8分 由①得4n2=12-3m2, 因为2戏+6=(5m-8 (3m)2 (5m-8)2+12m2 4 34(2m-5y+ -5m-8+36,9m=1, 3(2m-5)2 42m-5)2 4(2m-5)2 所以点M恒在椭圆C上.……10分 (i)设AM的方程为=初+1，代入号+号=1，得3#+y+6制-g=0.1分 第3页，共4页 -6t -9 设A(,),M(),则有3+h=3t十4'=3+4' 所以-l=V(+-4划= 4v3√3t+3 ,…13分 3t2+4 令3t2+4=A(A≥4)， 则M-=豆-45√（贵了+=4w3√（资+于 入 因为≥4，所以0<贵≤是， 故当员=子，即1=4t=0时，以一孙有最大值3，…15分 所以Sa4a=方PN-=多一以≤号，即△AN的面积的最大值为号 …17分 19.【详解】(1)设双曲线C上任意一点M(x,),将其绕坐标原点O沿逆时针方向旋转于后得到 点M(',y').则 子子=设 红=9(+) ,解得： y=asin于+yosf 又因为苦-号=1.所以士y-x-子(+y=1,化简得：=日 故曲线C的方程为y=召 …4分 -1 yn-1=1 (2)将点Pn-(n-yn-),Qn-1(,cn)代入C”,得 Cn-1 -1 In= 两式相减，得x,一1=。一1 In-19n 所以一上= 1 1 yn-En-1 Zn-19n 又因为-==-2，= yn-En-1 所以云=2 7分 又因为=弓，故{红}为首项为号，公比为2的等比数列。 所以x=(-号21=-22 ，…9分 进一步可得n=一1三22-m…11分 1+1 (3)因为+3-=2n+3十 1 Dn+3一Dn 2n+3-n In+3In 1 yn+2-yn+1_ 1 …15分 En+2-En+1 In+2-En+1 En+ITn+2 又因为在等比数列{xn}中，xn+3xn=xn+1xn+2: 所以PnPn+3∥Pn+1n+2:…17分 第4页，共4页普宁二中2025一2026学年度第二学期高二级第一次月考 数学科试题 试卷满分150分，考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求 1.直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则(） A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5 C.a=-2,b=5 D.a=-2,b=-5 2.己知F,是平面内两个不同的定点，则“‖M-M‖为定值”是“动点M的轨迹是双曲 线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 知？”十三1表示焦点在)轴上的椭圆，则实数t的取值范围为 A.（-00,-2)U(3,+00) B.（-2,3) C.（-7,3) D.(-2,+00 4.在平面直角坐标系中，过点(0,2)作倾斜角为135°的直线1，已知直线1与圆x2+y2-2x=0 交于A、B两点，则|AB=() A.√2 B.√ C.√10 D.13 5.已知抛物线y=2p(p>0)上一点M的纵坐标为-4W2,该点到准线的距离为6，则该抛物线 的标准方程为(） A.y2=-16x B.y2=8x或y2=4x C.y2=-82 D.y2=16x或y2=8x 6.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，那么（) A.曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0 B.坐标不满足f(c,y)=0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不满足f(,y)=0 D.不在曲线C上的点的坐标有些满足f(x,y)=0,有些不满足(x,y)=0 7.在正四面体P-ABC中，O是△ABC的中心，AB=2,则PO·(PA+PB)等于() A. B.26 C.8v2 3 3 D.9 8.对于数列{an},若存在正整数k(k≥2)，使得as<a-1,a%<a+1,则称as是数列{an}的“谷 值”，k是数列{a}的“谷值点”.在数列{a}中，若a=n+9-,则数列{a}的“谷值点” m 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 g.已知曲线G4+3g=18,C2-号=1.则() A.C的长轴长为4 B.C2的渐近线方程为y=±√3x C.C与C2的焦点坐标相同 D.C与C2的离心率互为倒数 10.已知E,F分别是正方体ABCD-ABCD的棱BC和CD的中点，则() D A D为 B A.AD与BD1是异面直线 B.AD与EF所成角的大小为45° C,A,F与平面BEB所成角的正弦值为号 D.二面角C-DB-B的余弦值为Y6 3 11.己知数列{a}的前n项和为Sm,且an= Sn十1，首项为1的正项数列{b}满足b,·b2bg… 2 bn=(abn)”,数列{b,n}的前n项和为Qn,则下列结论正确的是（) C.6=1 4 1 A.an=2m-1 B.S4=15 D.Qm=3-3×4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆x2+y2+mxc-2y-m=0恒过的定点是 13.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB、AC为邻边的平行四边形的面积 为 山已知双曲线C名-￥1(@>0，b>0)的左焦点为P,过F的直线与圆x2+=a2相切于 点Q,与双曲线的右支交于点P,若PQ=2QF,则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆C经过点A(1,2)和B(5,-2),且圆C关于直线2x+y=0对称. (1)求圆C的方程： (2)过点D(-3,1)作直线1与圆C相切，求直线1的方程. 第2页，共4页 16.(15分)已知数列{am}是单调递增的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1=b1=3,a2+b2= 17,ag-b3=14. (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式： (2)求数列{am-bn}的前n项和Sm. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC= 1,CD=2,点G是△PCD的重心 G B (1)求证：平面PAB⊥平面PBC; (②)若直线DG与平面PBC所成角的正弦值为22，求PA的长度。 18.17分)如图，鞘圆C号+茶-1(a>b>0)的一-个焦点为P1.0),且过点P(L,号) (1)求椭圆C的方程； (2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线1：x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M. (i)求证：点M恒在椭圆C上： (i)求△AMN面积的最大值. 第3页，共4页 19.(17分)已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转6角得到向量 AP=(xcos0-ysin0,sin0+ycos6),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转6角得到点P. 将双曲线C:号-号=1上的每一点绕坐标原点0沿逆时针方向旋转牙后得到曲线C 点R在C上，其横坐标为-子，再按照如下方式依次构造点P(n=23,:过P1作斜率 为-2的直线与曲线C'交于另一点Qm-1,令Pn为Qm-1关于直线y=x的对称点，记Pn的坐标 为(xn,yn) (1)求曲线C的方程： (2)求数列{xn},{yn}的通项公式； (3)求证：PnPn+3∥Pn+1Pn+2 第4页，共4页