专题03 乘法公式重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题03 乘法公式重难点题型汇编（八大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................3 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................7 【题型4: 完全平方公式下得几何背景】.............................................................................8 【题型5: 完全平方公式的逆运算】......................................................................................16 【题型6 求完全平方式中的字母系数】...............................................................................19 【题型7 整式的混合运算】..................................................................................................21 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】...................................................................22 【题型1: 平方差公式运算】. 1．若，，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查平方差公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将已知条件转换，代入求解即可． 【详解】解： ． 已知 ，， ∴ ， ∴． 故答案为 ：5． 2．若，，则的值为________． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 3．________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 4．计算： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过乘以构造平方差公式，逐步简化计算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 【题型2:平方差公式的几何背景】 5．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 6．如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的推导，利用平方差公式进行计算，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． （1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据长方形面积公式列出算式，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，图1阴影部分的面积为： ， 图2长方形的长为：， 图2长方形的宽为：， 面积为：， ∴可以得到一个乘法公式为：； （2）解： ； （3）解：根据题意得，这个长方形面积为： ． 7．探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 8．请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 【答案】(1)② (2)（i）3；（ii）16204 【分析】本题考查平方差公式与几何的综合应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）（i）利用（1）中结论进行求解即可；（ii）将式子转化为，再利用（1）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得：； 由图2可得：； ∴； 故答案为：②； （2）（i）∵，， ∴； （ii） ． 【题型3:完全平方公式】 9．计算：________． 【答案】40000 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：40000． 10．已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 根据完全平方公式得到，然后代入所求表达式直接计算． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 11．计算：的结果是_______ 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，应用完全平方公式进行展开计算． 【详解】解：． 故答案为． 12．若，则____________，____________． 【答案】 16 4 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 先将等号右边的完全平方公式展开，再通过比较等式两边多项式的系数，确定参数的值即可． 【详解】解：右边展开得 ， ∴， ∴，， 解得 ， ． 故答案为：，． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】. 1．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． A．     B．     C． (2)已知 ，，求的值． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积的计算，掌握乘法公式的计算是关键． （1）根据图形面积的计算判定即可； （2）根据平方差公式的计算求解即可； （3）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的阴影部分的面积为，图2的阴影部分的面积为， ∴， 故选：B； （2）解：， ∴； （3）解： ． 19．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．22 B．27 C．33 D．39 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， ， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【分析】本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键． （1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）将，，代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法一、阴影部分的面积； 方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积． （3）解： 三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：． 故答案为：、；；29． 21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为_____． (2)运用你所得到的公式，计算：若、为有理数，且，，试求的值． (3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)13 (3) 【分析】本题主要考查整式混合运算与图形面积的计算，掌握完全平方公式是关键． （1）根据图形面积的计算即可求解； （2）根据（1）中的结论，变形计算即可； （3）根据题意，设，则，，结合完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，4块长方形的面积为， ∴； （2）解：根据（1）中结论得到，， ∴ ； （3）解：根据图示，，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图②），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示，； (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2)34 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键． （1）根据正方形面积之间的关系，即可用含，的代数式表示，； （2）根据，直接将条件代入即可． 【详解】（1）解：依题意，； ， ； （2）解： ． 当，时， 原式 ． 23．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)184 (2)57 【分析】此题考查了完全平方公式的变形应用，单项式乘以多项式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）首先表示出，，，然后利用代入求解即可． 【详解】（1）； （2）由题意得：，，， ，， ． 24．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 【观察探索】 （1）小明用大小不一的正方形卡片和长方形卡片拼成了如图①所示的大正方形．用不同的代数式表示图①中阴影部分的面积，可以得到一个等式： ； 【问题解决】 （2）已知，，则 ． （3）已知，求的值； 【拓展应用】 （4）如图②，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为120，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式是解题关键． （1）用两种方式列式即可得到等式； （2）代入（1）所得等式计算求值即可； （3）设，，利用（1）所得等式计算即可； （4）由题意可知，，，，设，，则，，再利用（1）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）用两个小正方形面积列式得：， 用大正方形面积减长方形面积列式得：， 则； （2），， ； （3）设，，则， ， ， ； （4），，， ，， 长方形的面积为120， ， ， 设，，则，， ． 【题型5: 完全平方公式的逆运算】 25．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 26．已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的运用． 由可得，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 16．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 27．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开已知条件，通过加减运算求出的值，再求其平方即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 两式相减得：， ∴， ∴． 故选：D． 28．有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，先观察图形，根据总面积不变，进行列式计算，然后分析，即可作答． 【详解】解：方案一，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 方案二，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个梯形的面积 即； 方案三，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 综上：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是 故选：C． 29．若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 30．多项式□是完全平方式，则“□”代表的式子是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，通过完全平方式的标准形式对比，已知首项和中间项，即可确定缺失的平方项． 【详解】解：完全平方式的形式为 ， ∴ 对应 ， 对应 ， ∴ ，， 故缺失项为 ， 故答案为： ． 31若，则常数等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式展开左边多项式，再通过比较等式两边对应项系数求解． 【详解】解：左边展开， 与右边对比， 项系数对应相等， 即，得， 故答案为：． 22．若可以配成一个完全平方式，则m的值为_______． 【答案】1或 【分析】本题考查了完全平方公式，公式为，掌握公式特点是关键；将表达式与完全平方式比较，确定和的值，再根据中间项系数求解． 【详解】解：给定表达式为，与完全平方式对比，可得，（因为）， 中间项为，应等于， 因此有， 当时，解得，即； 当时，解得，即； 综上，m的值为1或． 故答案为：1或． 29．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、多项式乘多项式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先用完全平方公式、多项式乘多项式展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和计算公式． （1）分别计算同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并同类项即可； （2）先利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 整式的混合运算】 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （3）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式 ． （3）解：原式 . （4）解：原式 ， ， ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】 33．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将用含的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 【详解】（1）解：依题意，∵，∴， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解：， ∵，∴， 则当时，有最小值，是， 则代数式的最小值是 8 ； （3）解：∵， ， ， ∴的最小值是． 34．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：， 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： （1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　． 【拓展提高】 （2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），20； （2）当时，代数式取得最小值，最小值为16； （3），理由见详解 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题关键． （1）仿照题目中所给的配方法的思路解答即可； （2）结合题目中所给的配方法的思路，将整理为，即可获得答案； （3）分别计算与，然后由，易得，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是； ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值是． 故答案为：，20； （2） ， ∵， ∴当，，即时，代数式取得最小值，最小值为16； 故答案为：当时，代数式取得最小值，最小值为16； （3），理由如下： 根据题意，可得， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 35．阅读与思考 利用我们学过的完全平方公式、不等式等知识，可解决代数式求最大值，最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： 求代数式的最小值． 即当时，的最小值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上常数项，使式子成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）学校打算用一段长为20米的篱笆围成一个长方形种植园（篱笆无重叠，无损耗），设长方形的一边长为米． ①用含的式子表示种植园的面积：______平方米； ②请求出当取何值时，种植园的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）9 （2）当时，的最小值是； （3）① ②当时，种植园的面积最大，最大面积是平方米． 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，利用完全平方公式求解即可； （3）①设长方形的一边长为米，则另一边长为米，再根据长方形面积公式列式即可； ②将①所得式子展开，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：9； （2）， ， 即当时，的最小值是； （3）①设长方形的一边长为米，则另一边长为米， 种植园的面积为平方米， 故答案为：； ②， ， ， 即当时，种植园的面积最大，最大面积是平方米． 36．把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当x为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． （）利用完全平方公式配方解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式重难点题型汇编（八大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................1 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................3 【题型4: 完全平方公式下得几何背景】.............................................................................4 【题型5: 完全平方公式的逆运算】......................................................................................8 【题型6 求完全平方式中的字母系数】...............................................................................8 【题型7 整式的混合运算】..................................................................................................9 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】...................................................................10 【题型1: 平方差公式运算】. 1．若，，则的值为__________． 2．若，，则的值为________． 3．________． 4．计算： ___________． 【题型2:平方差公式的几何背景】 5．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 6．如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 7．探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 8．请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 【题型3:完全平方公式】 9．计算：________． 10．已知，则______． 11．计算：的结果是_______ 12．若，则____________，____________． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】. 1．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． A．     B．     C． (2)已知 ，，求的值． (3)应用所得的公式计算：． 19．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．22 B．27 C．33 D．39 20．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为_____． (2)运用你所得到的公式，计算：若、为有理数，且，，试求的值． (3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图②），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示，； (2)若，，求的值． 23．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 24．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 【观察探索】 （1）小明用大小不一的正方形卡片和长方形卡片拼成了如图①所示的大正方形．用不同的代数式表示图①中阴影部分的面积，可以得到一个等式： ； 【问题解决】 （2）已知，，则 ． （3）已知，求的值； 【拓展应用】 （4）如图②，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为120，求图中阴影部分的面积和． 【题型5: 完全平方公式的逆运算】 25．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 26．已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 16．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 27．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 29．若是完全平方式，则的值是______． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 30．多项式□是完全平方式，则“□”代表的式子是_______． 31若，则常数等于_____． 22．若可以配成一个完全平方式，则m的值为_______． 29．计算： 30．计算： (1)； (2)． 【题型7 整式的混合运算】 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．计算： (1)； (2)． 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】 33．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 34．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：， 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： （1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　． 【拓展提高】 （2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 35．阅读与思考 利用我们学过的完全平方公式、不等式等知识，可解决代数式求最大值，最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： 求代数式的最小值． 即当时，的最小值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上常数项，使式子成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）学校打算用一段长为20米的篱笆围成一个长方形种植园（篱笆无重叠，无损耗），设长方形的一边长为米． ①用含的式子表示种植园的面积：______平方米； ②请求出当取何值时，种植园的面积最大，最大面积是多少平方米？ 36．把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当x为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $