专题08 一元一次不等式重难点题型汇编(十二大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题08 一元一次不等式重难点题型汇编 （十二大题型） 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................3 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................4 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................7 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】.................8 【题型6：解一元一次不等式组】................................................11 【题型7：分配问题】..........................................................14 【题型8：销售利润问题】......................................................17 【题型9：方案问题】..........................................................23 【题型10：阶梯问题】.........................................................30 【题型11：其他问题】.........................................................34 【题型12：定义问题】.........................................................38 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 2．如果不等式的解集是，那么a必须满足___________． 【答案】 【分析】根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0． 【详解】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1， ∴a-2＜0， 解得，a＜2． 故答案为：a＜2． 【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数． 3．当________时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，即不等式两边同除以同一个负数时，不等号方向改变，由此求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为． ∴， 解得． 4．若不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键； 将不等式解出，令最后结果与2作比较即可求得a的取值范围 ． 【详解】解： 不等号右侧整理可得 已知不等式的解集为 观察解集与原不等式可得： 解得 故答案为：． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 5．若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 6．已知，不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先不等式的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式的解法，整数解的确定，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式的解集为， ∵不等式恰有1个负整数解，为， ∴， 解得， 故答案为：． 7．关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知关于x的不等式的正整数解只有2个，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解集情况求参数的范围，根据的正整数解只有2个，得到正整数解为，即可得出结果． 【详解】解：∵的正整数解只有2个， ∴正整数解为， ∴； 故答案为：． 9．已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据有三个非负整数解得出关于的不等式，进而求解即可. 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式有三个非负整数解， ∴这三个负整数解是0，1，2， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 10．关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰有个整数解，确定参数的取值范围. 【详解】解： 不等式①两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为，，， 可得：. 11．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：由不等式得：， 因此原不等式组的解集为， 不等式组只有4个整数解， 4个整数解为0、1、2、3， 可得， 不等式两边同时加2，得：． 12．若不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解得出关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 13．已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于的解题的关键．求出不等式组的解集，再根据该不等式组恰好有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解不等式组 得：， ∵该不等式组恰好有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为，0． ∴． 14．如果关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，然后根据有2个整数解，求出a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．不等式组的整数解共有是5个，那么的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别表示出不等式组中两不等式的解集，根据解集中的整数解共有5个，确定出a的范围即可． 【详解】解：由不等式组得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有5个， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 16．若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求解不等式组中第二个一元一次不等式.，再根据一元一次不等式组解集的确定原则得到关于的不等式，最后求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 不等式组的解集是， ∴， 不等式两边同除以，不等号方向改变，得． 17．若不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式无解的情况是解题的关键．解出不等式组的解集后再根据不等式组无解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组无解，即． 18．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得； ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 19．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解． 首先解出每个不等式的解集，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解，进行列式，即可求得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 20．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 21．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到，再利用得到不等式即可求解． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到的值． 22．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 23．关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式． 24．已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】①+②得出3x+3y＝m+6，求出x+y＝，根据关于x，y的方程组的解满足﹣1＜x+y＜3得出﹣1＜＜3，再求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ①②，得， 即， 关于，的方程组的解满足， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 【题型6：解一元一次不等式组】 25．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 26．解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 27．解不等式组，请根据题意完成下列问题． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)该不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）解：不等式组的解集为． 28．解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【分析】先求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 整数解为：， 所有整数解之和为． 29．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①得， 由②得； ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示解集如图：     30．琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为_____． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）由一元一次不等式解集求解步骤计算即可； （2）由不等式解法步骤-去分母，得到利用了不等式性质； （3）分别解不等式组中的①②，再由同小取小即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 解得， 故被墨迹覆盖的系数是； （2）解：由去分母过程可知，选C； （3）解：解①得； 解②得； 该不等式组的解集为． 【题型7 分配问题】 31．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 32．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 33．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 34．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【题型8：销售利润问题】 35．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 36．车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件，根据每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件， 由题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴， 答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件． 37．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 38．地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 (1)该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； (2)该个体户能够获得的最大利润是多少？ (3)若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【答案】(1)有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； (2)665元 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，根据预计投资不少于1800元，但不超过1830元建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案； （2）根据计算出一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润大，则A款T恤越多，利润越大，据此确定利润最大的方案，并计算出最大利润即可； （3）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，用含a、x的式子表示出总利润，根据利润不变可知利润的值与x值无关求解即可． 【详解】（1）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的值可以为30或31或32或33， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， ∴有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； （2）解：∵， ∴一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润高， ∴购买A款33套，B款17套时所获得的利润最大，最大利润为元， 答：该个体户能够获得的最大利润是665元； （3）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 将每套A款T恤的售价降低a元（）后，所获得的利润为（元）， ∵要使（1）中所有方案获利相同， ∴利润的值与x值无关， ∴， ∴． 39．苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数） (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？ 【答案】(1)李老板购进香梨千克，苹果千克； (2)这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克． 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解题的关键． （1）设李老板购进香梨千克，苹果千克，根据题意列出方程求解，即可解题； （2）设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克，根据题意列出不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，苹果千克， 根据题意得：， 解得， 则（千克）， 答：李老板购进香梨千克，苹果千克； （2）解：设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克， 每天利润大于268元， ， 解得， 苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍． ， 解得， 综上，，且销售量取整数， ，则（千克）， 答：这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克． 40．某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 【答案】购进商品的件数为19件或20件 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用： 设购进件商品，则购进件商品，根据购进商品的件数不少于商品件数的2倍，利润不低于1770元列出不等式组求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品， 则， 解得， 为整数， 的值为19或20． 答：购进商品的件数为19件或20件． 41．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【题型9：方案问题】 42．某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人／辆、28人／辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【答案】(1)租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元 (2)共有6种租车方案 【分析】（1）设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，根据租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元，列出方程组进行求解即可； （2）设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，由题意，得： ， 解得； 答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元； （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴共有6种租车方案． 43．某学校为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件作为奖品，两种挂件一共买个．其中“冰墩墩”挂件每个元，“雪容融”挂件每个元． (1)如果购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件共花费元，求两种挂件各购买了多少个？ (2)如果购买“冰墩墩”挂件的数量超过个，总费用又不超过元，那么该学校共有哪几种不同的购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个； (2) 一共有三种购买方案：方案一：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个；方案二：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个；方案三：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个；选择购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，这种方案的总花费最小，最小为元． 【分析】（1）设购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个，根据“两种挂件一共买个，两种挂件共花费元”列出方程组求解即可； （2）设购买“冰墩墩”挂件个，购买“雪容融”挂件个，然后根据“购买“冰墩墩”挂件的数量超过个，总费用又不超过元”，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个， 由题意得：， 解得， 答：购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个． （2）设购买“冰墩墩”挂件个，购买“雪容融”挂件个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 一共有三种购买方案： 方案一：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，总花费为元， 方案二：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，总花费为元， 方案三：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，总花费为元， ， 选择购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，这种方案的总花费最小，最小为元， 答：一共有三种购买方案：方案一：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个； 方案二：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个； 方案三：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个； 选择购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，这种方案的总花费最小，最小为元． 44．某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】(1)沙包的单价为12元，篮球的单价为30元 (2)一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包个，购买篮球个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：，， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）解：设购买沙包个，购买篮球个，根据题意得： 解得：， 一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 45．海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【答案】(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确 (2)5种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，根据采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意得， 解得， ∵，， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆， 依题意得， 解得， ∵a为整数， ∴，4，5，6，7， 答：该企业有5种可行的采购方案． 46．老友粉已入选广西非物质文化遗产名录．某便利店购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲种品牌老友粉比乙种品牌老友粉每袋进价少6元，购买2袋甲种品牌与3袋乙种品牌老友粉共需要 元． (1)求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价分别是多少元； (2)小李同学同时购买甲、乙两种品牌老友粉恰好用完元，那么他有哪几种购买方案？ (3)本次购进甲、乙两种品牌老友粉共袋，均按元出售，共获得利润不低于元，且甲种品牌老友粉不超过袋，若该批老友粉全部售完，有哪几种购买方案？该店应购进甲、乙两种品牌老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)乙种品牌老友粉每袋的进价元，甲种品牌老友粉每袋的进价为6元 (2)有两种方案，分别为购买甲种品牌老友粉2袋，乙种品牌老友粉2袋或购买甲种品牌老友粉4袋，乙种品牌老友粉1袋 (3)方案一：甲种品牌老友粉袋，乙种品牌老友粉袋；方案二：甲种品牌老友粉袋，乙种品牌老友粉袋；方案三：甲种品牌老友粉袋，乙种品牌老友粉袋；方案三的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设乙品牌老友粉每袋进价元，则甲品牌老友粉每袋进价为元，由购买2袋甲品牌与3袋乙品牌老友粉共需要元，列出方程，即可求解； （2）设甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，由购买甲、乙两种品牌老友粉恰好用完元，列出方程，即可求解； （3）设甲品牌老友粉袋，由共获得利润不低于元，且甲品牌老友粉不超过袋，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设乙品牌老友粉每袋进价元，则甲品牌老友粉每袋进价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：乙品牌老友粉每袋进价元，则甲品牌老友粉每袋进价为6元， （2）解：设甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 由题意可得：， ， ，为正整数， ，或，， 答：有两种方案，分别为购买甲品牌老友粉2袋，乙品牌老友粉2袋或购买甲品牌老友粉4袋，乙品牌老友粉1袋； （3）解：设甲品牌老友粉袋，则乙品牌老友粉袋， 由题意可得：， 解得：， 为正整数， ，，， 方案一，甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 方案二、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 方案三、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 方案一的利润为元， 方案二的利润为元， 方案三的利润为元， 当甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，才能获得最大利润，最大利润是元． 答：有三种方案，分别为方案一，甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，方案二、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，方案三、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 当甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，才能获得最大利润，最大利润是元． 47．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【题型10：阶梯问题】 48．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 49．为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度． (2)他家最大用电量为300度． 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 50．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）. 阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 a 二档 b 三档 0.82 (1)已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值； (2)六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？ 【答案】(1)a的值是0.52，b的值是0.57； (2)小华家六月份最多可用电350度. 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用. （1）根据四月份和五月份交的电费各列一个方程，组成方程组求解； （2）先根据用电量280度，求出小华家的用电量缴费的档次，然后列不等式求解 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 答：a的值是0.52，b的值是0.57； （2）解：因为当小华家用电量时，， 所以小华家用电量超过280度.        设小华家六月份用电量为m度，根据题意得：， 解得：                            答：小华家六月份最多可用电350度 51．某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付费10元)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？ 【答案】甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km． 【分析】这是一道实际生活中出租车车费问题，分5km以内和5km以外，同时表示出的费用应该介于起步价和所付费用之间，从而建立不等式，求到解集中的x值． 【详解】解：设甲地到乙地的路程大约是xkm，据题意，得 ， 解得10＜x≤11， 即从甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 【题型11：其他问题】 52．绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． 53．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是多少？ 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，解一元一次不等式组．由第一次不停止，第二次停止，列一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得 解不等式得：， 解不等式得：， 所以的取值范围是． 54．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．85公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时55公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过300公斤时警示音响起，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到关系式．根据“大胖进入电梯后承载重量大于300公斤，小瘦进入电梯后承载重量小于300公斤”列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意，得 解得． 答：的取值范围是． 55．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 由题意得， 解得， 即应选用A种食品3包，B种食品2包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， ∴， ∴共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包． 56．数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车 (3)共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据（1）中式子先求出一列长度为的购物车列包含多少辆购物车，然后进一步计算即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放是长， 故答案为：； （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车， 因此由（1）可得， 解得， （辆）， 答：该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输14辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，5，6， 共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次． 【题型12：定义问题】 57．新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 58．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 59．定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过比较和2的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：①当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组无解； ②当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组的解集为， 综上可知，的取值范围为 【点睛】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式是解题的关键． 60．对于定义一种新运算“”：，其中为常数，已知： ． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，弄懂定义，将所求转化为恰当的不等式和二元一次方程组是解题的关键． （1）由已知建立方程组，求解即可； （2）由题意可得，解不等式即可． 【详解】（1）解： ， ， ，得：③， ，得：， 解得：， 把代入①，得； （2）， ， ， 解得：． 61．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据的定义，可得，求解即可； （2）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）解：分情况讨论： ①当，即时， ， 解得：； ②当，即时， ， 解得：， 综上，的取值范围是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次不等式重难点题型汇编 （十二大题型） 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................1 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................2 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................2 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】.................2 【题型6：解一元一次不等式组】................................................3 【题型7：分配问题】..........................................................4 【题型8：销售利润问题】......................................................5 【题型9：方案问题】..........................................................7 【题型10：阶梯问题】.........................................................9 【题型11：其他问题】.........................................................11 【题型12：定义问题】.........................................................13 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如果不等式的解集是，那么a必须满足___________． 3．当________时，不等式的解集为． 4．若不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 5．若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围________． 6．已知，不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为_____． 7．关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 8．已知关于x的不等式的正整数解只有2个，则a的取值范围是________． 9．已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为______． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 10．关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 11．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 12．若不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 13．已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是___________． 14．如果关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为________． 15．不等式组的整数解共有是5个，那么的取值范围是______． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 16．若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 17．若不等式组无解，则的取值范围是_____． 18．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 19．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 20．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 21．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 22．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 24．已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围是______________． 【题型6：解一元一次不等式组】 25． 解不等式组：． 26． 解不等式组： 27．解不等式组，请根据题意完成下列问题． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)该不等式组的解集为 ． 28．解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 29．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 30．琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为_____． 【题型7 分配问题】 31．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 32．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 33．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 34．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【题型8：销售利润问题】 35．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 36．车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 37．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 38．地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 (1)该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； (2)该个体户能够获得的最大利润是多少？ (3)若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 39．苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数） (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？ 40．某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 41．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【题型9：方案问题】 42．某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人／辆、28人／辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 43．某学校为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件作为奖品，两种挂件一共买个．其中“冰墩墩”挂件每个元，“雪容融”挂件每个元． (1)如果购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件共花费元，求两种挂件各购买了多少个？ (2)如果购买“冰墩墩”挂件的数量超过个，总费用又不超过元，那么该学校共有哪几种不同的购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少元？ 44．某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 45．海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 46．老友粉已入选广西非物质文化遗产名录．某便利店购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲种品牌老友粉比乙种品牌老友粉每袋进价少6元，购买2袋甲种品牌与3袋乙种品牌老友粉共需要 元． (1)求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价分别是多少元； (2)小李同学同时购买甲、乙两种品牌老友粉恰好用完元，那么他有哪几种购买方案？ (3)本次购进甲、乙两种品牌老友粉共袋，均按元出售，共获得利润不低于元，且甲种品牌老友粉不超过袋，若该批老友粉全部售完，有哪几种购买方案？该店应购进甲、乙两种品牌老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？ 47．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【题型10：阶梯问题】 48．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 49．为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 50．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）. 阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 a 二档 b 三档 0.82 (1)已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值； (2)六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？ 51．某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付费10元)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？ 【题型11：其他问题】 52．绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 53．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是多少？ 54．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．85公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时55公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过300公斤时警示音响起，求x的取值范围． 55．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 56．数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【题型12：定义问题】 57．新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 58．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 59．定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 60．对于定义一种新运算“”：，其中为常数，已知： ． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 61．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $