专题02 整式的乘法重难点题型汇编（七大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题02 整式的乘法重难点题型汇编 （七大题型） 【题型1：单项式乘单项式有关运算】..................................................................1 【题型2：单项式乘多项式有关运算】.................................................................1 【题型3：单项式乘多项式的应用】......................................................................2 【题型4：多项式乘多项式有关运算】..................................................................4 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】..............................................................5 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】...............................................................7 【题型7：已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................8 【题型1：单项式乘单项式有关运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 4．若，则___________. 5．一个三角形的底边长为，该底边上的高为，则这个三角形的面积为_______． 【题型2：单项式乘多项式有关运算】 6．计算：（　　） A． B． C． D． 7．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 8．一房屋的结构示意图如图所示（单位：），这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要地砖（   ） A． B． C． D． 9．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 10．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 11．小明在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是______． 12．若的展开式中不含项，则的值是______． 【题型3：单项式乘多项式的应用】 13．如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 14．为了优化宜居环境，某小区规划修建一个“”形广场，平面图形如图所示. (1)的长度可表示为_____； (2)求这个广场的周长； (3)若，时，则该广场的面积为_____ 15．如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式） 16．为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值． 【题型4：多项式乘多项式有关运算】 17．计算：． 18．计算： (1)． (2)． (3)． 19．化简：． 20．计算： 21．计算：． 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】 22．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 23．如图，一块长方形土地的长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积（结果要化简）； (2)若恒成立，求休息区域的面积． 24．如图，某江滩公园有一块长为米、宽为米的长方形地块，角上有两个边长均为米的小正方形，现要将阴影部分绿化． (1)用含有，的代数式表示需要绿化部分的总面积（结果需要化简）． (2)若，，求需要绿化部分的总面积． 25．如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】 26．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 27．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 28．新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 29．根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 30．观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到：__________ 【题型7：已知多项式乘积不含某项求字母的值】 31．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 32．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 33．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 34．已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法重难点题型汇编 （七大题型） 【题型1：单项式乘单项式有关运算】............................................................. 【题型2：单项式乘多项式有关运算】........................................................... 【题型3：单项式乘多项式的应用】.......................................................... 【题型4：多项式乘多项式有关运算】.......................................................... 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】.......................................................... 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】.......................................................... 【题型7：已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................ 【题型1：单项式乘单项式有关运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，即利用同底数幂的乘法即可求解，掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：D． 3．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘单项式的应用，根据长方形的面积列式，即可作答． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴ ∴它的面积为 故选：B 4．若，则___________. 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．一个三角形的底边长为，该底边上的高为，则这个三角形的面积为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的面积公式和单项式乘法的运用．根据三角形面积公式列式，再按照单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：此三角形的面积为， 故答案为：． 【题型2：单项式乘多项式有关运算】 6．计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选： C． 7．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；通过单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，即可解答． 【详解】解： ， 故选：D． 8．一房屋的结构示意图如图所示（单位：），这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要地砖（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式和单项式乘以多项式在几何图形中的应用，根据长方形面积公式分别求出厨房，客厅，卫生间的面积，再把三者的面积求和即可得到答案． 【详解】解： ， ∴至少需要地砖， 故选：A． 9．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 10．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 11．小明在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是______． 【答案】 【分析】由题意可得，，从而可求解得． 本题主要考查了整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 12．若的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型3：单项式乘多项式的应用】 13．如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式的应用，利用面积的计算列出代数式是解决问题的关键． （1）根据图形表示出绿地面积即可； （2）将的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题图可知，绿地面积 （2）当时，． 14．为了优化宜居环境，某小区规划修建一个“”形广场，平面图形如图所示. (1)的长度可表示为_____； (2)求这个广场的周长； (3)若，时，则该广场的面积为_____ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）计算即可求解； （3）根据计算出广场的面积，再代值计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：， 答：这个广场的周长为 （3）解：广场的面积为：， 当，时， ， 故答案为： 15．如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式） 【答案】小路的面积共有平方米． 【分析】根据小路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． 【详解】解：小路的面积 （平方米）． 答：小路的面积共有平方米． 【点睛】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则． 16．为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值． 【答案】(1)周长，面积 (2)840000元 【分析】（1）所有的边数之和即是广场的周长；求出大长方形的面积，再减去空白部分的面积即可求出广场的面积； （2）代入求值得出阴影部分面积，总面积乘以每平米费用即可得出总费用． 【详解】（1）根据题意有， 解：广场的周长：， 广场的面积：； ∴； （2）解：当米，米时， （平方米）， （元）， ∴修建广场的总费用W的值为840000元． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，单项式与多项式的乘法，以及代数式求值知识点，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． 【题型4：多项式乘多项式有关运算】 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式是解题的关键． 根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用多项式乘多项式的法则即可解答； （2）先提取第二个多项式中的负号，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，最后去括号即可解答； （3）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 19．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 20．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】 ． 21．计算：． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握多项式乘多项式法则是解题关键． 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】 22．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)20130元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式即可求解； （2）代入的值求出铺设塑胶跑道区域的面积，再乘以110元，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， ， （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元． 23．如图，一块长方形土地的长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积（结果要化简）； (2)若恒成立，求休息区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算（多项式乘多项式、整式的加减）及等式恒成立的条件，解题关键是通过 “长方形面积减去花坛面积” 表示休息区面积，再利用等式恒成立求出参数值代入计算． （1）先分别计算长方形土地的面积和花坛的面积，再用土地面积减去花坛面积，化简得到休息区面积的代数式． （2）将等式右边化简，根据“等式恒成立则对应项系数相等”求出的值，代入（1）中化简后的休息区面积代数式计算结果． 【详解】（1）解：休息区域的面积为， 平方米． （2）解：， ， ， ∴，， 解得，， ∴， 休息区域的面积平方米． 24．如图，某江滩公园有一块长为米、宽为米的长方形地块，角上有两个边长均为米的小正方形，现要将阴影部分绿化． (1)用含有，的代数式表示需要绿化部分的总面积（结果需要化简）． (2)若，，求需要绿化部分的总面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，求代数式的值，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据“需要绿化部分的总面积长方形的面积个小正方形的面积”列式，然后利用多项式乘以多项式以及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得解； （2）将、值代入（1）中所求式子即可得出需要绿化部分的总面积． 【详解】（1）解：由图可知，需要绿化部分的总面积： 平方米， 答：需要绿化部分的总面积为平方米． （2）解：当，时， 原式 （平方米）． 答：需要绿化部分的总面积为平方米． 25．如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 【答案】(1)观景台的面积为平方米 (2)修建观景台的费用为32600元 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：观景台的面积． 答：观景台的面积为平方米． （2）解：当，时， 修建观景台的费用为：（元）． 答：修建观景台的费用为32600元． 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】 26．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 27．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 28．新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 29．根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用规律探究求值，找出规律，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 30．观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到：__________ 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法相关的规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键． 根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为，公式左边的第二项为x的n次幂开始降次排序，系数都为1，公式右边为问题得解． 【详解】解： … ∴， 故答案为：． 【题型7：已知多项式乘积不含某项求字母的值】 31．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 32．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 33．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出的值； （2）先将原式进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． 由题意可知，， ． （2）解： ． ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 34．已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）根据整式的运算法则进行化简后即可求出答案； （2）将m与n代入进行计算即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含项和常数项， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $