第05讲 余弦定理、正弦定理（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦高中数学余弦定理、正弦定理核心知识点，系统梳理定理定义、推论及解三角形应用，涵盖两边及一角、三边等类型，衔接边角互化、形状判断及面积公式，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过8类题型及变式训练，结合几何图形分析解的个数，培养学生推理能力与几何直观，体现数学思维与眼光。课中辅助分层教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

第05讲 余弦定理、正弦定理 【人教A版】 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由余弦定理计算求解即可. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由三边大小关系判断最大角与最小角，利用余弦定理求出第三角，由内角和即得. 【解答过程】因，即角与角分别为的最大角与最小角， 由余弦定理，， 因，则，故. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【解答过程】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 【变式1.3】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】先利用余弦定理求出角，再结合角平分线定理求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 即， 由余弦定理得：， 又，所以， 在中，因为为角的平分线，， 由角平分线定理得：， 设，则， 由余弦定理：， 即，解得：， 所以，即， 故选：A. 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，代入计算即可得到，再由同角的平方关系即可得到结果. 【解答过程】因为，所以， 整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可. 【解答过程】因为， 根据余弦定理得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【解答过程】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B. 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型3 正弦定理解三角形】 【例3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【解答过程】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【变式3.1】（2025·广西·模拟预测）在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据正弦定理求出，然后根据正弦定理求出. 【解答过程】由题意，根据正弦定理得 ，解得，而为三角形内角， 所以，所以. 根据正弦定理，解得. 故选：D. 【变式3.2】（2025·四川成都·模拟预测）在三角形中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若，求边的长． 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据正弦定理进行边角互化，化简可得，结合可得； （2）由正弦和角公式可得，再由正弦定理求边长即可． 【解答过程】（1）由已知， 根据正弦定理可知，即， 又，， 则，即， 又， 所以； （2）由（1）得，， 又，， ， 由正弦定理得，即， 解得． 【变式3.3】（2025·江苏·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求A； (2)若，求b的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，由正弦定理，求得，得到，在直角中，利用勾股定理，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为，由正弦定理得， 即， 即 即， 所以， 又因为为三角形的内角，可得，所以， 因为，所以，所以. （2）解：由（1）知，且， 根据正弦定理知，可得， 因为，所以，所以为直角三角形， 所以. 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 【例4】（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助正弦定理计算即可得. 【解答过程】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得. 【解答过程】在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由锐角三角形先求得，进而根据正弦定理边角互化求解即可. 【解答过程】因为锐角中， 所以， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，即的范围为 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【解答过程】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【解答过程】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【解答过程】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 【变式5.3】（24-25高一下·福建三明·期中）在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】在中利用正弦定理得，再结合即可求出. 【解答过程】在中利用正弦定理，得， 因，且满足条件的三角形有且只有两个，则且， 则，即，得， 则边的取值范围为. 故答案为：. 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 【例6】（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【解答过程】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 【变式6.1】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【解答过程】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【解答过程】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 【变式6.3】（24-25高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】B 【解题思路】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项. 【解答过程】对于A:因为由正弦定理, 当时，是钝角三角形, 当时，是钝角三角形,A选项错误； 对于B:因为,由, 所以是直角三角形,B选项正确； 对于C:因为,由 当时，,是锐角三角形,C选项错误； 对于D:因为,由,,, 因为，所以不是等腰三角形,D选项错误； 故选：B. 【题型7 三角形面积公式的应用】 【例7】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【解答过程】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【解答过程】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高一下·湖北·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理角化边，得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，由三角形面积公式即可求解． 【解答过程】由题意，在中， 由正弦定理可得， 又B为的内角， ， 的面积， 故选：D． 【变式7.3】（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可. 【解答过程】在中， 又∵，∴ 故 ， ∵,∴, 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 【题型8 正、余弦定理和三角形面积公式综合】 【例8】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高三上·江苏盐城·月考）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【解答过程】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 【变式8.2】（24-25高一下·重庆·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． （2）根据余弦定理得，即， 解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得， ∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积最大值为. 【变式8.3】（24-25高一下·山东聊城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C； (2)若的边c上的高等于. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）根据正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再结合余弦定理可得，结合为三角形内角，可得. （2）（i）先根据条件，结合三角形的面积公式，可求，再结合，可求的值. （ii）利用余弦定理，结合基本不等式，求出的最小值，再结合三角形的面积公式，可求三角形面积的最小值. 【解答过程】（1）由得 在中，由正弦定理得， 即，所以 因为，所以. （2）（i）由（1）知，因为的边c上的高等于，且， 所以的面积，所以， 因为在中，，即 所以， 又中， 所以. （ii）由（1）及（i）知，， 在中，由余弦定理得 所以· 因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立. 所 即面积的最小值为. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【解答过程】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【解答过程】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理角化边题设条件即可求解. 【解答过程】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】由正弦定理求解即可. 【解答过程】设外接圆半径为. 由正弦定理可得，， 所以，，. 所以. 故选：C. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先应用余弦定理得出边长，再应用同角三角函数关系得出正弦值，最后应用正弦定理得出外接圆直径即可. 【解答过程】设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为， 则由余弦定理得， ，． 由，得． ． 故选：B. 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知三角形中，点在边上，平分∠，且，若，则=（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】先利用题干中的面积关系，得到，再利用余弦定理建立方程，与之联立求解即可. 【解答过程】中，点在边上，， 则， 又平分∠，，， 又由，和的高相同，设为， 则，， 又，， 在中，由余弦定理，； 在中，由余弦定理，， ，， 即，化简得， 把代入，计算即得. 故选：C. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【解答过程】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 8．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【解答过程】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由条件通过配方得到，再结合余弦定理即可求解. 【解答过程】由， 即， 所以， 或. 故选：AC. 10．（2026高一·全国·专题练习）（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【答案】ACD 【解题思路】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【解答过程】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高三上·湖北·期中）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解题思路】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【解答过程】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】由题意结合大边对大角，可得角为钝角，即，由余弦定理结合两边之和大于第三边，即可求解. 【解答过程】因为，且为钝角三角形，所以角为钝角． 由余弦定理的推论，得． 因为，，所以， 即，解得， 由三角形的任意两边之和大于第三边，得，所以． 所以满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 13．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在中，已知，则的形状是____________． 【答案】等腰三角形 【解题思路】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解. 【解答过程】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形. 14．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为____________． 【答案】 【解题思路】由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解. 【解答过程】由题意，即，因为，所以. 由余弦定理可知， 因为，所以，代入解得， 此时，所以为直角三角形， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求即可． 【解答过程】（1）由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． （2）在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由正弦定理进行边化角，利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理得解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解. 【解答过程】（1）由已知及正弦定理得， 即． 故，又，所以， 所以，所以． （2）由已知，又，所以， 由已知及余弦定理得， 故，所以， 所以的周长为. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得. （2）在中分别利用正弦定理，再结合已知求出. 【解答过程】（1）在中，，，， 由正弦定理，得，所以. （2）在中，，而，， 则，又，因此， 在中，， 所以. 18．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【解题思路】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【解答过程】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 19．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 【答案】(1)或 (2)直角三角形 (3) 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，化简可求的值，进而求出角； （2）由题意求得或，结合勾股定理即可得解； （3）根据余弦定理可求出的取值范围，进而求面积的取值范围. 【解答过程】（1） ， 即 又，即得 又或； （2）由题意， 因为， 所以，解得， 又因为， 所以或，因为，， 所以是以为直角的直角三角形； （3）角为钝角，， 由余弦定理得：， 角为钝角，，即， . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 余弦定理、正弦定理 【人教A版】 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1.3】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式2.3】（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型3 正弦定理解三角形】 【例3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式3.1】（2025·广西·模拟预测）在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025·四川成都·模拟预测）在三角形中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若，求边的长． 【变式3.3】（2025·江苏·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求A； (2)若，求b的大小． 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 【例4】（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是____________. 【变式5.3】（24-25高一下·福建三明·期中）在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为___________. 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 【例6】（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式6.1】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6.2】（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6.3】（24-25高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【题型7 三角形面积公式的应用】 【例7】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·湖北·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（    ） A．1 B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型8 正、余弦定理和三角形面积公式综合】 【例8】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高三上·江苏盐城·月考）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一下·重庆·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【变式8.3】（24-25高一下·山东聊城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C； (2)若的边c上的高等于. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最小值. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知三角形中，点在边上，平分∠，且，若，则=（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 8．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为（ ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高一·全国·专题练习）（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 11．（25-26高三上·湖北·期中）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为____________． 13．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在中，已知，则的形状是____________． 14．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为____________． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 18．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 19．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $