专题8.1 直线与圆综合（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题8.1 直线与圆综合（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、直线与圆综合 直线与圆是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等问题，多以选择题或填空题的形式考查；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 直线和圆的方程 新高考I卷：第6题，5分 新高考Ⅱ卷：第15题，5分 全国乙卷（文数）：第11题，5分 新课标Ⅱ卷：第5题，5分 全国甲卷（文数）：第10题，5分 全国甲卷（理数）：第12题，5分 全国一卷：第7题，5分 天津卷：第12题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，直线和圆的方程的考情将继续维持稳定态势。直线与圆的位置关系、圆的弦长问题依旧是考查核心，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右，难度中等偏易；核心考点聚焦直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，侧重考查数学运算能力和数形结合思想，要学会灵活求解。 知识点1 直线的方程 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点2 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为. 知识点3 圆的方程 1．求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 2．求圆的轨迹方程的步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 知识点4 直线与圆的位置关系 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程 求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. 知识点5 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 2．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 3．求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 知识点6 与圆有关的最值问题的解题策略 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【方法技巧与总结】 1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为. 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 3．圆与圆的位置关系的常用结论 两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. 【题型1 直线的方程】 【例1】（2026·浙江·一模）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出斜率，再结合倾斜角的范围得出倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（2025·山东济南·一模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【解题思路】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【解答过程】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 【变式1-2】（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用题目条件计算出旋转后的直线斜率，再利用点斜式列出方程. 【解答过程】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为． 故选：A. 【变式1-3】（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【解答过程】将变形为， 故两直线的距离为， 故选：B. 【题型2 圆的方程】 【例2】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解题思路】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【解答过程】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【解题思路】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【解答过程】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B. 【变式2-2】（2026·广西·模拟预测）已知直线平分圆的面积，则（   ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】先依据圆的一般方程求出圆心坐标，进而代入直线方程求解即可. 【解答过程】由题意得圆的圆心为， 因为直线平分圆的面积， 所以直线必过圆心， 则，即，故A正确. 故选：A. 【变式2-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【解答过程】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 【题型3 直线与圆的位置关系】 【例3】（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可. 【解答过程】圆可化为，则圆心，半径， 由题意可知，过点的直线与圆相交， 当直线的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意； 故直线的斜率存在，设，即， 则，即，得， 故直线斜率的取值范围是. 故选：C. 【变式3-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系可知，然后解不等式可得的取值范围. 【解答过程】由题意可得：圆心为，半径，且直线过定点， 因为圆上有且仅有2个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离满足， ，结合，解得， 故选： D. 【变式3-2】（2026·江西萍乡·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】先分析曲线图形，联立直线与曲线方程，计算得到参数最大值； 【解答过程】由已知，，变形可得， 所以，曲线：表示单位圆的右半部分， 直线过定点，且斜率为， 要求直线与曲线有交点，需联立方程并保证解满足， 联立，消元整理得， 该方程为关于的一元二次方程，开口向上， 设根为，由韦达定理：， 若，则两根异号或有一个根为，此时存在非负根， 由得：； 若，则且，两根均为负根，不符合条件； 当时，直线过曲线右半部分的端点， 代入得（符合），此时为唯一符合条件的交点； 故的最大值为. 故选：C. 【变式3-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【解答过程】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 【题型4 圆的弦长问题】 【例4】（2026·浙江·模拟预测）已知点在圆上，直线的斜率为（是原点），则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用圆的弦长公式、点到直线的距离公式求解. 【解答过程】依题意，直线的方程为，圆的圆心为，半径， 点到直线的距离，显然点在圆上， 所以. 故选：B. 【变式4-1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【解答过程】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-2】（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，若直线OA截以AB为直径的圆所得的弦长为1，则实数（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】D 【解题思路】先确定以为直径的圆的圆心和半径，再利用垂径定理建立弦长、弦心距与半径的关系，最后通过点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】根据题意，以为直径的圆，圆心为的中点， 半径. 又直线截圆所得弦长为，则弦心距满足. 而弦心距等于点到直线的距离，直线的方程为， 所以. 因此，整理得，解得 故选：D. 【变式4-3】（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【解答过程】因为圆，圆心，半径， 直线过定点， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 【题型5 圆的切线有关问题】 【例5】（2025·重庆·模拟预测）已知圆，直线与圆相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆心到直线的距离等于半径求解. 【解答过程】已知圆，圆心， 直线，即, 由于直线与圆相切，则，则. 故选：C. 【变式5-1】（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，结合二倍角公式可得的值． 【解答过程】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D. 【变式5-2】（2025·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【解答过程】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 【变式5-3】（2026·江苏镇江·模拟预测）由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D．7 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到，求得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的性质，即可求解. 【解答过程】由圆，可得圆心，半径， 又由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形， 所以，可得， 所以点的轨迹方程为， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由，所以的最大值为. 故选：D. 【题型6 直线与圆中的面积问题】 【例6】（2026·安徽淮北·一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角形的面积得到是等腰直角三角形，进而求出圆心到直线的距离，与选项中的点到圆心距离进行比较即可. 【解答过程】圆的半径. ， 所以，，所以是等腰直角三角形， 此时弦的长度为， . 选项A：，不符合条件. 选项B：，不符合条件. 选项C：，不符合条件. 选项D：，符合条件. 故选：D. 【变式6-1】（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解题思路】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【解答过程】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 【变式6-2】（2026·广东肇庆·二模）已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】方法一：由三角形面积公式可得当时，的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解；方法二：利用弦心距公式求出弦长，得出面积的表达式，得出最大值，从而得出答案；方法三：利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，得出最大值，从而得出答案. 【解答过程】方法一： 因为， 所以当，即时，的面积最大， 此时是等腰直角三角形， 点到直线的距离为． 方法二： 设点到直线的距离为， 则， 因为与圆相交，且不经过点，所以， 所以当时，取最大值，即取最大值， 此时， 即点到直线的距离为． 方法三： 设点到直线的距离为． 则， 联立 化简，得， 则， 因为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值， 此时． 故选：D. 【变式6-3】（2025·浙江·一模）已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出圆心到直线的距离，得到点到直线的距离的取值范围，由，得到的范围. 【解答过程】圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的取值范围为， 由，得到. 故选：B. 【题型7 圆与圆的位置关系】 【例7】（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两圆相交的性质直接得出. 【解答过程】由题意知：圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 所以， 解得：. 故选：D. 【变式7-1】（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断两圆位置关系，再根据几何性质可得为的中点，故可求交点坐标. 【解答过程】， 故圆的半径为，圆的半径为，且， 故圆心距为，而， 故两圆相交，故两圆有两条外公切线，    设一条公切线与两圆的切点分别为，两条切线的交点为， 连接，则，故， 由几何性质可得共线，故， 故为的中点，故， 故选：C. 【变式7-2】（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【解答过程】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选：.    【变式7-3】（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或. 故选：D. 【题型8 直线与圆中的最值问题】 【例8】（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【解答过程】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式8-1】（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定圆心的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离最大值. 【解答过程】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 【变式8-2】（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据当直线与此圆相切时，的值最大，算出此时的，，，利用直角三角形的角的正切公式，算出最大正切值即可. 【解答过程】因为点是圆上的任意点， 当直线与此圆相切时，的值最大，又，， 则，则. 故选：C． 【变式8-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】由题意可知，从而得到点的轨迹为是以为直径的圆（去掉A，C两点），再根据圆外一点到圆上距离最大值即为圆外一点与圆心距离加上半径即可求解. 【解答过程】如图，圆的圆心为，半径为，则圆与y轴相切，切点为原点O，即为A， 又M为的中点，则，所以点M的轨迹是以为直径的圆（去掉A，C两点）， 其中圆心为，半径为1， 又，所以. 故选：C. 考点一 直线和圆的方程 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【解答过程】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解题思路】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【解答过程】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【解答过程】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解题思路】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【解答过程】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【解答过程】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【解题思路】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【解答过程】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 二、填空题 7．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则___________． 【答案】2 【解题思路】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【解答过程】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值___________． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解题思路】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【解答过程】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 直线与圆综合（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、直线与圆综合 直线与圆是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等问题，多以选择题或填空题的形式考查；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 直线和圆的方程 新高考I卷：第6题，5分 新高考Ⅱ卷：第15题，5分 全国乙卷（文数）：第11题，5分 新课标Ⅱ卷：第5题，5分 全国甲卷（文数）：第10题，5分 全国甲卷（理数）：第12题，5分 全国一卷：第7题，5分 天津卷：第12题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，直线和圆的方程的考情将继续维持稳定态势。直线与圆的位置关系、圆的弦长问题依旧是考查核心，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右，难度中等偏易；核心考点聚焦直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，侧重考查数学运算能力和数形结合思想，要学会灵活求解。 知识点1 直线的方程 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点2 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为. 知识点3 圆的方程 1．求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 2．求圆的轨迹方程的步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 知识点4 直线与圆的位置关系 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程 求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. 知识点5 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 2．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 3．求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 知识点6 与圆有关的最值问题的解题策略 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【方法技巧与总结】 1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为. 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 3．圆与圆的位置关系的常用结论 两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. 【题型1 直线的方程】 【例1】（2026·浙江·一模）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东济南·一模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【变式1-2】（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型2 圆的方程】 【例2】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式2-1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【变式2-2】（2026·广西·模拟预测）已知直线平分圆的面积，则（   ） A．0 B． C．2 D．1 【变式2-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 直线与圆的位置关系】 【例3】（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·江西萍乡·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 圆的弦长问题】 【例4】（2026·浙江·模拟预测）已知点在圆上，直线的斜率为（是原点），则（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，若直线OA截以AB为直径的圆所得的弦长为1，则实数（    ） A． B． C．1或 D．或 【变式4-3】（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 圆的切线有关问题】 【例5】（2025·重庆·模拟预测）已知圆，直线与圆相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-1】（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（2026·江苏镇江·模拟预测）由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D．7 【题型6 直线与圆中的面积问题】 【例6】（2026·安徽淮北·一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【变式6-2】（2026·广东肇庆·二模）已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·浙江·一模）已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 圆与圆的位置关系】 【例7】（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【题型8 直线与圆中的最值问题】 【例8】（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点一 直线和圆的方程 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 二、填空题 7．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则___________． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $