专题1.3 不等式与复数（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式与复数核心考点，按不等式性质、基本不等式、一元二次不等式及复数概念、运算、几何意义的逻辑层次梳理知识，通过命题规律分析、知识点精讲、题型分类突破（含例题与变式）、高考真题训练四环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用“举一反三”分层教学策略，如基本不等式最值问题通过配凑法、常数代换法指导培养数学思维，复数几何意义结合复平面训练提升数学眼光。设置基础到综合的变式题与真题，保障复习实效，助力学生高效掌握高频考点，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

专题1.3 不等式与复数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、不等式 不等式是每年高考的重要内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。 2、复数 复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一。从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，题型为单选题或填空题（多位于前2题），分值5分，试题难度较低，以基础题为主，主要考查复数的概念、运算及其几何意义。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 不等式 I卷：第1题，5分 全国二卷：第4题，5分 北京卷：第6题，4分 天津卷：第15题，5分 上海卷：第2题，4分 上海卷：第8题，5分 复数 I卷：第2题，5分 Ⅱ卷：第1题，5分 新课标I卷：第2题，5分 新课标Ⅱ卷：第1题，5分 全国甲卷（文数）：第1题，5分 全国甲卷（理数）：第1题，5分 全国一卷：第1题，5分 全国二卷：第2题，5分 北京卷：第2题，4分 天津卷：第10题，5分 上海卷：第10题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，不等式与复数的考情将继续维持稳定态势。不等式依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查基本不等式求最值、不等式的求解，或与基础知识点（如：集合、常用逻辑用语等）相结合考查，难度不大。 预测复数仍以选择题的考查形式为主，分值为5分，主要考查复数的概念、几何意义、模长以及复数的四则运算，是基础题。 不等式与复数二者都是易得分的基础模块，二轮复习备考时要加强对基础知识的掌握，做到简单题不丢分。 知识点1 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点2 基本不等式 1. 基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 知识点3 一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 知识点4 复数有关问题及其解题策略 1．复数的概念的有关问题的解题策略 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即. (3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则. 2．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数. 3．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 4．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型1 不等式的性质及其应用】 【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【解答过程】因为，且，若，则，故A不正确； 若，则，故B不正确； 因为，且，所以，故C正确； 若，则，故D不正确. 故选：C. 【变式1-1】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故， 故选：D. 【变式1-2】（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【解答过程】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A. 【变式1-3】（2025·四川绵阳·一模）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误. 【解答过程】当且，则，，A、B错， 由题设，则，且，C错，D对. 故选：D. 【题型2 利用基本不等式求最值】 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】利用1的代换，结合基本不等式可求最小值. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：B. 【变式2-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解题思路】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【解答过程】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 【变式2-2】（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据，得，利用基本不等式求得其最小值. 【解答过程】由，，且，得. 当且仅当，即，即，或时，等号成立. 所以，当，或时，取得最小值，最小值为4. 故选：A. 【变式2-3】（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解题思路】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【解答过程】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 【例3】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式3-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式3-2】（2025·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型4 解常见的不等式】 【例4】（2025·河南·模拟预测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】由题意可得，为方程的根， 由韦达定理可得，解得，故 . 故选：A. 【变式4-1】（2025·陕西西安·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】解不等式求得集合，进而利用补集，交集的意义求解即可. 【解答过程】因为，所以或， 又，则或. 故选：D. 【变式4-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分式不等式的解法求解. 【解答过程】由，得，即， 转化为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式4-3】（2025·浙江·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出，再代入并将不等式转化为不等式组求解. 【解答过程】由不等式的解集为，得是方程的二根， 则，不等式化为， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：D. 【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】 【例5】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【变式5-1】（2025·广东江门·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得. 【解答过程】命题“”的否定是“”， 则“”是真命题， 则有，解得. 故选：C. 【变式5-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由判别式即可求解. 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A. 【变式5-3】（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由不等式的解集为可得，即可求解. 【解答过程】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【题型6 复数的四则运算】 【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】由共轭复数定义结合复数乘法可得答案. 【解答过程】因，则，. 故选：B. 【变式6-1】（2025·浙江温州·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【解答过程】因为，则， 故选：D. 【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过复数的除法运算求出复数,再根据复数的模的计算公式求出. 【解答过程】复数z满足， 得， . 故选：B. 【变式6-3】（2025·安徽·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数的四则运算法则和模的计算公式求解. 【解答过程】由得， 所以， 所以， 故选：C. 【题型7 复数的几何意义】 【例7】（2025·四川内江·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】利用复数的四则运算将化成，再根据复数的几何意义，即得其对应的点所在的象限. 【解答过程】由， 故该复数对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得，根据复数的几何意义，即可得答案. 【解答过程】由题意得，，所以， 在复平面内对应的点为，故该点在第三象限． 故选：C. 【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数. 【解答过程】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 【变式7-3】（2025·广东·模拟预测）设，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数的除法运算和共轭复数的概念求解出，由此可知结果. 【解答过程】因为，故，其在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【题型8 与复数有关的最值问题】 【例8】（2025·广东广州·模拟预测）复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据复数的模的几何意义可得复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆即可求解. 【解答过程】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选：C. 【变式8-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【解答过程】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A. 【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数加减的几何意义可确定最大值. 【解答过程】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. 【变式8-3】（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【解答过程】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 考点一 不等式 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【解答过程】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断. 【解答过程】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【解答过程】方法一：因为，而， 所以 ． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ． 故选：C． 二、填空题 4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】转化为一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 5．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【解题思路】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解答过程】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4. 6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【解答过程】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为：. 7．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】求出方程的解后可求不等式的解集. 【解答过程】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【解答过程】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 考点二 复数 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由复数除法即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：A. 2．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【解答过程】由可得，，所以， 故选：B. 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【解答过程】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：C. 5．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案. 【解答过程】由题意得. 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【解答过程】依题意得，，故. 故选：D. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【解答过程】由，则. 故选：A. 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可. 【解答过程】若，则. 故选：C. 二、填空题 9．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【解题思路】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【解答过程】先由题得，所以. 故答案为：. 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【解答过程】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为：. 11．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【解题思路】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【解答过程】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 12．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【解答过程】. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 不等式与复数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、不等式 不等式是每年高考的重要内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。 2、复数 复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一。从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，题型为单选题或填空题（多位于前2题），分值5分，试题难度较低，以基础题为主，主要考查复数的概念、运算及其几何意义。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 不等式 I卷：第1题，5分 全国二卷：第4题，5分 北京卷：第6题，4分 天津卷：第15题，5分 上海卷：第2题，4分 上海卷：第8题，5分 复数 I卷：第2题，5分 Ⅱ卷：第1题，5分 新课标I卷：第2题，5分 新课标Ⅱ卷：第1题，5分 全国甲卷（文数）：第1题，5分 全国甲卷（理数）：第1题，5分 全国一卷：第1题，5分 全国二卷：第2题，5分 北京卷：第2题，4分 天津卷：第10题，5分 上海卷：第10题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，不等式与复数的考情将继续维持稳定态势。不等式依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查基本不等式求最值、不等式的求解，或与基础知识点（如：集合、常用逻辑用语等）相结合考查，难度不大。 预测复数仍以选择题的考查形式为主，分值为5分，主要考查复数的概念、几何意义、模长以及复数的四则运算，是基础题。 不等式与复数二者都是易得分的基础模块，二轮复习备考时要加强对基础知识的掌握，做到简单题不丢分。 知识点1 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点2 基本不等式 1. 基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 知识点3 一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 知识点4 复数有关问题及其解题策略 1．复数的概念的有关问题的解题策略 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即. (3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则. 2．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数. 3．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 4．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型1 不等式的性质及其应用】 【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川绵阳·一模）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用基本不等式求最值】 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【变式2-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【变式2-2】（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 【变式2-3】（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 【例3】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式3-3】（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型4 解常见的不等式】 【例4】（2025·河南·模拟预测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西西安·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·浙江·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】 【例5】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·广东江门·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 复数的四则运算】 【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】（2025·浙江温州·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·安徽·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【题型7 复数的几何意义】 【例7】（2025·四川内江·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·广东·模拟预测）设，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型8 与复数有关的最值问题】 【例8】（2025·广东广州·模拟预测）复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 考点一 不等式 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 5．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 . 7．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 考点二 复数 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 二、填空题 9．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 11．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 12．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $