专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性、奇偶性、对称性与周期性等核心考点，按知识点逻辑分层梳理定义、判定方法及结论，通过命题规律分析、题型分类讲解、真题实战演练的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破高考高频难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层题型训练与核心素养导向设计，如梳理周期性与对称性结论培养学生推理意识，通过9大题型例题与变式题提升数学思维能力。设置基础到综合的真题练习，配合即时反馈，助力学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 函数的性质是历年高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的性质 I卷：第4题，5分 I卷：第11题，5分 Ⅱ卷：第4题，5分 新课标I卷：第6题，5分 新课标Ⅱ卷：第8题，5分 全国一卷：第5题，5分 全国二卷：第10题，6分 天津卷：第3题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查，分值占比固定。命题形式延续函数多性质综合的考查特点，常与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想进行求解，难度中等。 知识点1 函数的单调性 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 知识点2 函数的最值的求法 1．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 知识点3 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 知识点4 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【变式1-3】（2025·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数的最值问题】 【例3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-2】（2025·山东·模拟预测）已知函数，若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-3】（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 【例4】（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【变式4-1】（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】 【例5】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【题型6 函数的周期性】 【例6】（2025·四川凉山·一模）已知是定义在上的函数，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·广西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式6-2】（2025·广东梅州·模拟预测）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【变式6-3】（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【题型7 函数的对称性】 【例7】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【变式7-1】（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 【变式7-2】（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【变式7-3】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【题型8 函数的图象问题】 【例8】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】 【例9】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式9-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·湖北·模拟预测）已知函数和它的导函数的定义域均为，且，为奇函数．若，则（   ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 考点一 函数的单调性与奇偶性 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 三、填空题 7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 四、解答题 9．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 10．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 考点二 函数的对称性与周期性 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、解答题 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 函数的性质是历年高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的性质 I卷：第4题，5分 I卷：第11题，5分 Ⅱ卷：第4题，5分 新课标I卷：第6题，5分 新课标Ⅱ卷：第8题，5分 全国一卷：第5题，5分 全国二卷：第10题，6分 天津卷：第3题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查，分值占比固定。命题形式延续函数多性质综合的考查特点，常与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想进行求解，难度中等。 知识点1 函数的单调性 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 知识点2 函数的最值的求法 1．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 知识点3 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 知识点4 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【解答过程】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【变式1-2】（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【解答过程】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A. 【变式1-3】（2025·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】C 【解题思路】根据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质判断C正确；由反比例函数的形式确定D错误. 【解答过程】因为是奇函数，且在区间上单调递增， 所以在上也为单调递增函数， 对于A：不妨令，， 所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令，， 所以在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：，其定义域为， 又，所以是奇函数， 取，则，，故 所以，则函数在为递增函数； 所以函数在也为递增函数，且当时，， 所以在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令，， 由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误； 故选：C. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式2-2】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【解答过程】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C. 【变式2-3】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【解答过程】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 【题型3 函数的最值问题】 【例3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】先利用换元法求出的解析式，再利用定义法求证在上的单调性即可求出. 【解答过程】，令，则， 则， 且，则 因，则，则， 又，则，即， 则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断. 【解答过程】先判断充分性：若函数在的最小值为3， 则“，”成立，但“在上的最小值为2”不成立， 所以“，”不是“在上的最小值为2”的充分条件. 再判断必要性：“在上的最小值为2”时，可得“，”成立， 所以“，”是“在上的最小值为2”的必要条件. 综上：“，”是“在上的最小值为2”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-2】（2025·山东·模拟预测）已知函数，若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】先求出并利用条件将其化成关于的函数解析式，结合其特点，设，，将其简化成关于的解析式，利用对勾函数的单调性即可求得其最小值. 【解答过程】因，，，则， 故 ， 设，由，可得， 则有， 因函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号，解得， 故当时，取得最小值为. 故选：D. 【变式3-3】（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值. 【解答过程】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C. 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 【例4】（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定答案. 【解答过程】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：C. 【变式4-1】（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】因为，故的定义域为. 选项A：， ， ，所以不是偶函数，故A错误； 选项B：，， ，所以不是偶函数，故B错误； 选项C：， ， ，所以为偶函数，故C正确； 选项D：， ， ，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【解答过程】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C. 【变式4-3】（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【解题思路】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】 【例5】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【解答过程】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D. 【变式5-1】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D. 【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【解答过程】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A. 【变式5-3】（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【解题思路】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【解答过程】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 【题型6 函数的周期性】 【例6】（2025·四川凉山·一模）已知是定义在上的函数，．当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析函数的周期性，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值. 【解答过程】依题意函数满足，可得，即函数的周期为， 因此， 当时，，由，且，得， 因此. 故选：B. 【变式6-1】（2025·广西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据已知可得得，结合奇函数性质得，即可得. 【解答过程】由已知可得，函数为R上的奇函数，且周期. 则，又， 所以，则. 故选：A. 【变式6-2】（2025·广东梅州·模拟预测）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性和周期可得，再利用解析式即可求解. 【解答过程】是定义在上且周期为2的奇函数， ， 当时，，， . 故选：B. 【变式6-3】（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【解答过程】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【题型7 函数的对称性】 【例7】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【解答过程】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C. 【变式7-1】（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 【答案】B 【解题思路】根据的图象关于直线对称，可得，再根据可转化得为奇函数，从而得函数的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论. 【解答过程】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则， 由，可得， 又，得， 所以， 即，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，函数的周期为4； 由可得， 又因为，所以， 根据函数的性质，得 所以． 故选：B. 【变式7-2】（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【答案】D 【解题思路】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项 【解答过程】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D. 【变式7-3】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解. 【解答过程】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A. 【题型8 函数的图象问题】 【例8】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【解答过程】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 【变式8-1】（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D 【解答过程】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C. 【变式8-2】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 【变式8-3】（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【解答过程】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】 【例9】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解． 【解答过程】因为为奇函数、则，则， 可知的图象关于点对称、可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数且定义域为R，则，可得， 可知的周期为4，所以，． 所以． 故选：C． 【变式9-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解. 【解答过程】设， 对于A，，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以是偶函数， 若，则，c是常数，的定义域为，且，所以也是偶函数，故A正确； 对于B，若，则，c是常数，所以不成立，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，若，则，c是常数，所以不成立，故D错误. 故选：A. 【变式9-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在上单调递增，所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又因为，则 .① 在①式中令，可得，故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得，所以， 所以，即. 故选：C. 【变式9-3】（2025·湖北·模拟预测）已知函数和它的导函数的定义域均为，且，为奇函数．若，则（   ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 【答案】C 【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数关于中心对称，，得出函数的规律，分别求出为整数是函数的值，求出前2025项的和即可. 【解答过程】，，即关于中心对称， 为奇函数，且定义域为, 关于所中心对称，根据换元法则有关于中心对称， 则关于直线轴对称，则有， 可知,作差得，换元得 再作差，化简得， 即，函数周期为4. 当时，，解得， 当时，，解得， 由，可知，结合 可知，又， 故， 故选：C. 考点一 函数的单调性与奇偶性 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【解答过程】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【解答过程】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【解答过程】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义运算求解. 【解答过程】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 二、多选题 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解题思路】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解答过程】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【解题思路】根据奇函数的定义求解． 【解答过程】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【解题思路】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【解答过程】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 四、解答题 9．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 10．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【解题思路】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 考点二 函数的对称性与周期性 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解答过程】由题知对一切成立， 于是. 故选：A. 二、多选题 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解题思路】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【解答过程】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD. 三、解答题 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【解答过程】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $