专题8.2 直线与圆综合（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题8.2 直线与圆综合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 直线的方程】 1 【题型2 圆的方程】 2 【题型3 直线与圆的位置关系】 2 【题型4 圆的弦长问题】 3 【题型5 圆的切线有关问题】 3 【题型6 直线与圆中的面积问题】 3 【题型7 圆与圆的位置关系】 4 【题型8 直线与圆中的最值问题】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 直线的方程】 1．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“直线与直线互相平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·山东·一模）如图所示的直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【题型2 圆的方程】 5．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 6．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为____________. 【题型3 直线与圆的位置关系】 9．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 10．（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·新疆·模拟预测）若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·宁夏银川·二模）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 圆的弦长问题】 13．（2026·山东枣庄·一模）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 14．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 15．（2026·山东菏泽·一模）已知圆，过点的直线l与C交于A、B两点，当取最小值时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 圆的切线有关问题】 17．（2026·吉林·模拟预测）下列满足经过点且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·湖北·模拟预测）设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为___________． 20．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为____________. 【题型6 直线与圆中的面积问题】 21．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 22．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 23．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 24．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【题型7 圆与圆的位置关系】 25．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 26．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D．10 28．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【题型8 直线与圆中的最值问题】 29．（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 31．（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 32．（2025·北京东城·一模）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·陕西·模拟预测）若直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·四川绵阳·二模）若直线与直线平行，（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江台州·一模）当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·河北沧州·模拟预测）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是_____________． 10．（2025·云南·模拟预测）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_____________． 11．（2026·湖北荆门·模拟预测）圆被直线所截得的最短弦长为_____________． 12．（2026·河北沧州·一模）已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为_____________． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南湘潭·二模）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 6．（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·新疆·二模）已知实数满足，则的最小值为____________. 8．（2026·陕西西安·一模）直线： 与直线：交于点，则的取值范围为____________. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 直线与圆综合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 直线的方程】 1 【题型2 圆的方程】 3 【题型3 直线与圆的位置关系】 4 【题型4 圆的弦长问题】 7 【题型5 圆的切线有关问题】 8 【题型6 直线与圆中的面积问题】 10 【题型7 圆与圆的位置关系】 13 【题型8 直线与圆中的最值问题】 14 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 直线的方程】 1．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【解答过程】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 2．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“直线与直线互相平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【解答过程】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意； 故选：C. 3．（2026·山东·一模）如图所示的直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由图确定直线上的点，再由斜率公式即可求解. 【解答过程】由图可得直线上两个点的坐标， 所以直线的斜率， 故选：D. 4．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解题思路】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【解答过程】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A. 【题型2 圆的方程】 5．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【解题思路】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【解答过程】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C. 6．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由一般方程得到标准方程即可求解. 【解答过程】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C. 7．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【解题思路】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【解答过程】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为____________. 【答案】 【解题思路】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可. 【解答过程】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为：. 【题型3 直线与圆的位置关系】 9．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【解题思路】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【解答过程】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 10．（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【解答过程】由题可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 设与直线距离为的平行线为， 由，可解得或， 则圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， 因为圆上到直线距离为的点有且仅有个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故选：D. 11．（2026·新疆·模拟预测）若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据直线与圆有公共点得出圆心到直线的距离小于等于半径，再通过距离公式列不等式求解的取值范围，最后判断选项中哪个值不在该范围内. 【解答过程】由圆的方程为，可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得：， 对于选项A，，不在范围内； 对于选项B，，在范围内； 对于选项C，，在范围内； 对于选项D，，在范围内； 故选：A. 12．（2025·宁夏银川·二模）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由方程可得图象，根据直线的变换，结合直线与圆的位置关系，可得答案. 【解答过程】由，则，故直线随的变化上下平移， 由，则，则可作图如下：    由图可知分别为直线平移的边界， 将代入，可得，解得，即； 原点到直线的距离，由图可得，解得，即. 所以. 故选：C. 【题型4 圆的弦长问题】 13．（2026·山东枣庄·一模）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解题思路】根据直线与圆的位置关系，先求出圆心到直线的距离，然后用勾股定理即可求出弦长. 【解答过程】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为. 则圆心到直线的距离为. 所以弦长为. 故选：C. 14．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【解答过程】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D. 15．（2026·山东菏泽·一模）已知圆，过点的直线l与C交于A、B两点，当取最小值时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出弦长最短时直线的斜率，利用点斜式即可求得方程． 【解答过程】由题意知，当点为弦AB的中点时，即时，取最小值， 又圆心，所以，进一步可得， 此时直线方程为，即． 故选：C. 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线过定点，采用数形结合法即可求解.. 【解答过程】直线可化为：， 令，得，所以直线过定点， 圆的圆心为，半径， 当时，有最小值，如图所示： 即圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 【题型5 圆的切线有关问题】 17．（2026·吉林·模拟预测）下列满足经过点且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先验证四个圆是否经过点，再验证圆心到直线的距离是否等于半径，即可求解 【解答过程】将代入A,B,C,D中的四个方程中，B，D成立A，C不成立，故排除AC； 在选项B中，此圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以该圆与直线相切，满足题意； 在选项D中，此圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以该圆与直线不相切，不满足题意. 故选：B. 18．（2026·湖北·模拟预测）设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设圆心为，点为点，切点为，先利用勾股定理求出切线长，由圆切线的性质及已知条件求得，再由二倍角正切公式求值即可. 【解答过程】因为，所以点在圆外， 设圆心为，点为点，切点为， 圆化为标准方程得， 则圆心，半径，   在中，，所以， 故， 由圆的切线的性质可得， 所以. 故选：D. 19．（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为___________． 【答案】3 【解题思路】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长. 【解答过程】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3. 20．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】根据圆的切线性质，将切线长转化为与圆心到点距离相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线上点的最小距离，进而求得切线长的最小值. 【解答过程】根据圆的切线性质可知，，在中，由勾股定理可得， 已知圆的方程为，则半径，所以， 要使最小，则需最小，所以的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式可得：， 将代入，可得， 因此，线段长度的最小值为. 故答案为：. 【题型6 直线与圆中的面积问题】 21．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出圆心和半径，直接利用三角形面积公式求出最值，从而得到圆心到直线的距离，代入计算即可. 【解答过程】，即， 则其圆心为，半径为，而， 当且仅当时等号成立，此时为顶点为的等腰直角三角形， 此时圆心到直线的距离， 则，解得. 故选：B. 22．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案. 【解答过程】注意到直线过点C，将直线方程与联立， 可得，其判别式为， 设，则. 又，， 则 ， 当且仅当时取等号. 故选：B. 23．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 易知圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：D. 24．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【解答过程】∵圆心O到直线的距离，所以， 设，， 所以，，所以， 则面积 故选：A. 【题型7 圆与圆的位置关系】 25．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【解题思路】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【解答过程】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B. 26．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【解答过程】由 ，所以圆心，半径； 由 ，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B. 27．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【解答过程】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 28．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 【题型8 直线与圆中的最值问题】 29．（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出相应图形，可知当运动到与圆E相切时，取得最小值，分别求出，即可求解． 【解答过程】 如图，当与圆相切于点时，取得最小值，连接. 由题意得，，圆半径为，则， 所以，故. 过点E作x轴的垂线，垂足为N，则，所以， 所以，即的最小值为． 故选：B． 30．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A.    31．（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】若为的中点，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律得 ，数形结合最小时取最小值，即可得答案. 【解答过程】若为的中点，如下图示，，， 所以 ， 由，即圆心，半径，所以， 到的距离，即直线与圆相离， 结合图知，最小，此时. 故选：C. 32．（2025·北京东城·一模）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【解答过程】设， 由题意可得：， 设的中点坐标为，则， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最小值为， 故选：A. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·陕西·模拟预测）若直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，圆心到直线的距离，再解方程即可． 【解答过程】圆的标准方程为，圆心为，半径为1， 根据题意得圆心到直线的距离， 解得． 故选：D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【解答过程】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2026·四川绵阳·二模）若直线与直线平行，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将两直线方程化为斜截式，根据两直线平行时斜率相等且截距不相等的性质列方程求解的值. 【解答过程】直线，斜率，截距， 直线，斜率，截距， 因为两直线平行，所以斜率相等且截距不相等，即且， 由得，此时，满足平行条件. 故选：C. 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用垂径定理列方程即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得，解得，满足. 故选：A. 5．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【解答过程】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 6．（2025·浙江台州·一模）当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【解答过程】过定点， ，圆心为，半径为， 当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短， 其中，故直线的斜率为1，故，解得. 故选：B. 7．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【解答过程】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 8．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得圆心到直线的距离，由求解即可. 【解答过程】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离. 因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2， 所以，即，又， 解得：. 故选：B. 二、填空题 9．（2026·河北沧州·模拟预测）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是_____________． 【答案】 【解题思路】根据直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【解答过程】因为直线的斜率为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 故答案为：. 10．（2025·云南·模拟预测）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_____________． 【答案】2 【解题思路】首先求直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【解答过程】过原点且倾斜角为的直线斜率为，故直线方程：. 又圆心坐标，半径为，圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得，弦长为. 故答案为：2. 11．（2026·湖北荆门·模拟预测）圆被直线所截得的最短弦长为_____________． 【答案】 【解题思路】求解直线经过的定点，即可根据垂直求解最短弦长. 【解答过程】直线l的方程可化为，联立解得． 所以直线恒过定点． 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， C到直线l的距离为，所以最短弦长是． 故答案为：. 12．（2026·河北沧州·一模）已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为_____________． 【答案】 【解题思路】先求得圆的圆心和半径，然后求得弦中点的轨迹，进而求得轨迹的长度. 【解答过程】圆，即， 所以圆心，半径， 设，， 由，得， ， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，在圆内部的部分， ，所以圆与圆相交， 由两式相减并化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆（右半圆）， 所以轨迹长度为. 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【解答过程】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（2026·河南郑州·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【解答过程】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. 故选：B. 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【解答过程】由表示圆的上半部分，如下图， 当圆心到直线的距离，可得或， 若时，，若时，， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线存在两个点与直线的距离为3，且，即直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 故选：B. 4．（2026·湖南湘潭·二模）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【解答过程】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 5．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【解题思路】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【解答过程】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 6．（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解. 【解答过程】    已知， 因为动点符合， 所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍， 即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍， 所以， 所以1， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，即， 令直线的方程为， 要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值， 又点到直线的距离为， 平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径， 即，即，解得或， 当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1， 即 ，即，即，解得， 综上所述，可得，即， 所以，即， 故选：A. 二、填空题 7．（2026·新疆·二模）已知实数满足，则的最小值为____________. 【答案】4 【解题思路】由可知，，从而将问题转化为求单位圆上一点到直线距离的最小值的平方，利用圆心到直线的距离和半径即可得解. 【解答过程】因为，所以，， 记为圆，为直线, 则表示圆上的动点与直线的动点的距离， 易知，当直线与直线垂直且经过圆心时，取得最小值， 圆心到直线的距离， 所以的最小值为， 所以最小值为. 故答案为：4. 8．（2026·陕西西安·一模）直线： 与直线：交于点，则的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】通过直线过定点，且垂直确定的轨迹为圆，再由的几何意义即可求解. 【解答过程】对于直线：，令，得， 即直线过定点， 对于直线：，化简得， 由，得，即直线过定点， 当时，，，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以点的轨迹为以为直径的圆，除去点， 中点坐标为，， 所以以为直径的圆方程为：， 即点的轨迹方程为： ，    的几何意义为两点连线的斜率， 由图可知：直线与圆相切， 过作圆的切线，设斜率为，直线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于半径可得：， 解得：， 由图形可知：的取值范围是， 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $