暑假作业08 导数的单调性及应用（巩固培优,4知识9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 以导数与单调性关系为核心，系统构建“概念-步骤-参数-应用”四层知识体系，提炼构造函数等解题方法，覆盖高考全题型的专项突破训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心点|单调区间四步法、参数问题分类策略、8类构造函数模型|从导数正负判断单调性到综合应用，形成“基础-进阶-综合”递进链条| |题型|9类30+例题|含参讨论阶梯式解法、二阶导分析策略、图象关系转化技巧|覆盖判断、求区间、参数求解等高考高频考法，典例兼顾基础与综合|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 导数的单调性及应用 【知识点1 函数的单调性与导数的关系】 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f '(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上____________ f '(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上____________ f '(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是____________ 注：“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 【知识点2 确定函数单调区间的步骤】 1．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调____________； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调____________. 注：(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． 2．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 【知识点3 根据函数单调性求参数的一般思路】 1．已知函数f(x)在区间D上单调 ①已知f(x)在区间D上单调递增⇒∀x∈D，____________恒成立． ②已知f(x)在区间D上单调递减⇒∀x∈D，____________恒成立． 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号． 2．已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 ①已知f(x)在区间D上存在单调增区间⇔∃x∈D，____________有解． ②已知f(x)在区间D上存在单调减区间⇔∃x∈D，____________有解． 3．已知函数f(x)在区间D上不单调⇔∃∈D，使得f ′()=0(其中为变号零点) 4．已知f(x)的单调增（减）区间恰为D⇔不等式____________（≤0）的解集恰为D 5．已知函数f(x)有n个单调区间⇔f ′(x)=0有____________个不同的实数根． 【知识点4 导数中函数单调性的应用】 1．在某区间内，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 2．构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B． (2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝. (5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x. 【题型1 利用导数判断已知函数的单调性】 1．（24-25高三上·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，是奇函数且在区间单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用导数求函数的单调区间（不含参）】 1．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北廊坊·期中）已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 9．（25-26高二下·广西·阶段检测）判断下列函数的单调性，并求出单调区间： (1)； (2)； 【题型3 利用导数讨论函数单调性（含参）】 1．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 2．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 3.（2026辽宁锦州期末）讨论下列函数的单调性 (1)，为常数； (2)，． 【题型4 利用二阶导研究函数的单调性】 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数（）单调递增，则实数a的取值范围为______． 2．已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）证明：. 3．已知函数． （1）若对恒成立：求实数a的取值范围； （2）当时，证明：． 【题型5 导数和函数图象的关系】 1．（2026河北雄安期中）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B．C．D． 2．（2026江苏镇江期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．  B．  C．   D．   3．（多选）（2026河南商丘期末）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 【题型6 由函数在给定区间上的单调性求参数】 1．（2026海南海口期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026甘肃白银期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 3．（2026上海黄浦期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 4．（2026河北石家庄期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【题型7 函数单调性的应用——比较大小】 1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026江苏常州期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（浙江衢州市2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题）函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在上不单调 D．3是函数的极小值点 4．（2020·陕西汉中·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 函数单调性的应用——解不等式】 1.（2026重庆万州期末）已知函数，则不等式的解集为______． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【题型9 导数单调性的综合应用】 1．（25-26高二下·广东云浮·期中）已知函数 (1)求； (2)求函数在上的单调性. (3)若直线与曲线相切于点，求切点的坐标. 2．（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 3．（2025·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 1．（2026重庆渝中期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   5．（24-25高二下·广东·阶段检测）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 6．（多选）（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知函数，则（   ） A．曲线关于对称 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线方程为 7．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①；②；③；④，， 其中正确的结论的序号为（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 9．（25-26高二下·四川成都·期末）若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 10．（25-26高二下·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 12．（25-26高二下·上海长宁·期中）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 14．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 15．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 16．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，恒成立； (3)设函数的定义域为，求证：对，且，都有 . 1．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）宠物很可爱，但宠物身上会有很多细菌，小狗“旺财”的主人每月(30天)定期给“旺财”滴抹杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌的数量还会继续增加，但随着时间的推移，细菌增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.若已知使用杀菌剂t小时后细菌的数量(万个)大致符合函数，为的导数，下列结论正确的是（   ） A．滴抹杀菌剂可以杀死大量细菌，却无法杀死所有细菌 B．表示当时，细菌数量以每小时的速度在减少 C．若存在a，b，且，使，则 2．（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东淄博·期中）设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 导数的单调性及应用 【知识点1 函数的单调性与导数的关系】 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f '(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f '(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f '(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 注：“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 【知识点2 确定函数单调区间的步骤】 1．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 注：(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． 2．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 【知识点3 根据函数单调性求参数的一般思路】 1．已知函数f(x)在区间D上单调 ①已知f(x)在区间D上单调递增⇒∀x∈D，f ′(x)≥0恒成立． ②已知f(x)在区间D上单调递减⇒∀x∈D，f ′(x)≤0恒成立． 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号． 2．已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 ①已知f(x)在区间D上存在单调增区间⇔∃x∈D，f ′(x)>0有解． ②已知f(x)在区间D上存在单调减区间⇔∃x∈D，f ′(x)<0有解． 3．已知函数f(x)在区间D上不单调⇔∃∈D，使得f ′()=0(其中为变号零点) 4．已知f(x)的单调增（减）区间恰为D⇔不等式f ′(x)≥0（≤0）的解集恰为D 5．已知函数f(x)有n个单调区间⇔f ′(x)=0有个不同的实数根． 【知识点4 导数中函数单调性的应用】 1．在某区间内，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 2．构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B． (2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝. (5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x. 【题型1 利用导数判断已知函数的单调性】 1．（24-25高三上·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的定义域可得A错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由奇函数的性质可得C错误；由正弦函数的单调性可得D错误； 【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又恒成立，所以在上为减函数，故B正确； 定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 由正弦函数的单调性可得在为增函数，又， 所以在区间上是严格增函数，故D错误；故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，是奇函数且在区间单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义，结合导数可判断A；利用偶函数的定义可判断BD；利有奇函数的定义与复合函数的单调性可判断C。 【详解】令，则，所以为奇函数， 又，所以在单调递增，故A错误； 令，则，所以是偶函数，故B错误； 令，，所以为奇函数， 又，且在单调递增，故在单调递减，故C正确； 令，则，故为偶函数，故D错误． 故选：C. 3．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 4．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 【题型2 利用导数求函数的单调区间（不含参）】 1．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，， 由，解得，函数的单调递增区间为． 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数定义域，再求导并解导数大于零的不等式，得到单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，. 令，由，，得，即.故函数的单调递增区间为. 3．（25-26高二下·河北廊坊·期中）已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【答案】A 【详解】，，，令，解得， 所以的单调递增区间为. 9．（25-26高二下·广西·阶段检测）判断下列函数的单调性，并求出单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)在上单调递减,的单调递减区间为 (2)在上单调递增,的单调递增区间为 【详解】（1） 求导得. 因为时，恒成立， 所以在上单调递减. 的单调递减区间为. （2） 求导得. 因为时，，故恒成立. 所以在上单调递增，的单调递增区间为. 【题型3 利用导数讨论函数单调性（含参）】 1．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 【答案】B 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 因此函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 2．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，.则， 由，解得，此时单调递增.故选：B 3.（2026辽宁锦州期末）讨论下列函数的单调性 (1)，为常数； (2)，． 【答案】（1）当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【详解】（1）因为，令，可得，即， 当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 当，即时，的解为， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2)当时，函数为，， ． 令可得或， 当时，恒成立（仅处为零），因此在上单调递增． 当时，时或；时． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，时，或；时，． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时， 若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【题型4 利用二阶导研究函数的单调性】 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数（）单调递增，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先把问题转化为对所有成立，然后参变分离转化为求函数的最小值，利用二次求导判断的单调性即可得出答案. 【详解】函数在上单调递增，等价于对所有， ，由，得：， 令，， 当时，令，则，单调递增，故， 因此，即在上单调递增.因此的最小值为， 要使恒成立，只需，故的取值范围是. 2．已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1）的范围是[-1,+∞﹚（2）见解析 【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），， ，. 令 从而当时，，故所求的范围是[-1,+∞﹚. （2）令. 因， 显然当时，， 当时，，在（0,1﹚递减； 当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：， 从而在时递增，，在[1,+∞﹚递增， 所以当时，，故成立，原不等式成立. 3．已知函数． （1）若对恒成立：求实数a的取值范围； （2）当时，证明：． 【答案】（1）实数的取值范围是（2）见解析 【解析】（1）因为，所以，. 当时，显然，则在上单调递增，所以，不合题意； 当时，由得，则在上单调递增，所以存在， 使，不合题意； 当时，因为，所以，则在上单调递减，所以. 综上可知，实数的取值范围是. （2）当时，，要证， 只需证，即证（*）. 令（），则， 令（），则， 则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减.由（*）可知，只需证（）. 令（），则，所以在上单调递增， 所以对任意，，即.故原不等式成立. 【题型5 导数和函数图象的关系】 1．（2026河北雄安期中）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B．C．D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合．故选C. 2．（2026江苏镇江期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】由图可知：当或时，， 所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为，故选B. 3．（多选）（2026河南商丘期末）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误.故选ABC. 4．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 【答案】B 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处切线的斜率大于零，函数在处不能取极值， 函数在区间上单调递增,是函数的极小值点，所以B错误，ACD正确. 【题型6 由函数在给定区间上的单调性求参数】 1．（2026海南海口期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为．故选A． 2．（2026甘肃白银期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【答案】B 【详解】由题意得，因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为，所以，解得.故选B. 3．（2026上海黄浦期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 4．（2026河北石家庄期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】（1）实数a的取值范围是，（2）实数a的取值范围是． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值，∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值，∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【题型7 函数单调性的应用——比较大小】 1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为,求导得 当时，,则函数在上单调递减， 当时，,则函数在上单调递增. 因，则. 2．（2026江苏常州期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，则，，， 因为，可知在内单调递减，且， 则，所以.故选A. 3．（浙江衢州市2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题）函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在上不单调 D．3是函数的极小值点 【答案】A 【分析】通过导函数的正负来判断原函数的单调性与极值，依据导数与函数单调性、极值的关系，对各选项逐一分析得出结论. 【详解】由题意可知，在A选项中，当时，，因此在上单调递减，A正确， 在B选项中，当时，，因此在上单调递增，B错误， 在C选项中，当时，恒成立，因此在上单调递增，是单调函数，C错误， 在D选项中，左侧（递增），右侧（递减）， 因此是的极大值点，不是极小值点，D错误. 4．（2020·陕西汉中·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性可得，进一步分析各选项即可. 【详解】依题意，得：，令，，则， 在上单调递增；又，得，又，即， 又在上单调递增，，，即，∴，故A正确，B不正确； 取得：，此时，故C、D都不正确.故选：A 【题型8 函数单调性的应用——解不等式】 1.（2026重庆万州期末）已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】函数定义域为，恒成立，所以是增函数， 又，所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得，所以不等式的解集为. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则，可得，可得且， 因为在上单调递减，且，可知在上单调递增，且， 当时，则，故；当时，则，故； 综上：的解集为. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数导数与函数单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 又因为时， 所以不等式等价于， 即，所以，解得，所以不等式的解集为：. 4．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 【题型9 导数单调性的综合应用】 1．（25-26高二下·广东云浮·期中）已知函数 (1)求； (2)求函数在上的单调性. (3)若直线与曲线相切于点，求切点的坐标. 【答案】(1)(2)单调递减(3) 【分析】（1）对函数求导，将代入，即可求得； （2）由（1）易得函数的解析式，并求导得恒成立即可判断单调性； （3）由（1）易得函数的解析式，并求导，设出切点坐标，则点坐标满足直线和曲线方程，并且点处的导函数值即为直线l的斜率，代入组成方程组，求解即可. 【详解】（1）因为函数，所以， 则，解得. （2）由（1）易得，， 显然在上恒成立，所以函数在上单调递减. （3）设切点，则 因为直线与曲线相切于点，直线的斜率为， 所以，解得,所以切点的坐标为. 2．（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减．(2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导数，当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数定义域为，. 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为. （2）由，化简为，即. 令， 因为，则，所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，，在单调递增， 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 3．（2025·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)【难度】0.65 【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论其符号后可得单调性； （2）由（1）可得的最小值，令，求出的最大值后可得参数的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． （2）令，易知，由题意知，， 由（1）知， 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析(2)1(3)证明见解析 【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则.，在递增，递减，则 又，当，不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即.又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 1．（2026重庆渝中期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求导可得，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为.故选C. 2．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R.故选：B. 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数化为同底，再结合指数函数的单调性求解. 【详解】，，， 因为在上单调递增，则. 故选：A 4．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 5．（24-25高二下·广东·阶段检测）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【详解】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 6．（多选）（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知函数，则（   ） A．曲线关于对称 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】求出，根据二次函数的对称性判断A，导数的正负性判断BC，导数的几何意义判断D. 【详解】对于A选项，， 显然曲线关于对称，故A正确； 对于B选项，当时，，单调递减， 故B错误，C正确； 对于D选项，，， 可得曲线在处的切线方程为．即， 故D正确． 7．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，则.利用导数分析其单调性，将不等式转化为，再根据的单调性，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】令函数，则. ，所以是减函数. 因为 ，所以.因为，所以. 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①；②；③；④，， 其中正确的结论的序号为（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】由函数图像可知函数在上单调递增，恒成立，据此可判断②④，结合函数在增长越来越缓慢即可判断①，再根据函数在点处切线的斜率小于割线的斜率即可判断③． 【详解】由图可知，函数在上单调递增，恒成立， 所以，，②正确，④错误； 由函数在增长越来越缓慢，可知在单调递减，所以，①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线的斜率，所以，即，③正确． 9．（25-26高二下·四川成都·期末）若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数的定义域为，. 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即.故的取值范围是. 10．（25-26高二下·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 【答案】 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小． 【详解】设，，当时，，即， 所以在上单调递减，所以， 所以，即，所以． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】，又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 12．（25-26高二下·上海长宁·期中）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 【答案】 【分析】由图可得单调性，据此可得正负性，结合正负性可解不等式. 【详解】由图可得时，；，， 又由图可得在上单调递减，在上单调递增， 从而时，；时，， 则或， 对于，可得； 对于，可得； 综上可得的解集为：. 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)(2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）根据可求的值. （2）求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间. 【详解】（1）由题意.此时，. 所以，， 所以在处的切线方程为，即.故为所求. （2）因为，.由；由. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 14．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 【答案】(1)；(2)极大值点为，无极小值点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可； （2）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为时，所以，求导得. 所以，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，所以，函数的定义域为， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为，无极小值点. 15．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数求导，再将代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解的值； （2）先求出函数的定义域和导函数，然后根据判别式的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数的单调性. 【详解】（1）已知，其定义域为， ，则， 因为函数在点处的切线斜率为2，所以，即，解得. （2）由（1）可知，令，其判别式， 当，即时在上恒成立， 又因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增； 当，即或时，由，即， 根据求根公式可得. 若，则，因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增； 若，则，且， 当0或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在,上单调递减. 16．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，恒成立； (3)设函数的定义域为，求证：对，且，都有 . 【答案】(1) 【分析】（1）求出在处的导数，利用点斜式写出切线方程. （2）只需证明，令，，利用导数证明； （3）只需证明函数在定义域上单调递增即可． 【详解】（1）由，得，，所以， 所以函数在处的切线方程为，即. (2)要证时，，即证 ，即， 所以只需证明.令，，， 所以当时，，单调递减，所以，即， 所以当时，恒成立. (3)由，得或， 即时，或时，，因为， 所以函数对，且，都有时， 在定义域上单调递增. 下面证明函数在定义域上单调递增： ①函数的定义域为且，即，， 令，，则， 所以在上，单调递减，在上，单调递增， 所以当时，，所以，所以在上单调递增. ②下面证明时，． 为此先证明.. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以（当时取等） 所以时，，, 时，，.所以． 综合得，当，，且，都有． 1．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）宠物很可爱，但宠物身上会有很多细菌，小狗“旺财”的主人每月(30天)定期给“旺财”滴抹杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌的数量还会继续增加，但随着时间的推移，细菌增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.若已知使用杀菌剂t小时后细菌的数量(万个)大致符合函数，为的导数，下列结论正确的是（   ） A．滴抹杀菌剂可以杀死大量细菌，却无法杀死所有细菌 B．表示当时，细菌数量以每小时的速度在减少 C．若存在a，b，且，使，则 D．细菌数量在时的瞬时变化率为0 【答案】ABD 【详解】由题意，可得. 对于A项，，所以杀菌剂不能杀死所有细菌，A正确； 对于B项，因为，所以当时，细菌数量以的速度在减少，B正确； 对于C项，若存在a，b，且，使，此时， 不妨设， 可知， 求导可得， 当时，，单调递减，此时，即， 当时，，单调递减，此时，即， 当时，，当，此时，， 所以，可得，即，C错误； 对于D项，因为，所以当时，瞬时变化率为0，D正确. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，利用在上的单调性比较与的大小；构造，用导数分析其单调性，证得，赋值推得，再由，推出，即可比较与的大小，得到最终结果. 【详解】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增.又，即对恒成立. 令得，,又，∴，，又 综上可得，. 3．（25-26高二下·山东淄博·期中）设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的导数，再分别求出的单调递减区间和的单调递增区间，最后根据“缓减区间”的定义判断各选项即可. 【详解】由题意得， 又，由，得，解得，， 即的单调递减区间为，． 设， 则． 由得，即， 又，则，解得，， 即的单调递增区间为，． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”. 4．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解. （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性. （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）因为，由定义可得：， 因为是定义域上的减函数，所以，又因为，所以 . （2）因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集，必要性成立， 若对任意，是对称集，因为对任意，， 所以，即①，又，所以， 即②，由①②可得，对任意，， 所以函数是偶函数，充分性成立，综上所述， 函数是偶函数的充要条件是对任意，是对称集，得证. （3）因为对于任意，都有，所以若， 则，对任意，因为，所以， 又因为，所以，即若， 则，所以， 所以在上单调不减，所以对任意，恒成立， 当时，，对任意成立， 当时，恒成立，令，， 令，则，所以在单调递减，上单调递增， 在处取得最小值，所以， 当时，恒成立，若，不等式恒成立， 若，当时，，，不满足条件， 综上所述：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $