立体几何专项训练-2026届高三数学临门一脚

**基本信息** 聚焦立体几何核心考点，融合几何法与向量法，构建从基础证明到综合计算的解题体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间角计算|题1、5(2)|几何法（构造二面角平面角）、向量法（法向量求线面角）|线面角与二面角概念衍生，空间角与平面角转化| |空间垂直与体积|题2、4、6(1)|面面垂直性质、祖暅原理、体积分割法|垂直关系推导与体积公式应用，空间几何体体积计算逻辑| |球面几何拓展|题3|球面三角形内角定义、弧长与面积公式|平面三角形到球面三角形的类比迁移，空间几何直观构建|

临门一脚：立体几何 1．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若直线与平面交于，则 D．若平面与平面的距离为1，则该六面体的体积 3．类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧 首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形．如图所示，分别连接球心与不在同一大圆上三点，定义球面 的三个内角分别为二面角的平面角．则下列说法正确的是（    ） A．若 球的半径为2，则 B．存在球面三角形，使得 C．若球的半径为2，，那么球面三角形ABC的面积为 D．若是锐角且，则 4．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，平面，，为棱上一点，且，过作平面分别与线段，交于点，，且，则________，四边形的面积为_________． 5．如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点. (1)求证：A，D，O，E四点共面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 6．如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若是等边三角形，，平面分割三棱柱所得两部分的体积之比为，求直线与平面所成的角的余弦值. 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 临门一脚 立体几何 参考答案 1．C 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，      显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为. 故选：C 2．ABD 【详解】设，因为是矩形，所以， 依题意有平面平面，平面平面， 且平面平面，所以，同理可得， 又因为，所以，且， 对于A，可知， 则，所以，A正确； 对于B，可知， 若，则，展开得， 移项得， 又， ， 则 ，所以，B正确； 对于C，设，则 ，因为平面，所以， 解得，所以，C错误； 对于D，取该几何体平行于底面的某截面， 同A中分析可知，，所以也是矩形， 设，则 ，即的长度只与有关即只与截面高度有关， 同理可得的长度也只与截面高度有关，所以截面的面积只与截面高度有关， 根据祖暅原理，可以移动使得的正投影刚好是，而不影响该几何体的体积， 此时该几何体可以放进长方体中，如图所示，依题意长方体的高为， 因为长方体的体积， 直三棱柱的体积为， 直三棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以几何体体积为，D正确. 3．ABD 【详解】选项 A，根据弧长公式 所以 A正确； 选项B，当两两垂直时，此时二面角的平面角均为直角，根据定义得所以 B正确； 选项C，∵，所以球面三角形占半径为2的球面的比例为 根据球的面积公式，球面的面积为 故C错误； 选项 D，如图所示，连接，设所在平面为． 作，连接．由三垂线定理可得, 结合，，且都是锐角， ，所以 ，所以D正确 故选：ABD． 4． 【详解】如图，延伸平面，交平面于RS， 平面平面，，即R，S，B三点共线， 又，由线面平行的性质可得， 则，即，是RD的中点， 过作，垂足为，则在中，，在中，， ，即，解得， 是中点，则是PA中点，，则，， 平面，平面，， ，，平面PBD， ，， ，， 又， 所以四边形的面积为. 故答案为：；. 5． 【详解】（1）连接DO、AO、EO， 因为，，都是等边三角形，所以， 又在平面内交于点O，在平面内交于点O， 所以平面，平面， 因为过O只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点O， 所以平面与平面是同一平面，即A，D，O，E四点共面； （2）连接DO、AO、EO，AD，以OA，OB分别为x、y轴，以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系， 则，因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，所以 又，设，所以，解得， 所以，因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，又， 设，所以，解得， 由(1)得为二面角平面角，设，则点， 故， 设平面的法向量为，则， 取得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 其中，当时，取得最大值为， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 6．【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为是正三角形，，所以. 又，由，， 得，故, 设与平面所成的角为; 方法一：以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则取，可得， 则，所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 方法二：过作，垂足为，记到平面的距离为， 由（1）得平面，又平面，所以. 因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面，，所以平面. 根据，得，又因为是正三角形， 所以，，的高等于, 代入得，解得， 所以，所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 临门一脚 立体几何 答案第6页，共7页 临门一脚 立体几何 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $