第11章 培优专题16：因式分解的常用方法与拓展&培优专题17：因式分解与几何图形-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

第1章因式分解 培优专题16：因式分解的常用方法与拓展 数 素 方法一：提公因式法 类型6：立方和、立方差公式（拓展）》 养 类型1：公因式是单项式的因式分解 11.(威海期末)【方法提取】数学学习活动是在 1.若多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个 公式化体系的不断完善中进行的.我们已经 因式是一4x2y2,则另一个因式是() 学习了平方差公式，在平方差公式的基础 A.3y+4x-1 B.3y-4x-1 上，可以对式子a3一b3进行如下推导： C.3y+4x+1 D.3y-4x+1 a3-b3 2.因式分解：2mx一6my= =a3-a2b+a2b-63 力 3.因式分解：-4mn+16m3n-28m2n= =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) 类型2：公因式是多项式的因式分解 =(a-b)[a2+b(a+b)] 4.因式分解：a(b-c)+c一b= =(a-b)(a2+ab+b2). 5.15b(2a-b)2+25(b一2a)2因式分解的结果 对于a3-b3=(a-b)(a2+ab十b2),称为立 是 方差公式。 方法二：公式法 【公式推导】请推导立方和公式：a3十b3 类型1：直接应用公式法 【公式应用】请利用上面的公式进行因式 分解. 6.因式分解. (1)x3-27= (1)x2+14xy+49y2= (2)9(x十2)2-25(x-3)2= (2)8x3y3+ 125 类型2：先提后套法 应 7.因式分解 (1)(烟台龙口质检)a2b一9b= (2)x3-6.x2+9x= (3)-9x2+24x-16= 方法三：整体法 (4)a2(x-y)+4(y-x)= 类型1：“提”整体 类型3：连用公式法 12.因式分解：a(x十y-之)-b(之-x-y)-c(x 8.因式分解：(x2-6x)2+18(x2-6x)+81= z+y)= 类型2：“当”整体 类型4：先展开再分解 13.因式分解：(x+y)2-4(x+y-1)= 9.把下列各式分解因式. (1)x(x+4)+4= 类型3：“拆”整体 (2)4x(y-x)-y2= 14.因式分解：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)= 类型5：先局部再整体 10.因式分解：(x+3)(x+4)十x2一9 类型4：“凑”整体 15.因式分解：x2-y2-4x+6y-5= 做神龙题得好成绩121 ☑同行学案学练测七年级数学下QD 方法四：换元法 方法六：十字相乘法 16.下面是某同学对多项式(x2一4x十2)(x2一 18.由多项式乘法：(x十a)(x+b)=x2十(a+ 4x十6)十4进行因式分解的过程， b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到 养 解：设x2-4x=y, “十字相乘法”进行因式分解的公式：x2十(a 则原式=(y十2)(y十6)+4（第一步） +b)x+ab=(x+a)(x+b). =y2+8y+16(第二步) 示例：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3= 抽象 =(y十4)2（第三步） (x+2)(x+3). =(x2一4x十4)2.（第四步） 请用上述方法分解因式。 运算 根据上述过程，回答下列问题， (1)x2-3x-4 (2)x2-7x+12 (1)该同学因式分解的结果 (填“彻 底”或“不彻底”).若不彻底，请你直接写出 因式分解的最后结果： (2)请你模仿上述方法，尝试对多项式(m2 2m)(m2-2m+2)+1进行因式分解. 推理 方法七：分组分解法（拓展） 能力 19.某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行 因式分解：m2-mn+2m一2n=(m2一mn) +(2m-2)=m(m-n)+2(m-n)=(m 方法五：拆项法 -n)(m+2). 17.阅读下面的材料： 以上分解因式的方法叫作“分组分解法”.请 我们已经学过将一个多项式分解因式的方 你在小亮解法的启发下，解决下面的问题 法有提公因式法、公式法、分组分解法等，其 (1)因式分解：a3-3a2-9a十27. 实分解因式的方法还有拆项法等 (2)因式分解：x2-4xy+4y2-16. 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后 可提取公因式或运用公式继续分解的方 法.如： x2+2x-3 =x2+2x+1-4 =(x十1)2-22 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1) 请你仿照上述方法分解因式。 (1)x2-6x-7 (2)a2+4ab-5b2 122 做神龙题得好成绩 第1章因式分解☑ 培优专题17：因式分解与几何图形 数 素 整合一：因式分解与三角形 系，请解决问题：已知a+b=7,ab=10,且 1.已知a,b,c为三角形的三条边长，设m=(a a>b,求a-b的值. -b)2-c2,则( ) A.m<0 B.m>0 C.m=0 D.m>0或m<0 2.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2+b2= 4a+10b-29. ① ② (1)求a,b的值. (2)若c为整数，求c的值. (3)若△ABC是等腰三角形，求这个三角形 的周长 4.如图①，边长为a的大正方形中有一个边长 为b的小正方形(a>b),图②是由图①中阴 影部分拼成的一个长方形 (1)观察图①、图②，当用不同的方法表示图 形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式 应 分解公式，则这个公式是 (2)如果大正方形的边长a比小正方形的边 长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中的 公式，求a,b的值 整合二：因式分解与图形拼组 3.【动手操作】如图①是一个长为2x、宽为2y 的长方形，沿图中方式剪开，分成四个完全相 ② 同的长方形，然后按照图②所示拼成一个正 方形 【提出问题】(1)观察图②，小颖发现大正方形 面积减去四个长方形面积即为阴影部分的面 积.请根据小颖的思路用代数式表示出阴影 部分的面积，并对代数式进行因式分解. 【问题解决】(2)根据上述(1)中得到的等量关 做神龙题得好成绩12311.C -1,n=2,∴.m-n=3或m-n=-3. 12.a2+b2+2ab=(a+b)2 28.3[解析]a2+b2+c2-ab-bc-ac=a(a-b)+b(b 13.(a+b)(a+2b) 1 1 如图所示（示意图不唯一）. -c)+c(c-a),且a=2024x+18,b=2024x+17,c= h 2024x+16,…a-b-1,b-c=1,c-a=-2,原式=a 2 +b-2c=(b-c)-(c-a)=3. 29.(a-1)(a4+a3+a2+a+1) b 30.解：(1)提公因式法(2)原式=(1+x)[1十x+x(1+x) bb +x(1+x)2]=(1+x)2[1+x+x(1+x)]=(1+x)3(1 14.解：(1)被墨水污染的一次式是(x-2)(2x十5)-(2x2十 3x-6)=2x2+5.x-4x-10-2x2-3x+6=-2x-4. 十x)=(1+x)4.(3)(1+x)+1 (2)根据题意，得一2x一4=2，解得x=一3. 11.3公式法 15解：1令3x-2=0,则6r-k红-2=0，即x=号时， 第1课时用平方差公式进行因式分解 1.B2.C3.D4.D 6r2-缸-2=0,6×（号）-号&-2=0，解得k=1. 5.(1)(3x+y)(3x-y)(2)3(x+1)(x+3) (3)(8+3a-2b)(8-3a+2b) (2)设另一个因式是3x十n,根据题意得3x2+10x十m= (x+4)(3.x+n),展开得3x2+10x+m=3x2+(n+12)x 6.1(5a+7b)(5a-7b) (2)(5a+b)(a-5b) +4m,/m+12-10 7.D m=4n m=一8六另一个因式是3x 解得 8.(x2+4)(x+2)(x-2) -2,m的值是一8. 11.2提公因式法 (2)(9a2+b2)(3a+b)(3a-b) 9.B 1.D2.A3.A4.2a-1 10.(1)3(a+b)(a-b)(2)x(x+5)(x-5) 5.C6.B (3)(a-b)(a+2)(a-2) 7.x(x-2024) 8.D9.B 11.(①)a2(a+3b(a-36)(2)2(x+8)(x-8) 10.(1)-2x3(2x-y)(2)-5xy(2x+y-3) 12.B13.B 11.C12.2(p+q)(3p-2q) 14.8 13.(2a+b)(2a-b) 15.解：5352×4-4652×4=4×(5352-4652)=4×(535+ 14.A15.D 465)×(535-465)=4×1000×70=280000. 16.(x+1)(x-2)17.2(5.x-6y)2 16.(3a+b)(b-a) 18.D 17.(a2+1)(a+1)(a-1) 19.(1)2025(2)3.98 18.D19.D 20.4 20.12 21.2[解析]'ab=3,a2b-ab2=6,.a2b-ab2=ab(a一 21.解：1002-992+982-972+…+22-1=(1002-992)+ b)=3(a-b)=6,解得a-b=2. (982-97)+…+(22-12)=(100+99)×(100-99)+ 22.96[解析]ab=6,∴.3a2b-6ab2+18b+6=3ab(a (98+97)×(98-97)+…+(2+1)×(2-1)=100+99+ 2b)+18b+6=3×6×(a-2b)+18b+6=18a-36b+ 98+97+…+2+1=100+)DX100=5050. 18b+6=18a-18b+6=18(a-b)+6.,a-b=5,.原 2 式=18×5+6=96. 22.解：因为a,b,c为△ABC的三条边的长，所以a十b>c,b 23.C 十c>a,即a-c十b>0,a-c-b<0,所以(a-c)2-b2= (a-c+b)(a-c-b)<0,所以(a-c)2-b2是负数. 24.C[解析]M=a2-ac,N=ab-bc,∴.M-N=a2-ac 23.C[解析](n+1)2-n2=(n+1+n)(n十1-n)=2m+ -(ab-bc)=a(a-c)-b(a-c)=(a-c)(a-b)..a> b,a>c,∴.a-c>0,a-b>0,∴.M-N=(a-c)(a-b) 1,∴所有大于0的奇数都是“智数”.2025÷2=10121， ∴.从0开始，不大于2025的“智数”共有1012十1=1013（个）. >0,.M>N. 25.-1626.1584 24.解：原式-(1-号)(1+2)(1-号)(1+号)(1-)(1 27.解：(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+2)(2x一2)=2(x +2)(x-1)=2(x十m)(x+n),∴.m=2,n=-1或m= +号)(1-)(1+)=合x号×号×音×是× ·24·同行学案学练测 ×…x腮×180-8删 12.(1)6xy2(x+2y)(x-2y) (2)(x+y)2(x-y)2 第2课时用完全平方公式进行因式分解 13.B 1.(1)D(2)C(3)49 14.A[解析]x2-49=(x+7)(x-7),x2-9x十14=(x 2.D3.(1)A(2)BD 一2)(x一7)，乙为x一7，甲为x十7，丙为x一2，.甲与 4.(1)(3x-1)2(2)(x十y十2) 丙相加的结果是x十7十x一2=2x+5. 5.(a+b)2 15.(1)3(x+y)(x-y) 6.(1)(3x-y)2(2)-(a+b)2(a-b)2 (2)(x十3)2(x-3)2 7.()-2a-2:2y-1y33(2z-1D (3)(3x+y)2(3x-y) 16.B[解析]x2-xy-xz十yz=23,.x(x-y)-z(x一 8.(1)-2x(x-6)2(2)2025(x-1)2 y)=23,.(x-y)(x-z)=23.x,y,之是正整数，x> 9.B 10.解：1022+102×196+982=1022+2×102×98+982= yx-y>0-y1或任-y=23.: 1x-z=231 --1x-z=1 (102+98)2=2002=40000. 或23. 11.-12 17.解：：P=x2-3xy,Q=3xy-9y2,P=Q,∴.x2-3xy= 12.10[解析]方法1：a2-b2+2b十9=(a十b)(a-b)+2b 3xy-9y2,x2-6xy+9y2=0,即(x-3y)2=0,.x= +9.,a+b=1,.原式=a-b+2b+9=a十b+9=10. 方法2：a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b 3y,=3. y -1)2+10=(a-b+1)(a+b-1)+10..a+b=1,.原 18.解：原式= 222×(222-1)222×221222×221 式=10. 2222-2X222×1+1(222-1)2 2212 13.解：原式=[(m2+2m)+1]=(m2+2m+1)2=(m+1). 222 221 14.515.9 16.24[解析]a2+b2+c2+200=12a十166+20c,∴.a2 19.解：(1)(a-7)(a-5)(2)-5 (3)a2+2b2+c2- 12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0,∴.(a-6)2+ 2ab+4b-6c+13=0,.(a2-2ab+b2)+(b2+4b+4)+ (b-8)2+(c-10)2=0,.a-6=0,b-8=0,c-10=0, (c2-6c+9)=0,即(a-b)2+(b+2)2+(c-3)2=0. ∴a=6,b=8,c=10,∴.两直角边长分别为6,8，则△ABC (a-b)2≥0，(6+2)2≥0，(c-3)2≥0，.a-b=0,b+2 的面积为24. =0,c-3=0,解得a=b=-2,c=3,∴.a十b十c=-2-2 17.6[解析].a+b=5,∴.a=5-b,∴c2=(5-b)·b+b +3=-1. -9,c2+b2-6b+9=0,.c2+(6-3)2=0,.c=0,b 培优专题16：因式分解的常用方法与拓展 -3=0,.b=3,.a=2,.ab-c=2X3-0=6. 1.B2.2m(x-3y) 18.6 3.-4m2n(m2-4m+7) 19.解：(1)a2-8a+12=(a2-8a+16)-16+12=(a2-8a 4.(b-c)(a-1) +16)-4=(a-4)2-22=(a-6)(a-2).(2)x2-6x 5.5(2a-b)2(3b+5) +11=(x2-6x+9)-9+11=(x-3)2+2≥2，-x2+ 6.(1)(x+7y)2 6x-10=(-x2+6x-9)+9-10=-(x-3)2-1≤-1， (2)-(8x-9)(2x-21) .x2-6x+11>-x2+6.x-10.(3)-1 7.(1)b(a+3)(a-3) 第3课时选用合适的方法进行因式分解 (2)x(x-3)2 1.C2.C3.D4.D (3)-(3x-4)2 5.(1)(a+b+8)(a+b-8)(2)(2x+3y)2 (4)(x-y)(a+2)(a-2) (3)a(a+b)(a-b)(4)y(x+1)(x-1) 8.(x-3)4 6.(1)y(x+4y)(x-4y)(2)xy(2x-y)2 9.(1)(x+2)2(2)-(2x-y)2 7.B 10.(x+3)(2x+1) 8.D[解析]a2-9b2+2a-6b=(a2-9b2)+(2a-6b)=(a 11.解：【公式推导】a3+b3=a3十a2b-ab十b3=a2(a十b) +3b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2). -b(a2-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a2 9.(1)(ab-1)(a+b)(2)(y-2)(xy+2) -b(a-b)]=(a+b)(a2-ab+b2). 10.D 【公式应用】(1)(x-3)(x2+3x+9) 11.(1)(4x2+1)(2x+1)(2x-1) (2)(a+b)2(a-b)2 2(2w+号)(y2-号w+需》 12.(x十y-z)(a+b-c) 21.解：因为a-b-3+(a+b-2)2=0,所以 a-b-3=0 13.(x+y-2)2 a+b-2=0 14.(bc+ad)(ac+bd) 1a-b= 所以 所以a2-b=(a十b)(a-b)=2X3=6. 15.(x+y-5)(x-y+1) a+b=2 16.解：(1)不彻底(x-2)4(2)设m2-2m=y,则原式= 22.B23.B y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(m2-2m+1)2= 第12章平面图形的认识 (m-1)4. 17.解：(1)x2-6x-7=x2-6x+9-16=(x-3)2-42=(x 12.1三角形 -3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7).(2)a2+4ab-5b2 第1课时三角形及其分类 =a2+4ab+4b2-9b2=(a+2b)2-(3b)2=(a+2b+ 1.D2.B3.A 3b)(a+2b-3b)=(a十5b)(a-b). 4.6△OAB,△OBC,△OBD△OAD,△OCD,△OBD 18.(1)(x+1)(x-4)(2)(x-3)(x-4) OD∠D 19.(1)(a+3)(a-3)2(2)(x-2y-4)(x-2y+4) 5.D6.C 培优专题17：因式分解与几何图形 7.55°，35° 1.A 8.解：(I)∠AED是△AED的角，∠DBC是△EBC的角. 2.解：(1).a2+b2=4a+10b-29,.(a2-4a+4)+(b2- (2)AE是△AED和△AEB的公共边，AB是△ABD, 106+25)=0,.(a-2)2+(b-5)2=0,.a-2=0,b-5 △ABE和△ABC的公共边. =0,.a=2,b=5.(2),a,b,c是△ABC的三边长，.3 9.解：因为a+b+c=30,a+b=20,所以c=10.因为a-b= <c<7.又.c为整数，c=4或c=5或c=6. (3),△ABC是等腰三角形，a=2,b=5,根据三角形的三 6一c,所以a-2b=-10.联立方程组0+6=20 解得 a-2b=-10 边关系可知，只有当c=5时这个三角形才为等腰三角形， a=10 .c=5,.△ABC的周长是12. ,所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形 b=101 3.解：(1)S阴影=(x十y)2-4xy=x2+2xy十y2-4xy=x2 第2课时三角形内角和、直角三角形的性质 -2xy+y2=(x-y)2.(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 1.B2.C3.75° .a十b=7,ab=10,∴.(a-b)2=72-4×10=9,∴.a-b= 4.解：如图，过点A作EF∥BC.因为EF∥BC,所以∠1= 士3.'a>b,∴.a-b=3. ∠B,∠2=∠C.因为∠1十∠2十∠BAC=180°，所以 4.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)(2)由题意可得a-b=3. ∠BAC+∠B+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C=180°. a2-b2=(a+b)(a-b)=57,.a十b=19, /a+b=19 ab=3解得-11 E-- 6=8‘ 章末复习 1.D2.A3.154.D5.C6.C7.D 5.C6.C7.A 8.a(2x-1)2 9.a3(a-b)2 8.60°[解析]∠C=90°，∠B=30°，∠A=60°.△A'PD 10.x2(x+2)(x-2) 由△APD翻折而成，∠A=∠PA'D=60°，∠PDA= 11.(1)a(a+2b)(a-2b)(2)2(x+4)(x-4) ∠PDA'.:A'P∥AC,∴.∠A'DC=∠PA'D=60°， (3)(x+3y)2(x-3y)2(4)a(a-2)2 .2∠PDA'+∠A'DC=180°，即2∠PDA'+60°=180°，解 12.D[解析]，x=-2a2+4a-5=-2a2+4a-2+2-5 得∠PDA'=60°. =-2(a2-2a+1)-3=-2(a-1)2-3≤-3，.不论a 9.B10.A11.B12.80° 取何值，一定有x≤一3. 13.60°[解析]方法1：：∠BFC=130°，∠BFA=50° 13.C14.0.36 又：AB∥CD,.∠A+∠C=180°.：∠B+∠A+ 15.B16.C17.B ∠BFA十∠D十∠C+∠CED=360°，∴.∠B+∠D= 18.解：(m-7)(m+7)+n2-2mn=m2-7+n2-2mn=(m 60°方法2：如图，过BF,DE的交点G作GH∥AB,易知 -n)2-72.(m-7)(m十7)十n2-2mm是“正巧数”， ∠B+∠D=∠BGD.:∠BFC=130°，.∠BFA=50, ,∴.m-n=9. .∠EGF=180°-∠BFA-∠CED=180°-50°-70°= 19.±1220.48 60°，∴.∠BGD=∠EGF=60°，即∠B+∠D=60°. ∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABD,∴.2∠ABD+∠A=90°， ∴△ABD是“奇妙互余三角形” (2)当点P在线段BC上时，如图. 14.3609 15.60°[解析]因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB= 150°.因为∠D=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，所以 ∠ABD+∠ACD=150°-90°=60°. 16.60°或10°[解析]分两种情况：如图①，当∠ADC=90° 时，：∠B=30°，∴.∠BCD=90°-30°=60°；如图②，当 ,∠C=90°，∠ABC=52°，△ABP是“奇妙互余三角形”， ∠ACD=90时，，∠A=50°，∠B=30°，∴.∠ACB=180° .2∠PAB+52°=90°，.∠PAB=19°，∴.∠APB=180 -30°-50°=100°，.∠BCD=100°-90°=10°.综上， -52°-19°=109° ∠BCD的度数为60°或10°. 当点P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”， 2∠APB+∠BAP=90时，如图. D ① ② 17.40°60°80°[解析]因为∠B=∠A十20°，∠C=∠B 十20°，所以∠C=∠A十40°.设∠A=x°，则∠B=x°+ ,∠ABC=52°，易得∠BAP=52°-∠APB.,2∠APB 20°，∠C=x°+40°.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x +∠BAP=90°，∴.2∠APB+(52°-∠APB)=90°，解得 +(x+20)+(x+40)=180,解得x=40,所以∠A=40°， ∠APB=38°. ∠B=60°，∠C=80°. 当点P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”， 18.50°[解析]方法1：如图，连接AC并延长，交EF于点 ∠APB+2∠BAP=90时，如图. M.AB∥CF,∴∠3=∠1.AD∥CE,∴.∠2=∠4， A ∴.∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE.:∠FCE= 180°-∠E-∠F=180°-80°-50°=50°，.∠BAD= ∠FCE=50°. ,∠ABC=52°，易得∠BAP=52°-∠APB.:'∠APB+ 2∠BAP=90°，.∠APB+2(52°-∠APB)=90°，解得 ∠APB=14°.综上所述，∠APB的度数为109°或38° 或14°. 第3课时三角形的外角 1.B2.D3.B4.B5.A6.70°7.C8.C9.C D 10.130°11.15°12.D13.C14.D15.105 方法2：AB∥CF,AD∥CE,.∠FCE可看作由∠A平 16.解：因为DF⊥AB,所以∠AFE=90°，所以∠AEF=90° 移得到的，.∠A=∠FCE=180°-∠E-∠F=180°- -∠A=90°-35°=55°.因为∠AED是△AEF和△CED 80°-50°=50°. 的外角，所以∠AED=∠A十∠AFE=∠D+∠ACD,所 19.40°[解析]如图，将∠a平移，使其顶点与∠3的顶点重 以∠ACD=35°+90°-42°=83. 合，则∠5=∠1，∠6=∠4，∴∠3=∠1+∠4-∠a=∠2 17.解：不合格.理由：如图，连接C0并延长.因为∠1=∠A +∠3-∠a=180°-∠a-∠a=180°-70°-70°=40°. +∠ACO,∠2=∠B+∠BCO,所以∠1+∠2=∠A+ ∠B+(∠ACO+∠BCO),即∠AOB=30°+45°+90°= 165°≠161°，所以这个零件不合格。 B☒a3 A 沙4 12 20.解：(1)，∠C=90°，∴.∠ABC+∠A=90°.，BD平分 B 同行学案学练测·25·