第10章 培优专题9：整体思想在整式乘除运算中的应用&培优专题10：数学探究—月历中的规律-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

第0章整式的乘法与除法√ 培优专题9：整体思想在整式乘除运算中的应用 家 素 应用一：幂的运算中的整体思想 3.若M=123456789×123456786,N= 1.已知2x+3y一3=0，求3·9·27的值 123456788×123456787,试比较M与N 的大小 象能力·运算能力 九问直观 间观念 推理能力 数 据观 应用二：多项式的运算中的整体思想 ·模型观 4.计算：(a1十a2+…十am-1)(a2十a3十…十 念 2.已知a2+a-1=0,求a3+2a2+1021的值. am-1十am)-(a2+a3+…+am-1)(a1十a2 +…十am).(n≥3，且n为正整数) 意识 创新 识 做神龙题得好成绩（91 ☑同行学案 学练测七年级数学下QD 培优专题10：数学探究一 月历中的规律 素 1.在某月历中，我们可以发现其中某些数满足 2.在某月历中，我们可以发现其中某些数满足 一定的规律，如图①是一份月历，任意选择图 一定的规律，如图①是一份月历，用如图所示 中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相 的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如 图①中的阴影部分)，如图②，将“Z”字型框位 抽象能力 乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差， 例如：3×19+5×17-2×112=-100；14×30 置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘， +16×28一2×222=一100；…；不难发现，结 再相减，例如：在图①中，9×23-8×24=15， 运算 果都是-100. 能力 6×20一5×21=15，不难发现，结果都等于 (1)如图②，设月历中所示图形中间的数为x, 15.如图②，设月历中所示图形中位置C的数 则另外四个数分别为 为x. ;请用含x的式子表示发 (1)图②框中其余4个数用含x的代数式可 现的规律 以表示为A: ,B: 间戏 (2)利用整式的运算对(1)中的规律加以 ,E: 念 D 说明. 推理 (2)用含x的式子表示发现的规律： 能力 日 一二三 四五六 1 2 (3)利用整式的运算对(2)中的规律加以 数据观 3456 789 10111213141516 说明。 17181920212223 (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分 24252627 ·模型观念·应用意识 282930 (阴影部分)5个位置上的数，若最小的数和最 31 大的数的乘积为57，则中间位置C上的数 ① 2 为 日一二三四五六 1234567 ·创新意识 891011121314 15161718192021 22232425262728 C 2930 DE ① ② 92 做神龙题得好成绩28.解：(1)设 $$M = 1 + 3 ^ { - 1 } + 3 ^ { - 2 } + \cdots + 3 ^ { - 2 0 2 5 }$$ ①， 则 3M= 12.解：原式 $$= - 2 x y + 4 y ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 3 x y - 4 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 2 x y =$$ $$3 + 1 + 3 ^ { - 1 } + \cdots + 3 ^ { - 2 0 2 4 }$$ ②②-①， ，得 $$2 M = 3 - 3 ^ { - 2 0 2 5 } ，$$ -7xy， 当 $$x = - 4 ， y = \frac { 1 } { 2 }$$ 时，原式 $$= - 7 \times \left( - 4 \right) \times \frac { 1 } { 2 }$$ $$M = \frac { 3 - 3 ^ { - 2 0 2 5 } } { 2 } . \left( 2 \right)$$ N=1+3 $$N = 1 + 3 ^ { - 1 } + 3 ^ { - 2 } + \cdots + 3 ^ { - n } \textcircled 1 ，$$ ①， =14. 则 $$3 N = 3 + 1 + 3 ^ { - 1 } + \cdots + 3 ^ { - n + 1 } \textcircled 2 ， \textcircled 2 - \textcircled 1 ，$$ ②，②-①，得 2N= 13.D 14.D 15.A 16.B 17.B $$3 - 3 ^ { - n } ，$$ $$N = \frac { 3 - 3 ^ { - n } } { 2 } .$$ 18.-12 $$2 \quad 1 9 . \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 }$$ 第6课时同底数幂的混合运算 20.解：阴影部分的面积： 4b⋅(a+2a+5a)-2a(4b-b)- $$1 . B 2 . A \quad 3 . C \quad 4 . A$$ 2b⋅[(a+2a+5a)-(5a+a)]=4b⋅8a-2a⋅3b- $$5 . \left( 1 \right) x ^ { 1 4 } \left( 2 \right) y ^ { 9 } \left( 3 \right) m ^ { 4 } \left( 4 \right) y ^ { - 9 }$$ 2b⋅2a=32ab-6ab-4ab=22ab. $$6 . C 7 . C 8 . x \quad 9 . - 3$$ 21.解： $$\left( 2 a ^ { 3 } b ^ { 2 } - 3 a ^ { 2 } b + 4 a \right) \cdot \left( - 2 b \right) = - 4 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } -$$ $$1 0 . \left( 1 \right) 1 \left( 2 \right) - \frac { 1 } { 3 } \left( 3 \right) 1 0 ^ { - 1 9 }$$ $$8 a b = - 4 \left( a b \right) ^ { 3 } + 6 \left( a b \right) ^ { 2 } - 8 a b ，$$ 把 ab=3 代入，得原式= $$- 4 \times { 3 ^ { 3 } } + 6 \times { 3 ^ { 2 } } - 8 \times 3 = - 1 0 8 + 5 4 - 2 4 = - 7 8 .$$ $$1 1 . \left( 1 \right) a \left( 2 \right) a ^ { 1 3 } \left( 3 \right) 2 a ^ { 6 }$$ 第3课时多项式与多项式相乘 第7课时科学记数法 1.B 2.A 3. B 4. A CD 1.B 2. B 3. C 4. B 5.A 6.C 7.A $$5 . A \quad 6 . C 7 . C$$ 8.0.0000318 9. C 10.A $$8 . - 1 9 \quad 9 . x ^ { 2 } - 2 x - 3 \quad 1 0 . a ^ { 2 } + 1 5 a + 5 0$$ $$1 1 . 1 . 5 \times { 1 0 ^ { 1 5 } }$$ 1 12.1000 11.B 12.B B13.D14.C 15.B 16.1 B 17.CD 18.A 10.2 整式的乘法 19.2 20.3 $$2 1 . \left( 1 \right) - 1 2 0 a ^ { 9 } \left( 2 \right) 2 a ^ { 2 } + 1 0 a + 3$$ 第1课时单项式与单项式相乘 $$\left( 3 \right) 5 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } - 1 4 x ^ { 2 } + 3 x$$ 1.B 2. C 3.ABC 4. C 5. D 6.C 7.D 22.解： $$\left( 1 \right) \because A = 1 + 2 x ， B = 1 - 2 x + 4 x ^ { 2 } ， C = 1 - 4 x ^ { 3 } ， \therefore A .$$ $$8 . - 4 x ^ { 7 }$$ $$B - C = \left( 1 + 2 x \right) \left( 1 - 2 x + 4 x ^ { 2 } \right) - 1 + 4 x ^ { 3 } = 1 - 2 x + 4 x ^ { 2 }$$ $$9 . \left( 1 \right) a ^ { 1 8 } \left( 2 \right) 3 m ^ { 8 } \left( 3 \right) a ^ { 6 } b ^ { 5 } \left( 4 \right) - 2 3 a ^ { 1 2 }$$ $$1 0 . C \quad 1 1 . 1 1 \quad 1 2 . - 1 8 x ^ { 6 } y ^ { 3 } 1 3 . 3 a b ^ { 3 }$$ $$+ 2 x - 4 x ^ { 2 } + 8 x ^ { 3 } - 1 + 4 x ^ { 3 } = 1 2 x ^ { 3 } . \left( 2 \right)$$ 当 $$x = - \frac { 3 } { 2 }$$ 时 $$1 4 . A \quad 1 5 . 1 5 a ^ { 7 } b ^ { 2 } c ^ { 7 } \quad 1 6 . 9 \times { 1 0 ^ { 1 0 } } 1 7 . 4$$ $$A \cdot B - C = 1 2 x ^ { 3 } = 1 2 \times { \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 } } = - \frac { 8 1 } { 2 } .$$ 18.(1)24ab4 $$1 8 . \left( 1 \right) 2 4 a ^ { 6 } b ^ { 4 } \left( 2 \right) - \frac { 2 } { 8 1 } a ^ { 1 1 } b ^ { 9 } \left( 3 \right) - 3 x ^ { 1 6 } \left( 4 \right) 2 \left( x + y \right) ^ { 2 4 }$$ 23.解 $$： \left( x + 1 \right) \left( x ^ { 2 } - x + 1 \right) - \left( x - 1 \right) ^ { 2 } \left( x + 1 \right) - x \left( x + 1 \right) =$$ 19.解：因为 $$a ^ { m + 1 } b ^ { 2 m } \cdot { a ^ { 2 n - 1 } } b ^ { n + 2 } = a ^ { 5 } b ^ { 9 } ，$$ ，所以 $$x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x + x ^ { 2 } - x + 1 - \left( x ^ { 2 } - x - x + 1 \right) \left( x + 1 \right) - x ^ { 2 } -$$ m+1+2n-1=5 $$x = x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x + x ^ { 2 } - x + 1 - x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x ^ { 2 } + x + x ^ { 2 } + x - x ^ { 2 } + x -$$ ， ，两式相加得 3m+3n=12， ，故 2 2m+n+2=9 $$x - 1 - x ^ { 2 } - x = 0 .$$ .因为原式的结果为 0， ，与 x 的值无关， m+n=4. 所以把 x=2025 错抄成 x=2052， ，结果也是正确的. 20. .解：原式 $$= \frac { 1 } { 2 } x ^ { 8 } y ^ { 4 } .$$ 当 $$x = 4 ， y = \frac { 1 } { 8 }$$ 时，原式 $$= \frac { 1 } { 2 } \times { 4 ^ { 8 } } \times$$ 24.解：由题意，得 (x+2)(x-2)-(x-3)(x+1)=5x， ，即 2x-1=5x， 解得 $$x = - \frac { 1 } { 3 } .$$ $$\left( \frac { 1 } { 8 } \right) ^ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \times { 2 ^ { 1 6 } } \times { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 1 2 } } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 1 3 } \times { 2 ^ { 1 6 } } = 2 ^ { 3 } = 8 .$$ 25.解：根据题意，面积增加 题意，面积增加了 $$\frac { 1 } { 2 } \left( 2 x + 1 + 5 \right) \left( x - 2 + 5 \right) -$$ - $$2 1 . 6 a ^ { 5 }$$ m n 22.解：根据题意，得 × $$\frac { 1 } { 2 } \left( 2 x + 1 \right) \left( x - 2 \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( 2 x ^ { 2 } + 6 x + 6 x + 1 8 \right) -$$ /n 2 2 = $$= - 4 0 m ^ { 6 } n ^ { 3 } .$$ $$\frac { 1 } { 2 } \left( 2 x ^ { 2 } - 4 x + x - 2 \right) = x ^ { 2 } + 6 x + 9 - \left( x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x - 1 \right) =$$ 第2课时单项式与多项式相乘 $$\left( \frac { 1 5 } { 2 } x + 1 0 \right) c m ^ { 2 } ，$$ 3时，原式 $$= \frac { 1 5 } { 2 } \times 3 + 1 0 = 3 2 . 5 ，$$ 1.D 2.B 3.B 4. D 5. C 所以面积增加了 $$3 2 . 5 c m ^ { 2 } .$$ 6.五7. -8 培优专题9：整体思想在整式 $$8 . \left( 1 \right) 3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } y ^ { 2 } \left( 2 \right) x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } y + \frac { 1 } { 2 } x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }$$ 乘除运算中的应用 $$\left( 3 \right) - t ^ { 3 } + 4 t ^ { 2 } - 1 2 t$$ 1.解： $$3 \cdot { 9 ^ { x } } \cdot { 2 7 ^ { y } } = 3 \cdot { \left( 3 ^ { 2 } \right) ^ { x } } \cdot { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { y } } = 3 \cdot { 3 ^ { 2 x } } \cdot { 3 ^ { 3 y } } =$$ 9.B $$3 ^ { 1 + 2 x + 3 y } .$$ .因为 2x+3y-3=0， 所以 2x+3y=3， ，所以原式 $$1 0 . 6 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } 1 1 ， 2 a \left( a + b \right) = 2 a ^ { 2 } + 2 a b$$ $$= 3 ^ { 1 + 3 } = 3 ^ { 4 } = 8 1 .$$ · 22. 同行学案学练测 2.解：因为a2十a一1=0①，所以a≠0.将等式两边都乘a, 可得a3十a2-a=0②.将①②相加得a3十2a2-1=0, 9.07z+4(②m-号m+局 即a3+2a2=1.所以a3+2a2+1021=1+1021=1022. 10.D11.(1)40804(2)9216 3.解：设123456788=a,则123456789=a+1,123456786=a 12.A13.A -2,123456787=a-1,从而M=(a+1)(a-2)=a2-a 14.(1)D(2)D15.B16.C -2,N=a(a-1)=a2-a,所以M-N=(a2-a-2)- 17.x2-2x (a2-a)=-2<0,所以M<N. 18.解：因为(x十y)2=x2+2xy十y2=9,(x-y)2=x2 4.解：设a2十a3十…十am-1=M,则原式=(a1十M)(M+ 2xy十y2=5,两式相加得2x2十2y2=14,所以x2+y =7. a,)-M(a1+M+a,)=aM+a1a,+M2+a,M-aM- 19.解：小刚的说法有道理.因为原式=a2-b2+a2+2ab十b2 M2-anM=a1am· -2a2-2ab=0,与a,b的取值无关. 培优专题10：数学探究一月历中的规律 1.解：(1)x+8x-8x-6x十6(x+8)(x-8)+(x 20.解：解方程组 3x+2y=0,得 y=3原式=4x2+4y (2x-3y=13,(x=2 一6)(x+6)一2x2=一100(2)设中间的数为x,则左上 +y2-2x2+2y2-x2+2xy-y2=x2+6xy+2y2.当x 角的数为x一8，右上角的数为x一6，左下角的数是x十6， =2,y=一3时，原式=4-36+18=-14. 右下角的数是x十8，.(x十8)(x一8)十(x十6)(x-6)一 第3课时乘法公式的灵活运用 2x2=x2-64十x2-36-2x2=-100,故(x十8)(x-8)+ 1.D2.BC3.D4.A5.D6.D (x一6)(x十6)一2x2=一100这一规律成立. 7.解：原式=a2-1-a2+4a-4=4a-5. 2.解：(1)x-8x-7x十7x十8 8.(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(2)a3+3a2b+3ab2+b (2)(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15 (3)x2-2xy+y2-m2+2mm-n2 (3)设“Z”字型框架中位置C的数为x,则A,B,D,E四个 9.解：原式=a2+6a十9-6a-8=a2+1,当a=一2时，原式 数分别为x-8,x一7，x+7,x十8.由题意，得(x一7)(x十 =4+1=5. 7)-(x-8)(x+8)=(x2-49)-(x2-64)=15. 10.解：原式=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab,当a= (4)11 10.3乘法公式 -2,b=2时，原式=-4. 第1课时平方差公式 11.C12.B13.AC14.B 1.A2.D3.D4.A 15.解：原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.,a2+2b 5.40496.(1)9x2-4(2)9a2-4b2(3)-2x-4 -1=0,∴.a2+2b2=1,∴.原式=1. 7.(1)249991(2)0.9996 16.解：(1)对(2)(3x-2y)2-(x-2y)(x+2y)=9x2- 8.(1)999999(2)1 12xy+4y2-x2+4y2=8x2-12xy+8y2. 9.C 17.解：.(a+b)2=a2+2ab+b2=7,(a-b)2=a2-2ab+b2 10.獬：原式=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2= 5x2-5y2,当x=1,y=2时，原式=5×12-5×22=5 =4a2+62=号×[a+b)+(a-6)2]=号×11= 20=-15. h=}×[a+br-(a-门-×8=具 11 11.CD12.D13.C14.A 18.獬：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22+1)+1= 1成①-12号 (22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1=(24-1)+1 16.(n+1)2-n2=2m+1 =264」 17.解：原式=-(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)= 培优专题11：广角镜一奇妙的“贾宪三角” -(22-1)×(22+1)×(24+1)=-(24-1)×(24+1)= 1.①③④ -(28-1)=-(256-1)=-255. 2.20a3b3 18.解：原式=(4a2-9b2)(4a2+962)=16a4-81b,当a= 3.解：(1)64(2)814=(7+1)14=714+14×718+91×712 -1,b=-1时，原式=16×(-1)4-81×(-1)￥=-65. +…十14×7+1，.814除以7的余数为1，.假如今天是 19.解：(1)a2-b2(a十b)(a-b)(2)(a+b)(a-b)=a 星期三，那么再过84天是星期四. -b2(3)20242-2023×2025=20242-(2024-1)× 培优专题12：利用乘法公式求图形面积 (2024+1)=20242-(2024-1)=20242-2024+1 1.A =1. 2.C[解析]，a十b=20,ab=80,.S阴影都分=S正方形An十 第2课时完全平方公式 1.C2.B3.A4.7或-15.D6.BD7.A8.C SumcR-SAA0-SAm-a+b(a+6)-a-