9.2 第3课时 选择合适的方法解方程组&培优专题6：二元一次方程(组)的解的常见应用-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

培优专题5：学科融合一光线传播中的数学问题 1.A2.A3.B4.A5.C 6.B[解析]如图，过点B,D,F分别作水平线的垂线，则 PC∥DE∥QG,∴.∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+ ∠DPG.由题意，得∠DBC=号∠ABP=号(90-a), ③ ∠DPG-号∠HPQ-号(90-B∴∠BDF=号(90- 第9章二元一次方程组 9.1认识二元一次方程组 。)+号(80-创=号（18o-a-0,即7=120-号a+ 1.A2.CD3.a≠4 B,即号(a+m=120°-y 4.B5.C6.2 7.C8.D H 9./+y=40 10x+8y=370 10.C[解析]设可以装x箱大箱，y箱小箱.根据题意得4x +3y=32,x=8-是又x,y均为自然数 L= 或=2 或= 7.70° =0y=4或y=8x+y=8或9或10，∴所装 章末复习 的箱数最多为10箱. 11.B[解析]设购买笔记本x本，碳素笔y支.根据题意得 1.C2.145°3.60°4.B5.D6.A7.30°8.29.A 10.A11.B 3x十2y=28,y=14-号又：x,y均为正整数。 12.解：：BF⊥AC,HE⊥AC,.BF∥EH,.∠H= /x=2 ∠ABF,∠2=∠FBC.FG∥BC,.∠1=∠ABC. ,∠ABC=∠FBC+∠ABF,∴.∠1=∠2+∠H. =11或 4成二6或{工一8，·共有4种购买一 或 y=8 方案 13.解：(1)∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°，.∠2= ∠DFE,∴.AB∥EF,.∠3=∠ADE.DE∥BC, 12.B13.3 ∴∠ADE=∠B,∠3=∠B.(2)DE平分∠ADC, 3x+2y=19 14. 15.-3 ∴∠ADE=∠EDC.:DE∥BC,∴∠ADE=∠EDC= 5x+4y=35 ∠B.:∠2=3∠B,∠2+∠ADE+∠EDC=180°， 16.解：由题意得/m-2-2-1 ,解得m=5. ∴5∠B=180°，.∠B=36.又∠3=∠B,.∠1= (m≠-1 180°-∠DFE=∠3+∠EDC=36°+36°=72. 17.解：将=-1 代入方程组 (3x+2y=m ,得m=-3十4= 14.解：(1)如图①，过点P作PQ∥AB.PQ∥AB,AB∥ (y=2 nx-y=1 CD,.CD∥PQ..∠FPQ=∠DFP=40°.又，PQ∥ 1,-n-2=1,n=-3.所以m2+n2=12+(-3)2=1+9 AB,∠BEP=∠EPQ=30°，∴.∠EPF=∠EPQ+ =10. ∠FPQ=30°+40°=70°.(2)∠PEA=∠PFC+ ∠EPF.理由：如图②，过点P作PN∥AB,则PN∥CD, 18.解：把 |x=2 y=-1 代入方程组，得3×2-2×(-1)=8,5×2 ∴∠PEA=∠NPE.,PN∥CD,∴.∠FPN=∠PFC 一1=9.所以被污染的内容“○”和“△”分别是8和9. ,∠NPE=∠FPN+∠EPF,∴.∠PEA=∠PFC+ 9.2解二元一次方程组 ∠EPR.(3)∠BGP=90+名a.理由：如图@，过点P 第1课时代人消元法 作PM∥AB,则PM∥AB∥CD.同(1)得∠EGP= 1.C2.A3.C4.C5.A ∠BEG+∠GPM.,'∠BEP的平分线和∠EPF的平分线 交于点G,同（②得∠GP=90°+2∠CFP=90°+2a: 6示例：0y=2z+3②xy7.=2 v=-3 8.(1)/12 2=2 y=6 y=1 9.410.2111.312.-23 Q-- 13.A14.B 15.(1)/=2 /x=5 ly=1 16.解：由题意得x=-y,将x=-y代入8-5y=2a 2018,得y=2,将y=2代人③，得x十2=1，解得x= l2x+7y=a-18 |x=-1 得/3y-5y=2a 1-2y+7y=a-18 解特-g所的值为 一1，所以原方程组的解是 (y=2 第3课时选择合适的方法解方程组 17.解：把②代入①，得3x-4=5,解得x=3,把x=3代人 导图1：代人消去y ②，得3一2y=1,解得y=1,原方程组的解为任=3 导图2： y=1 解得 18.解：将方程②变形为9x一6y+2y=19,即3(3x-2y)+ 2x+y=4 变形 =-2x+4 -2 2y=19③，把方程①代入③，得3×5+2y=19, 代 代入 y=2,把y=2代人①，得x=3,∴.原方程组的解 3x-2y=13 x-2-2x+4)=13解得3 为/3 导图3：①×3-②×2 y=2 导图4：示例： 第2课时加减消元法 解得 x=2或x=-2 1.A2.BD3.B x-y=0 变形 x=Y 4.示例：325.y=0 代入 代入 y=2或=-2 Ix-2yl=2 y-21=2 m=2 x=5 4 消去x 6.(1) (2) (n=5 1 化简 得 y=2 y=2 7.78.1 又背得桥们第力程细任-多30仁 y=-3,代入2z 原方程组的解为侵皮仁子 ∫x=2 +my=8,得2X(一3)+（一-）Xm=8,解得m=-兰 82 x=22. x一29 (x=-1 10.解：设白色键的个数为x个，黑色键的个数为y个.由题 3. x=2 4. 11 v=1 意得/+y=88 y=5 (y=4 红y=16,解得/=52 答：白色键的个数为52 y-29 y=36 11 m=- 个，黑色键的个数为36个. 36. x=2 5. 11.B12.513.1 b=11 y=1 14.解：由题意得x十y=0,解方程组亿+y=0 3z-y=8得 7.解：整理方程组，得 5x-7y=230@×7+④×3，得 2x+3y=15③ ,x=2 代入m.x十y=60,得m一n=30.又 29x=174,即x=6.把x=6代入③，得y=1,则方程组的 y=-2 “m,n互为相反数，∴m十n=0,m一n=30 解为 /x=6 m十n=0,解得m y=1 =15,n=-15. &解：由①，得2z+y=6③，将③代人②，得是x+哥×6= 15.解：根据题意得 2x+3=-4解得任1 /3x-y=5 8,解得x=4.把x=4代入③，得2×4+y=6,解得y= y=-2 将 4a-10b=-26 /x=4 -g代 x=1 4a.x+5by=-26 一2.所以原方程组的解为 ax一by=一2，得 y=-2 (a+2b=-2 ,解 得/4 9.解：把方程①和②整体相加，得x十y=4③，分别把③代 6=1· x=-3 人①和②，得x=一3，y=7,所以原方程组的解是 16.解：设A种型号的新能源汽车的单价是x万元/台，B种 y=7· 型号的新能源汽车的单价是y万元/台.根据题意得 10.解：由①-②，得x-3y=-1③，由①十②，得x-y= z+2=9g解 /2x-y=6 得y=36答：A,B两种型号的新能源汽 /x=21 1④，联立③④，解得 y=1所以原方程组的解 x=2 车各自的单价分别为21万元/台和36万元/台. (x=2 是 17.解：②-①，得3x+3y=3,即x+y=1③，①-③× y=1 同行学案学练测·19· 11解：关于x,y的二元一次方程组C红十dy=4 Jax+by=3 部件，2m3钢材做B部件，恰好配成整套这种仪器。 的解为 3.解：设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母.由 x=-5,(a(3m+n)+b(m+3m)=33m+n=-5 y1c(dc+3m)m1 中 解 题意得/+y=120 l50x:20y=1:2解得 =100答：每天安排20 x=20 得/m2 m=1m+m2=(-2+1)2=(-1D=1, 名工人生产螺栓，100名工人生产螺母，恰好能使每天生产 出来的产品配成一套. 12.7020 /3x+4y=330 18解，由题意得X2a十6=5 4. la-b=4解得a-1 /8a+b=5 即 x=y-5 (3+a-b=7 b=-3 5.解：(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意， 14.解：设x名学生获一等奖，y名学生获二等奖.根据题意 得/r+y=30 得/2+y=500 ,解得 y=20答：10名学生获-等 x=10 (25x+35y=1450 0'解得/=300 y=200答：购进甲矿泉水 (80x+60y=20001 300箱，购进乙矿泉水200箱.(2)(35-25)×300+(48 奖，20名学生获二等奖。 35)×200=5600(元).答：该商场销售完这500箱矿泉 培优专题6：二元一次方程（组） 水，可获利5600元. 的解的常见应用 6.D 7.ACD 1.C2.23.-54.C5.D6.C (2x+2y=180 8. x=1 (y-x=30 7解：将)一代人红一y=-2,得-12+6=-2，则6= 9.解：(1)设装运乙、丙水果的汽车分别为x辆、y辆.依题 10.将亿=5代人ax十5y=15,得5a+20=15,则a=一1， y=4 意行信柱公车成器乙水米的汽车有 2辆，装运丙水果的汽车有6辆.(2)设装运乙、丙水果的 (-1)=2. 汽车分别为a辆，b辆依题意，得m十a十6=20 4m+2a+36=72解得 8.解：按照丙的想法，将第二个方程组 /3a1x+2b1)y=5c1变 /a=m-12 3a2x+2b2y=5c2 b=32-2m 答：装运乙水果的汽车有(m一12)辆，装运丙 a(3)+6(号)=c, 水果的汽车有(32-2m)辆. 形为 再由方程组 第2课时二元一次方程组与实际问题(2) :(号x)+b(号)=c 1.(1)A工程队加固河坝的长度B工程队加固河坝的长度 í /x+y=180 x=60 z+6y的解是=3 5x=3 (2)A工程队工作时间B工程 azx+b2y=c2 y=4可得 ,解得 y=120 +=20 5y=4 (a+b=20 (a=5 队工作时间 (3)A工程队加 (3a1x+2b1y=5c 的解是r=5 12a+8b=180 b=15 ,所以方程组 3a2x+2b2y=5c (y=10 固河坝60米，B工程队加固河坝120米. 9.3二元一次方程组与实际问题 2.解：设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的 第1课时二元一次方程组与实际问题(1) 40x+90y=1320 x=15 价格是y元.依题意得 1.10036x20y28×100 60x+120y=1860·解得 =8 解：设需要36元/千克的糖果x千克，需要20元/千克的糖 答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价 果y千克.由题意得亿+y=10 =50 格是8元. 36x+20y=28X10'解得 y=50 3.解：(1)(1+30%)x(1一20%)y(2)根据题意得 答：需要36元/千克的糖果50千克，需要20元/千克的糖 /x-y=180 果50千克. 1十30%0x-Q=20%y=320’廨得/-352 。今年 y=172' 2.640x240y1:3 的总收入为(1+30%)×352=457.6（万元），今年的总支出 解：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件.由题 为(1-20%)×172=137.6（万元）.答：今年的总收人为 意得/十y= 2,解得答：应用4船时 457.6万元，今年的总支出为137.6万元. (3×40x=240y 4.解：设这根弹簧不挂物体时的长度是xcm,所挂物体的质 ·20·同行学案学练测 量每增加1kg时，弹簧的长度增加ycm,则 速度×40秒=桥长一火车长.(2)设火车的速度为xm/s, 2y+x=12.6解得=12 /4y+x=15.2 答：这根弹簧不挂物体时的 (60x=1000+y 解得 x=20 y=0.8 车长为ym由题意得 y=200 答： (40x=1000-y 长度是12cm. 火车的速度和车长分别为20m/s和200m. 5.解：(1)180(2)设乙同学接温水的时间为xs,接开水的时 10.A x=12 20x+15y=280 11.解：(1)衣服的价值(2)B(3)选择南南的方法，解得 间为ys,根据题意得 ,解得 8… 15y×60=20x×1 y=3 y=2选择阳阳的方法，懈得x=14,寸-2.答：这 /x=14 8 8 答：乙同学接温水的时间为12s,接开水的时间为3s 件衣服价值14枚银币，每月报酬为2枚银币. 6.A7.6.16.9 12.解：(1)设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次 8.解：设甲车间生产电视x台，乙车间生产电视y台.由题意 得/+y=300 x=160 得y分，根据题意得任十5)=25 T95%·x+80%·y=300X88%解得 答：甲 3z+3y=30解得=10 答：投中 y=3 y=140 “幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分.(2)2 车间生产电视160台，乙车间生产电视140台. ×10十4×3=32（分）.因为32>30，所以根据这种得分规 9.B10.CD 则，小红能得到一张奖券. 11.解：设甲店购进洗衣机x台，乙店购进洗衣机y台.依题 /x-12=y+12 |x=46 13.任务1,58-，28x2z十7×58-，28x=51任务2.1C 意得十12=5y一12十g解得-2答：甲店购进 2 2 队胜20场积分十负10场积分=50分D队胜19场积分 洗衣机46台，乙店购进洗衣机22台. +负11场积分=49分(2)代入消元法(3)A任务 12.解：(1)4070(2)设每个波比跳消耗热量x大卡，每个 18x+12y=48 /20x+40y=132 3: 深蹲消耗热量y大卡.依题意得 解得 13x+17y=43 |20x+70y=156 /x=5 培优专题7：工程问题和计费问题 答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗 y=0.8 1.解：(1)设甲队每天的费用为x元，乙队每天的费用为y 热量0.8大卡 元.依题意得{ 5x+5y=3500 解得/-300 答：甲队每天 第3课时二元一次方程组与实际问题(3) 3x+6y=3300 y=400 1.D 的费用为300元，乙队每天的费用为400元.(2)设甲队 2.上一10+—(5y) +(2y)+(4y)+ 单独施工需m天才能完成，乙队单独施工需n天才能完 (5x) -4x 5x=5y+10 5+5=1 m n 4x=4y+2y 成.依题意得 ,令1 3+6= m ,上=t,则原方程组可 n 3.(1)从上面数有35个头从下面数有94只脚鸡和兔各 m n 有多少只(2)已知量：鸡兔头的总数量及鸡兔脚的总数 1 量，一只鸡有2只脚和1个头，一只兔子有4只脚和1个 5s+5t=1 s一15 化为 解得 经检验，方程组的解符合题 头.未知量：鸡和兔子的只数.设鸡有x只，兔有y只. 3s+6t=1 2 一15 (3)①鸡头数量十兔头数量=头的总数量②鸡脚数量十 m=15 兔脚数量=脚的总数量（④+y=35 意，则 2x+4y=94 15,所以300m=4500,400m=3000. n=2 4.解：(1)生产甲种零件的人数十生产乙种零件的人数= 因为4500>3000，所以单独请乙队施工费用较少. 660,生产的甲种零件数×2=生产的乙种零件数.(2)设 x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，根据题意可得 a+(2-1)b=9 2.解：依题意得 a=7 +3+3-1D6+)=22解得 答：a x+y=660 (3)解得/-275 b=2 y=385 答：275人生产甲种零 (2×14x=20y 的值为7，b的值为2. 件，385人生产乙种零件. 3.解：(1)设出租车的起步价是x元，超过1.5km后每千米 5.B6.B7.B8.700 /x+(4.5-1.5)y=10.5 收费y元。依题意，得 9.解：(1)火车行驶速度×1分钟=桥长十火车长，火车行驶 x+(6.5-1.5)=145:解得第9章二元一次方程组☑ 第3课时选择合适的方法解方程组 【情境引入】爱思考、爱学习的小龙在解下列方程组时，分别绘制了以下3幅思维导图，请你帮他补充 完整 解方程组. 2x-y=5 2x+y=4 2x+3y=8 (1) (2) (3) 3x+4y=2 3.x-2y=13 3x-2y=-1 导图1： 解得y 变形 =-1 2x-y=5 y=2x-5 x=2 代入 ① 解得x 3x+4y=2 一元一次方程 3x+4(2x-5)=2 ② 其中，①为 ,②为 导图2： 变形 解得 2x+y=4 Y= 代入 代入 3x-2y=13 3x-2( 解得 )=13 K- 导图3：（在图中补充对方程①②所做的变形） 2x+3y=8① (6x+9y）-(6x-4y)=24-(-2) 解得 3x-2y=-1② 代人 2 解得 x=1 x一y=0 【变式应用】接着小龙打算利用上面的思路解方程组 ,请你帮他完成下面的解题过程 |x-2y|=2 导图4： 变形 解得 x-y=0 代入 代入 lx-2yl=2 消去 解 化简 原方程组的解为 做神龙题得好成绩(55 ☑同行学案学练测七年级数学下QD 类型一：其中一个未知数的系数绝对值为1 类型五：两个方程的常数项相同 2x-y=-4① (3m+2b=11① 1.解方程组： (4x-5y=-23② 5.解方程组：-6m-b=11@ 类型二：其中一个未知数的系数相差1 12x-7y=3① 类型六：一个未知数的系数成倍数关系 2.解方程组： 3x+4y=10② 2x+3y=7① 6.解方程组： 4x-5y=3② 类型三：两个未知数系数之差的绝对值相等 |x+2y=7① 类型七：有一个方程是比例式 3.解方程组： 2x+y=2②1 f2x+3y=15① 7.解方程组：x十1=y+4 7 5 ② 类型四：两个未知数系数之和相等 类型八：整体代入法解方程组 4.解方程组： /3x-y=5① 「 2x+6y=10② 3(2x+y)-4① 8.解方程组： 3 6(2x+y)=8② 56做神龙题得好成绩 第9章二元一次方程组☑ 类型九：用整体加减法解方程组 13.[新课标·新考向]如图所示的程序框图，当 3x十2(x+y)=-1① 输入x的值为4时，根据程序计算，输出的 9.解方程组： 3y-4(x+y)=5② 结果为5；当输入x的值为3时，根据程序计 算，输出的结果为7.请你计算该程序框图中 a,b的值. 是 ×2aH +b 输人xx为偶数？≥ 输出/ +aP-b 类型十：反复应用加减法解方程组 2023x-2024y=2022① 10.解方程组： 2022x-2021y=2023② 14.汉字之美，美在精髓，美在风骨.为继承和弘 类型十一：用换元法解方程组 扬中华优秀文化，培养学生规范书写汉字的 11.[教材变式·整体思想]已知关于x,y的二 良好习惯，某校举办了“一听一写承汉韵，一 元一次方程组cx+dy=4 |ax+by=3」 /x=-5 撇一捺传华魂”汉字听写大赛.学校为在大 的解为 y=1 赛中获得一、二等奖的共30名学生购买奖 a(3m+n)+b(m+3n)=3 品（每人一份），其中一等奖奖品每份80元， c(3m+)+dm+3m)=4:求(m+n)2 且 二等奖奖品每份60元，共花费了2000元， 的值 获一等奖、二等奖的学生分别是多少？ 类型十二：选用合适的方法解方程组并解决问题 12.[教材变式·考点整合]一副直角三角尺按 如图所示的方式摆放，且∠2比∠1小50°， 则∠1= °，∠2= 45 30° 做神龙题得好成绩（57 /同行学案学练测七年级数学下QD 培优专题6：二元一次方程（组)的解的常见应用 平 素 应用一：共解问题 1.如果方程组 x=y+5 的解也是方程2x一3y 2x-y=5 的值 抽象 十a=5的解，那么a的值是() A.20 B.-15 C.-10 D.5 运算 2.（眉山中考)已知关于x,y的方程组 x+2y=k-1 的解满足x十y=5,则的 2x+y=5k+4 值为 3x+2y=5 3.已知方程组 4x+y=5 有 ax-by=-5 lax+by= 相同的解，则a2一b2的值为 应用四：根据已知方程组，利用构造法解题 应用二：已知二元一次方程组的解满足某一关系， 8.三个同学同时解一道题：若方程组 求字母的值 a1x+b1y=c1的解是 4求方程组 x=3 /4x+3y=14 a2x十b2y=c2 4.若方程组 的解中x与y的 kx+(k-1)y=6 3a1x+2b1y=5c1 的解 值相等，则=() 3a2x+2b2y=5c2 A.4 B.3 C.2 D.1 三个人各自提出不同的想法： 甲说：“这个题目好像条件不够，不能求出它 x+4=y 5.若方程组 中的x是y的2倍，则 2x-y=2a 的解.” 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以 a等于( A.-9 B.8 C.-7 D.-6 试试.” 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的 (3x+2y=k 6.已知 x一y=4级+3如果x与y互为相反 两边都除以5，通过换元的方法来解决呢？” 参考他们的讨论，你认为这个题目应该怎 数，那么( ) 么解？ A.k=0 3 B.=- 4 C=昌 DA- 应用三：错解问题 a.x+5y=15① 7.甲、乙两人共同解方程组 4x-by=-2②1 由于甲看错了方程①中的α，得到方程组的解 为=-3 y=一1乙看错了方程②中的6，得到方程 58做神龙题得好成绩