第8章 培优专题3：模型观念—平行线中的四大模型-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

8.2平行线及其判定 7.解：CE⊥CF,DG⊥DH,∴.∠ECF=∠GDH=90°. 第1课时平行线基本事实I :∠BCF=∠BDH,.∠BCF-∠ECF=∠BDH- 1.C2.③⑤3.(1)平行(2)相交(3)重合 ∠GDH,即∠DCE=∠BDG,∴.CEDG. 4.解：如图所示，用符号表示为PM∥AB,PN⊥AB. 8.D9.50°10.平行 11.909034同位角相等，两直线平行 12.解：EF∥GH.理由：因为∠2=∠CGM,∠2=∠1，所以 ∠1=∠CGM.又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠CGM +∠4，即∠MEF=∠EGH,所以EF∥GH. 13.解：CM∥DN.理由：，CF平分∠ACM,∴.∠ACM= 2∠1.∠1=72°，.∠ACM=2∠1=144°，.∠BCM= 180°-144°=36°.∠2=36°，.∠2=∠BCM, 5.C6.B7.D ..CM//DN. 8.解：(1)一条.图略.(2)平行.(3)如果两条直线都与第 14.解：因为AE是∠DAC的平分线，所以∠DAC= 三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2∠DAE.因为∠DAC+∠BAC=180°，∠B+∠C+ 9.解：A,B,C三点在同一条直线上.理由如下：因为AB∥ ∠BAC=180°，所以∠DAC=∠B+∠C.因为∠B= EF,AB是经过B点且和直线EF平行的直线.又因为BC ∠C,所以∠DAC=2∠B,所以∠DAE=∠B,所以 ∥EF,BC也是经过B点且和直线EF平行的直线.根据 AE∥BC. “经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”可 第3课时平行线判定定理 知AB,BC是同一条直线，即A,B,C三点在同一条直 1.B2.D3.∠B∠14.B5.C 线上 6.BC//ED AB//DF 7.B 8.DE BC 10.A11.垂直 9.解：OB∥AC,OA∥BC.理由：因为∠1=50°，∠2=50°，所以 12.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面 ∠1=∠2，所以OB∥AC.因为∠2=50°，∠3=130°，所以 13.解：(1)答案不唯一，如正面：AE∥MF;上面：AA'∥BB; ∠2+∠3=180°，所以OA∥BC. 右面：HR∥DD'.(2)EF∥A'B'.理由：，EF∥AB, 10.C11.B12.C13.①③④14.(1)30(2)60 A'B'∥AB,∴.EF∥A'B'(平行于同一条直线的两条直线 15.解：(1)：EA平分∠BEF,EC平分∠DEF,∴.∠2= 平行). 14.解：(1)分类 ∠I=∠BEF,∠3=∠A=7∠DER.:∠BEF+ (2)如图所示，三条直线可以将平面分成四部分或六部分 ∠DEF=180,∠2+∠3=2(ZBEF+∠DEF)= 或七部分 90°，∴.AE⊥EC.(2)AB∥CD.理由：由题意，得∠2 ① ① ② ∠1，∠3=∠4.又，∠1=∠A,∠4=∠C,∴∠A=∠2， ② l2 ③ ④ ∠3=∠C,.ABEF,EF∥CD,∴.ABCD. ③ ⑤ ⑥ 16.解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM=25°，在∠CDE的 ④ 内部作∠EDN=10°.∠B=25°，∠E=10°，∠B= 12 ∠BCM,∠E=∠EDN,.AB∥CM,EF∥ND.又 ③/ ② :∠BCD=45°，∠CDE=30°，.∠DCM=20°，∠CDN= /① ④ ③ ② 20°，∴.∠DCM=∠CDN,∴.CMND,∴.ABEF. ① ④ ⑤ ⑥ A B ⑤ ⑥ 1,⑦ C---M N------>D 第2课时 平行线基本事实Ⅱ E 1.A2.B 第4课时平行线判定方法的综合应用 3.(1)AB CD E℉∠1与∠6，∠2与∠5 1.D2.B3.C4.C (2)∠3∠5 AB EF AC AC EF AB 5.90°180°90°12180°ABCD 4.B5.平行同位角相等，两直线平行 6.解：AB∥EF.理由：：CG平分∠DCF,∠FCG=65°， 6.90∠2∠1同角的余角相等同位角相等，两直线 ∠DCF=2∠FCG=130°，.∠BCE=∠DCF=130°. 平行 ∠B=50°，∴.∠B+∠BCE=180°，.AB/EF. ·18·同行学案学练测 7.C 8.ABC 7.解：如图，过点E,F分别作AB的平行线EG,FH,则 9.解：(1)平角定义BCF同位角相等，两直线平行 AB∥EG∥FH∥CD.因为AB∥FH,所以∠ABF= (2)平行理由：，BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE. ∠BFH.因为FH∥CD,所以∠CDF=∠DFH,所以 ∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF十∠ABF.同理可得 .∠ABC=2∠E,∴∠ABE=∠E,∴.ABEF ∠BED=∠DEG+∠BEG=∠CDE+∠ABE.因为 10.解：1：∠2：∠3=2：5，∠2=号∠D0E,∠D0E: ∠ABF= 号∠ABE,∠CDF=号∠CDE,所以∠BFD= ∠3=4：5：∠D0E+∠3=180，∠D0E=180×号 名∠BED,所以∠BED:∠BFD=3:2. =80,∠3=180°×号-100，∠00E=∠3=100 OA平分∠COE,.∠AOC=∠AOE= 2∠COE= 50°，∴.∠AOF=180°-∠AOE=130°，.∠AOF的度数 为130°.(2)平行.理由：由(1)可知∠AOC=∠AOE= 8.解：延长BE交DC的延长线于点M,如图所示.设∠B= 50°.∠1=50°，.∠AOC=∠1，AB/CD x,则∠BEF=2x,∠D=4x,所以∠MEF=180°-2x.因 为AB∥CD,所以∠1=∠B=x.因为EF⊥DF,所以 8.3平行线的性质 ∠F=90°.由四边形内角和为360°，得x+4x十90°+ 第1课时平行线的性质 180°-2x=360°，解得x=30°，所以∠BEF=60°. 1.A2.C3.25°4.C5.1056.C A 7.B8.C9.C10.B E 11.(1)360(2)95(3)27012.14°13.125° 14.解：(1)∠CED=∠GHD,∴.CE∥GF.(2)∠AED+ ∠D=180°.理由：CE∥GF,∠C=∠FGD.又 MI-c :∠C=∠EFG,∴.∠FGD=∠EFG,.AB∥CD, 9.解：(1)∠AEC=∠A十∠C.理由：如图①，作EF∥AB,则 .∠AED+∠D=180°.(3)：∠GHD=∠EHF=80°， ∠1=∠A.因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠2=∠C, ∠D=30°，∴.∠CGF=180°-∠HGD=∠GHD+∠D= 所以∠AEC=∠A+∠C.(2)∠A+∠EFC+∠C= ∠AEF+180°.理由：如图②，作EN∥AB,FM∥AB.同(1) 110°.又，CE∥GF,.∠C=180°-110°=70°.又AB∥ 可得∠1=∠A,∠2=∠3，∠4+∠C=180°，则∠AEF= CD,.∠AEC=∠C=70°，∴.∠AEM=180°-70°=110°. ∠A+∠3=∠A+∠EFC-∠4=∠A+∠EFC-(180° 第2课时平行线性质与判定的综合应用 ∠C),所以∠A+∠EFC+∠C=∠AEF+180°.(3)∠A十 1.B2.B3.C4.A5.B6.A7.C8.D9.63 ∠F+∠H+∠C=∠E+∠G+∠O 10.①②③11.C12.6013.①④ 14.解：(1)AB∥CD,∴.∠1=∠DCE=28°.CE平分 ∠ACD,∴.∠ACD=2∠DCE=56°..AB∥CD, .∠HAE=∠ACD=56°.(2)CF∥AG.理由：：CE平 分∠ACD,.∠ACE=∠DCE=28°.，CF⊥CE, ① .∠FCE=90°，.∠FCH=∠FCE-∠ACE=90°-28 培优专题4：模型观念—三角尺的拼组 =62.:∠2=62°，∴∠FCH=∠2，.CF∥AG. 与纸片的折叠 15.解：(1)AB/CD.理由：，∠1与∠2互补，.∠1+∠2= 1.C2.D3.110° 4.(1)30°(2)509 180°.又∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,.∠AEF+ 5.不平行平行 ∠CFE=180°，∴.AB∥CD.(2)由(1)知，AB∥CD, 6.规则1：同位角相等，两直线平行（答案不唯一） ∴.∠BEF+∠EFD=180°.又∠BEF与∠EFD的平分 内错角相等，两直线平行 规则2：示例： 线交于点P,:∠PEP+∠BEFP-(∠BEF+∠EFD)= IM 90°，.∠EPF=90°.，GH⊥EG,.∠HGP=90°， 75°459B 60° ..PF//GH. A C 培优专题3：模型观念一平行线中的四大模型 1209 309 1.A 2.70°3.40°4.90°5.29°6.80培优专题3：模型观念 模型一：“铅笔头”模型 E B F C 点P在EF右侧，在 “铅笔头”模型 AB,CD内部 结论1：若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC =360°. 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则 AB//CD. 模型二：“猪蹄”模型(M模型) B C 点P在EF左侧，在 “猪蹄”模型 AB,CD内部 结论1：若ABCD,则∠P=∠AEP+∠CFP. 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB/CD 模型三：“靴子”模型 E 点P(P')在EF右侧， “靴子”模型 在AB,CD外部 结论1：若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P'=∠CFP'-∠AEP' 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P'= ∠CFP'-∠AEP',则AB/∥CD. 模型四：“X射线”模型 B C- D 点P(P)在EF左侧， “X射线”模型 在AB,CD外部 第8章相交线与平行线☑ 平行线中的四大模型 垫 学 素 结论1：若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P'=∠AEP'-∠CFP' 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P'= ∠AEP'-∠CFP',则AB∥CD. 巩固练习 能 1.如图，已知AE∥BD,∠1=130°，∠2=30°，则 ∠C的度数是( ) A E B 2 几何直观 C A.20° B.30° C.40° D.50° 间观 2.如图，将三角尺的直角顶点放在直线m上， m∥n,∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数 是 数 模型观 念 3.如图，AB∥CD,∠1=100°，∠2=120°，则∠a 的度数是 意识 创新 识 4.如图，已知直线ABCD,∠C=115°，∠A= 25°，则∠E= 5.如图，AB∥DE,∠D=116°，∠DCB=93°，则 ∠B= 做神龙题得好成绩43 ☑同行学案学练测七年级数学下QD 6.如图，AB∥CD,EP⊥FP,若∠1=30°，∠2= 20°，则∠F的度数为 素 P D 抽象能力 7.如图，AB/CD,∠ABF=号∠AE,∠CDF- 3∠CDE,求∠E:∠F的值. 运算能力 几何直观· 空间观念· 推理能力 ·数据观念 模型观念·应用意识 8.如图，ABCD,EF⊥DF,∠D:∠E:∠B= 创 4:2:1,求∠E的度数. 意识 ,做神龙题得好成绩 9.已知直线AB/CD (1)如图①，∠A,∠C,∠AEC之间有什么关 系？请说明理由 (2)如图②，∠A,∠AEF,∠EFC,∠C之间 有什么关系？请说明理由 (3)如图③，∠A,∠E,∠F,∠G,∠H,∠O, ∠C之间的关系是