第16讲 三角形的概念和性质（复习讲义，5考点18题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第16讲 三角形的概念和性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 三角形的概念及三边关系 题型01三角形的分类 题型02三角形的稳定性 题型03构成三角形的条件 题型04确定第三边的取值范围 命题点二 三角形的高及其计算 题型01 利用三角形的高计算面积 题型02 利用三角形的高计算线段长度 命题点三 三角形的中线及其计算 题型01 根据三角形的中线求长度 题型02 根据三角形的中线求面积 命题点四 三角形的角平分线及其计算 题型01 三角形角平分线的有关计算 题型02 角平分线与尺规作图综合 命题点五 与三角形有关的角 题型01 与平行线有关的内角和问题 题型02 与角平分线有关的内角和问题 题型03 三角形中折叠问题 题型04 利用三角形的外角性质求角度 题型05 三角形的外角定义及性质实际应用 命题点六 三角形的中位线 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 题型02 与三角形中位线有关的证明 题型03 三角形中位线的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一 与三角形有关的线段中最值问题 突破二 三角形三条重要线段与函数综合 突破二 三角形三条重要线段有关的新定义 06·优题精选·练能提分 38 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 三角形的有关概念 长沙市卷 T7 湖南省卷 T18 / 理解三角形的基本概念，能按角或边对三角形分类，掌握三角形三边关系。 三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线） 长沙市卷 T19 湖南省卷 T17 长沙市卷 T19 理解三角形的中线、高线、角平分线的概念，掌握它们的性质，能进行相关计算和证明。 三角形的性质（角） 长沙市卷 T7 T19 长沙市卷 T8 掌握三角形内角和定理、外角定理，理解大边对大角等边角关系。 三角形的中位线 湖南省卷 T16 湖南省卷 T9 长沙市卷 T15 理解三角形中位线的概念，掌握中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半）。 命题预测 1. 基础概念稳定考查（选择题/填空题，3-6分）三角形分类：按角（锐角、直角、钝角）或按边（等腰、等边）分类；三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；内角计算：利用内角和180°求未知角 2. 重要线段成为热点（填空题/解答题，6-10分）角平分线：性质（到角两边距离相等）与计算；中线：重心性质、中线长公式（可能结合勾股定理）；高线：面积法求高、垂心性质 3. 三角形性质综合应用（解答题，8-12分）外角定理：三角形外角等于不相邻两内角和 4. 中位线定理高频考查（填空题/解答题，6-8分）中位线性质：平行于第三边且等于第三边的一半；中点四边形：顺次连接各边中点所得四边形的形状；与相似结合：中位线构造相似三角形（相似比为1:2） 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记定理：内角和定理、外角定理、中位线定理 掌握性质：等腰三角形“三线合一”、直角三角形特殊性质 熟练计算：勾股定理、特殊角三角函数值 2. 解题能力提升 画图习惯：复杂几何题先画图，标注已知条件 辅助线技巧：遇到中点→考虑中位线或倍长中线 遇到角平分线→考虑作垂线或构造等腰三角形 遇到高线→考虑面积法或勾股定理 分类讨论思想：等腰三角形、直角三角形存在性问题 3. 重点突破题型 ① 三角形与平行线综合（角度计算）② 等腰三角形分类讨论（边或角不确定时）③ 中位线定理应用（中点四边形、面积比）④ 角平分线性质与勾股定理结合⑤ 直角三角形存在性问题（动点、坐标系） 考点一 三角形的有关概念 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 2.三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 3.三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 4.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 1.（2024·湖南衡阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释 B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释 C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性 D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性 2.（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 考点二 三角形的三边关系 一、核心定理 1.三角形任意两边之和大于第三边 设三边长为a,b,c,则必须同时满足： 2.三角形任意两边之差小于第三边： 二、快速判断方法（最实用） 已知三条线段长，按从小到大排序： 只需判断：最短两边之和>最长边 即： 满足→能构成三角形； 不满足→不能构成三角形。 三、第三边取值范围 已知三角形两边长为a，b，设第三边为c，则： 2．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 2.（2025·湖南长沙·三模）已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.（2025·湖南长沙·一模）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4.（2025·湖南武冈·模拟）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．11或13 考点三 与三角形相关的角 一、三角形的内角 1.定义 三角形内部的三个角，叫做内角。 2.内角和定理 三角形三个内角的和等于180° ∠A+∠B+∠C=180° 3.由内角判断三角形形状 ①三个角都小于90°→锐角三角形 ②有一个角等于90°→直角三角形 ③有一个角大于90°→钝角三角形 二、三角形的外角 1.定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2.外角性质(超级重要) ①一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ②一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 3.外角和 三角形的外角和等于360°(每个顶点取一个外角) 1.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 3.（2025·湖南常德·一模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是______． 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，连接直线，交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，连接，求的度数． 考点四 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 　 概念 图形 性质 重心 三角形三条中线交点 1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 垂心 三角形三条高交点 1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外； 2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆. 4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短. 1.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 2.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，点为重心，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南·模拟预测）《九章算术》记载“勾股定理”．若直角三角形两直角边为5和12，则斜边上的高为（    ）． A． B． C． D．13 4.（2025·湖南湘潭·一模）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点五 三角形的中位线 一、基本概念 1.定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.数量 一个三角形有3条中位线。 二、核心性质(必背) 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ∵DE是∆ABC的中位线∴AD=DB AE=EC ，DE=BC DE∥BC 1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，连接，交于点M，作分别交于点G、H，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 3.（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 4.（2025·湖南·一模）在中，点分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长到点，使，连接． 乙同学：如图2，过点作，过点作与交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（    ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 5.（2025·湖南娄底·一模）如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 命题点一 三角形的概念及三边关系 ►题型01 三角形的分类 考试最常错的4句话(直接背) 1.三角形最多1个直角、1个钝角。 2.三角形至少2个锐角。 3.等边三角形一定是等腰三角形。 4.等腰三角形不一定是等边三角形。 【典例】（2025·湖南永州·模拟）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ►题型02 三角形的稳定性 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．两点确定一条直线 【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）下列图形具有稳定性的是（ ） A．正六边形 B．正方形 C．等边三角形 D．梯形 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．直角三角形两锐角互余 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【变式4】（2025·湖南·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（    ） A．B．C．D． ►题型03 构成三角形的条件 最简单判断方法(做题最快) 先把三条边从小到大排好： 只看一句话：最短两边之和>最长边，即： 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 【变式2】（2025·湖南永州·三模）现有4条线段，长度依次是3，5，8，10，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． ►题型04 确定第三边的取值范围 确定第三边取值范围·解题技巧(一步不丢分) 已知三角形两边长为、，求第三边的范围 第三边：大于两边之差，小于两边之和，即 常见题型：求周长范围 先求第三边范围，再整体加： 【典例】（2025·湖南株洲·一模）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A．9 B．7 C．2 D．1 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10或8 B．10 C．8 D．12 【变式2】（2025·湖南益阳·三模）三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 命题点二 三角形的高及其计算 ►题型01 画三角形的高 【典例】（2025·湖南长沙雅礼·一模）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 利用三角形的高计算面积 【典例】（2025·湖南株洲·三模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（   ） A．12 B．10 C．6 D．5 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，已知的顶点．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，其中点分别为点的对应点． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． ►题型03 利用三角形的高计算线段长度 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交斜边于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于M、N，分别以M、N为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线交于F，则（　　） A．1 B． C． D． 【变式1】（2025·湖南娄底·一模）如图，在中，，D为中点，，P为上任意一点，E为上任意一点.则的最小值是________． 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    【变式3】（2024·湖南常德·模拟）如图，等腰面积为21，底边，点分别是的中点，交于，点是上一动点，则的周长的最小值为______． 命题点三 三角形的中线及其计算 ►题型01 根据三角形的中线求长度 基础思路：中线→线段相等 看到中线，第一反应：中点→两条线段相等 若AD是BC边上的中线→BD=DC=BC 用途： ①直接求线段长度 ②求周长时用 【典例】（2025·湖南麻阳·模拟）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南怀化·三模）如图，在中，是边上的中线，，，，. (1)求的长； (2)求的值. 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． ►题型02 根据三角形的中线求面积 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2024·湖南长沙长郡·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______． 【变式4】（2025·湖南湘西·模拟）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 命题点四 三角形的角平分线及其计算 ►题型01 角平分线的有关计算 【典例】（2025·湖南·模拟）如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【变式1】（2025·湖南·二模）如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． ►题型02 角平分线与尺规作图综合 【典例】（2025·湖南长沙·一模）某节数学课开展“仅用无刻度直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下： (1)图1所示的作图方法的依据是__________________．图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为__________________． (2)在图3或图4中任选一个，填写已知条件，并给出完整的证明过程．下面就图______进行证明（请务必写清所证图形序号）． 已知：______＝______，______＝______． 求证：平分． 证明： 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ；； A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】（2025·湖南·模拟）（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．    (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 命题点五 与三角形有关的角 ►题型01 与平行线有关的内角和问题 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖南长沙·一模）如图，已知直线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙长郡·模拟练习五）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． (1)求证：AB＝FE； (2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数． 【变式3】（2025·湖南·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，点E在边上，连接，过点E作，交于点D．若平分平分．设． （1）当时，求的度数． （2）试用含的代数式表示． （3）若（k为常数）．若和k都为正整数，直接写出k的值． ►题型02 与角平分线有关的内角和问题 【典例】（2025·湖南十三州市·模拟联考）如图，在中，，，于点D，是的平分线，是边的垂直平分线，分别交边，于点．若，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【变式1】（2025·湖南·一模）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南祁阳·模拟）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，______°．    【变式3】（2025·湖南武冈·联考模拟）如图，在中，，三个内角的平分线交于点O． (1)若，求的度数； (2)过点O作，交于点D．试说明：． ►题型03 三角形中折叠问题 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为_____． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，将一角折叠，若，则_______． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．    【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． ►题型04 利用三角形的外角性质求角度 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，在等边中，于点D，延长至点E，使得，连接，若，则的长为________ ． 【变式1】．（2025·湖南娄底·三模）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（    ） A． B． C． D．125° 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，已知直线，，，则的度数为______． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求证：是等腰三角形． ►题型05 三角形的外角定义及性质实际应用 【典例】（2025·湖南长沙·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为___________． 【变式3】（2025·湖南衡阳·二模）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为_____． 命题点六 三角形的中位线 ►题型01 与三角形中位线有关的求解问题 看到两个中点，要立刻想到连接它们构造中位线，从而得出平行和一半的关系。 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形中，，点，分别为边，的中点．若四边形的面积为，，则的长为（     ）      A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·一模）如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．不确定 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形的周长为15，则的长为______． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． ►题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例】（2025·湖南娄底·一模）如图，，在上分别截取线段，使； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点 作交于点 ， 作交于点，交于点，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（       ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，，D是边AC上一点，连接，E，F分别为的中点，连接，． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)若，，求EF的长． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如图，中，分别以，为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于，两点，过，作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． ►题型03 三角形中位线的实际应用 【典例】（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为______． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是______． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 突破一 与三角形有关的线段中最值问题 【典例】如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 【变式2】【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 【变式3】同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 突破二 三角形三条重要线段与函数综合 【典例】如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为 ． 【变式2】点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 【变式3】如图（）， 中，，为的中点，点在线段 上，，、交于点，连接、． (1)证明：； (2)如 图（），若，直接写出的值； (3)在一般情况下，探究的值(用含的式子表示)． 突破三 三角形三条重要线段有关的新定义 【典例】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【变式1】兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长． 【问题拓展】 （3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【变式2】学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 1.（2025·湖南·模拟）下列说法正确的是（    ） A．车辆的三角警示牌能收纳，说明三角形不具有稳定性 B．三角形的角平分线、高、中线都是线段 C．钝角三角形的三条中线和三条高都在其内部 D．五边形的外角和与内角和相等 2.（2025·湖南长沙·三模）已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．了解我省初中生每周上网时长情况，可采用抽样调查 B．反比例函数的y随着x的增大而减小 C．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 4.（2025·湖南湘西·模拟预测）如图所示，已知点,分别是中、边的中点，，相交于点，，则四边形的面积是（　　）      A．7 B．8 C．9 D．10 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与交于点，点分别为的中点，连接．若，则____________． 6.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段=______． 7.（2025·湖南怀化·二模）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则_____°． 8.（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为_______． 9.（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________． 10.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D，交于点F； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中求的度数． 11.（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为___________． 12.（2025·湖南·模拟）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 _____． 13.（2025·湖南·模拟预测）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，请从“①，②”这两组条件中任取一组作为已知条件，填在横线上____________(填序号），再解决以下问题：     (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 1.（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 2.（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4.（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 7.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 8.（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 9.（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 10.（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 11.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第16讲 三角形的概念和性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 三角形的概念及三边关系 题型01三角形的分类 题型02三角形的稳定性 题型03构成三角形的条件 题型04确定第三边的取值范围 命题点二 三角形的高及其计算 题型01 利用三角形的高计算面积 题型02 利用三角形的高计算线段长度 命题点三 三角形的中线及其计算 题型01 根据三角形的中线求长度 题型02 根据三角形的中线求面积 命题点四 三角形的角平分线及其计算 题型01 三角形角平分线的有关计算 题型02 角平分线与尺规作图综合 命题点五 与三角形有关的角 题型01 与平行线有关的内角和问题 题型02 与角平分线有关的内角和问题 题型03 三角形中折叠问题 题型04 利用三角形的外角性质求角度 题型05 三角形的外角定义及性质实际应用 命题点六 三角形的中位线 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 题型02 与三角形中位线有关的证明 题型03 三角形中位线的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 81 突破一 与三角形有关的线段中最值问题 突破二 三角形三条重要线段与函数综合 突破二 三角形三条重要线段有关的新定义 06·优题精选·练能提分 101 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 三角形的有关概念 长沙市卷 T7 湖南省卷 T18 / 理解三角形的基本概念，能按角或边对三角形分类，掌握三角形三边关系。 三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线） 长沙市卷 T19 湖南省卷 T17 长沙市卷 T19 理解三角形的中线、高线、角平分线的概念，掌握它们的性质，能进行相关计算和证明。 三角形的性质（角） 长沙市卷 T7 T19 长沙市卷 T8 掌握三角形内角和定理、外角定理，理解大边对大角等边角关系。 三角形的中位线 湖南省卷 T16 湖南省卷 T9 长沙市卷 T15 理解三角形中位线的概念，掌握中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半）。 命题预测 1. 基础概念稳定考查（选择题/填空题，3-6分）三角形分类：按角（锐角、直角、钝角）或按边（等腰、等边）分类；三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；内角计算：利用内角和180°求未知角 2. 重要线段成为热点（填空题/解答题，6-10分）角平分线：性质（到角两边距离相等）与计算；中线：重心性质、中线长公式（可能结合勾股定理）；高线：面积法求高、垂心性质 3. 三角形性质综合应用（解答题，8-12分）外角定理：三角形外角等于不相邻两内角和 4. 中位线定理高频考查（填空题/解答题，6-8分）中位线性质：平行于第三边且等于第三边的一半；中点四边形：顺次连接各边中点所得四边形的形状；与相似结合：中位线构造相似三角形（相似比为1:2） 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记定理：内角和定理、外角定理、中位线定理 掌握性质：等腰三角形“三线合一”、直角三角形特殊性质 熟练计算：勾股定理、特殊角三角函数值 2. 解题能力提升 画图习惯：复杂几何题先画图，标注已知条件 辅助线技巧：遇到中点→考虑中位线或倍长中线 遇到角平分线→考虑作垂线或构造等腰三角形 遇到高线→考虑面积法或勾股定理 分类讨论思想：等腰三角形、直角三角形存在性问题 3. 重点突破题型 ① 三角形与平行线综合（角度计算）② 等腰三角形分类讨论（边或角不确定时）③ 中位线定理应用（中点四边形、面积比）④ 角平分线性质与勾股定理结合⑤ 直角三角形存在性问题（动点、坐标系） 考点一 三角形的有关概念 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 2.三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 3.三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 4.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 1.（2024·湖南衡阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释 B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释 C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性 D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性 【答案】B 【分析】本题主要考查了点、线、面知识，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“点动成线、线动成面、面动成体”和三角形的稳定性、四边形的不稳定性，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释，该说法正确，不符合题意； B. 在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“点动成线”来解释，故原说法不正确，符合题意 C. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性，该说法正确，不符合题意； D. 日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性，该说法正确，不符合题意． 故选：B． 2.（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查三角形及其性质、解直角三角形，A选项三边不满足三角形三边关系，B选项为等腰直角三角形，D选项为直角三角形，C选项为等腰三角形，且角度为，，，满足条件． 【详解】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 考点二 三角形的三边关系 一、核心定理 1.三角形任意两边之和大于第三边 设三边长为a,b,c,则必须同时满足： 2.三角形任意两边之差小于第三边： 二、快速判断方法（最实用） 已知三条线段长，按从小到大排序： 只需判断：最短两边之和>最长边 即： 满足→能构成三角形； 不满足→不能构成三角形。 三、第三边取值范围 已知三角形两边长为a，b，设第三边为c，则： 2．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 2.（2025·湖南长沙·三模）已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3.（2025·湖南长沙·一模）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种， 故选：D． 4.（2025·湖南武冈·模拟）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再由第三边长是偶数求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵中，其中有两边长是2和5， ∴第三边长，即第三边长， 又∵第三边长为偶数， ∴第三边长为4或6， ∴该三角形的周长为或， 故选：D． 考点三 与三角形相关的角 一、三角形的内角 1.定义 三角形内部的三个角，叫做内角。 2.内角和定理 三角形三个内角的和等于180° ∠A+∠B+∠C=180° 3.由内角判断三角形形状 ①三个角都小于90°→锐角三角形 ②有一个角等于90°→直角三角形 ③有一个角大于90°→钝角三角形 二、三角形的外角 1.定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2.外角性质(超级重要) ①一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ②一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 3.外角和 三角形的外角和等于360°(每个顶点取一个外角) 1.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 2.（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 3.（2025·湖南常德·一模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，首先根据平行线的性质可得：，因为点在以点为圆心，长为半径的弧上，所以，根据等腰三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可求的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，连接直线，交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段的垂直平分线的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作法证明即可； （2）由垂直平分线的性质得，进而得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，，， 由作图可知， ∴M，N在线段的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段； （2）解：∵直线垂直平分线段，点D是直线和的交点，即点D在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点四 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 　 概念 图形 性质 重心 三角形三条中线交点 1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 垂心 三角形三条高交点 1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外； 2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆. 4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短. 1.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 2.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，点为重心，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形的重心的性质可知在上，，再证明，，再根据相似三角形的性质设的面积为，则的面积为，的面积为，列出方程即可求解，熟练掌握知识点的应用及添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴在上，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积为，则的面积为，的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积是． 故选：． 3.（2025·湖南·模拟预测）《九章算术》记载“勾股定理”．若直角三角形两直角边为5和12，则斜边上的高为（    ）． A． B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，先根据勾股定理求出斜边长为，然后根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为h，则， ∴． 故选：C． 4.（2025·湖南湘潭·一模）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．由，求证，，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于点F，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 考点五 三角形的中位线 一、基本概念 1.定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.数量 一个三角形有3条中位线。 二、核心性质(必背) 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ∵DE是∆ABC的中位线∴AD=DB AE=EC ，DE=BC DE∥BC 1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，连接，交于点M，作分别交于点G、H，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定与性质得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，E分别为边的中点，， 是的中位线，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，即， 解得：， 故选：． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，利用三角形中位线等于第三边的一半即可解答． 【详解】解：∵D，E是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 3.（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的面积为12，轴， ∴，即， 又∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故选：B． 4.（2025·湖南·一模）在中，点分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长到点，使，连接． 乙同学：如图2，过点作，过点作与交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（    ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】A 【分析】本题考查中位线判定定理，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质等．先证明作法一的合理性，先得到四边形是平行四边形，后得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案；再证明作法二，先证明，后得到四边形是平行四边形，再得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案． 【详解】解：甲：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 乙：， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 甲、乙都可以， 故选：A． 5.（2025·湖南娄底·一模）如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理，可得，，，，，，得出四边形、四边形、四边形都为平行四边形，可判断①；由平行四边形的性质可得，图中的四个小三角形为全等三角形，可判断②；利用平行四边形的周长公式可判断③；利用中点的定义可判断④，即可得出结论． 【详解】解：点分别是的边的中点， ，，，，，， 四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确； 图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确； 四边形为平行四边形， 四边形的周长，故③正确； 点分别是边的中点， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 命题点一 三角形的概念及三边关系 ►题型01 三角形的分类 考试最常错的4句话(直接背) 1.三角形最多1个直角、1个钝角。 2.三角形至少2个锐角。 3.等边三角形一定是等腰三角形。 4.等腰三角形不一定是等边三角形。 【典例】（2025·湖南永州·模拟）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． ►题型02 三角形的稳定性 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的特性，即三角形具有稳定性．利用三角形具有稳定性的特性，空调外机的支架能够牢固地固定在墙上，不易变形，从而保证空调外机的稳定和安全． 【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性， ∴B、C、D错误，A正确， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）下列图形具有稳定性的是（ ） A．正六边形 B．正方形 C．等边三角形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查图形的稳定性，三角形具有稳定性，而四边形、六边形等多边形不具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：∵ 三角形具有稳定性，等边三角形是三角形， ∴ 等边三角形具有稳定性； ∵ 正六边形、正方形、梯形均不是三角形， ∴ 它们不具有稳定性； 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．直角三角形两锐角互余 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形稳定性的应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性在生活中的应用，根据三角形的稳定性即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 【变式4】（2025·湖南·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定 【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意； B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意； C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意； D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键． ►题型03 构成三角形的条件 最简单判断方法(做题最快) 先把三条边从小到大排好： 只看一句话：最短两边之和>最长边，即： 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系：两条较短边的和大于最长边，由此进行求解． 【详解】解：A、，所以不能构成三角形，故符合题意； B、，所以能构成三角形，故不符合题意； C、，所以能构成三角形，故不符合题意； D、，所以能构成三角形，故不符合题意； 故选A． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以1，1，2的三个数不能构成三角形三边长； B、因为，所以2，3，6的三个数不能构成三角形三边长； C、因为，所以1，2，2的三个数能构成三角形三边长； D、因为，所以3，4，7的三个数不能构成三角形三边长； 故选：C. 【变式2】（2025·湖南永州·三模）现有4条线段，长度依次是3，5，8，10，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从长度分别为3，5，8，10，的四条线段中任选三条有如下4种情况：3、5、8；3、5、10；3、8、10；5、8、10； 能组成三角形的结果有2个（3、8、10，5、8、10，）， ∴能构成三角形的概率为 故答案为：． ►题型04 确定第三边的取值范围 确定第三边取值范围·解题技巧(一步不丢分) 已知三角形两边长为、，求第三边的范围 第三边：大于两边之差，小于两边之和，即 常见题型：求周长范围 先求第三边范围，再整体加： 【典例】（2025·湖南株洲·一模）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A．9 B．7 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10或8 B．10 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边为2，2，4时，②当等腰三角形的三边为2，4，4时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可． 【详解】解：解方程得：或2， ①当等腰三角形的三边为2，2，4时，，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去； ②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 【变式2】（2025·湖南益阳·三模）三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，列出不等式，再解得a的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵三条边分别为 、、，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 命题点二 三角形的高及其计算 ►题型01 画三角形的高 【典例】（2025·湖南长沙雅礼·一模）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． ►题型02 利用三角形的高计算面积 【典例】（2025·湖南株洲·三模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（   ） A．12 B．10 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关整数点是解题的关键． 由平行四边形的性质和作图过程、等腰三角形的判定推出，根据勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ，，， ， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． （2）利用网格按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，点N即为所求（答案不唯一）． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，已知的顶点．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，其中点分别为点的对应点． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，的坐标为 (2) 【分析】本题考查了平移作图，割补法求面积，掌握平移的性质是解题关键． （1）先把平移后的对应点求出，A平移后得对应点，B平移后对应点，C平移后的对应点，在描点画图即可； （2）把三角形面积看成矩形面积减去三个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求，的坐标为； （2）解：的面积． ►题型03 利用三角形的高计算线段长度 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交斜边于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于M、N，分别以M、N为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线交于F，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，，由平分，可得，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线，等角对等边，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作垂线，角平分线，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南娄底·一模）如图，在中，，D为中点，，P为上任意一点，E为上任意一点.则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等面积法的应用，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．本题连接，先根据等腰三角形的三线合一，证明，根据勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，D为中点， ，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， 过作于，， ， 即， 解得， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ， 由两点之间线段最短可知，的最小值为的长， 则的最小值， 故答案为：． 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 【变式3】（2024·湖南常德·模拟）如图，等腰面积为21，底边，点分别是的中点，交于，点是上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】10 【分析】连接，，等腰面积为21，底边，求出，根据点是的中点，，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据当、E、F三点在同一直线上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵F为的中点，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵等腰面积为21，底边， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵当、E、F三点在同一直线上时，最小， ∴此时最小，且最小值为， 即最小，最小值为， ∴的周长的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 命题点三 三角形的中线及其计算 ►题型01 根据三角形的中线求长度 基础思路：中线→线段相等 看到中线，第一反应：中点→两条线段相等 若AD是BC边上的中线→BD=DC=BC 用途： ①直接求线段长度 ②求周长时用 【典例】（2025·湖南麻阳·模拟）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是相等线段的转化． 由中线可得与周长差等于边与的差，进而可以得到的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即的周长为． 故答案选：A ． 【变式1】（2025·湖南怀化·三模）如图，在中，是边上的中线，，，，. (1)求的长； (2)求的值. 【答案】(1)7 (2) 【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识． （1）根据勾股定理求出，由得到，即可得到的长； （2）由是边上的中线得到，则，根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的中线， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键． （1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证． （2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的边上的中线， ， ， ．    在和中, ， ， ． （2）由（1）知， ， ， ， ， ∴． 故． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在和中，，是中线， ∴， 的周长的周长 故答案为：． ►题型02 根据三角形的中线求面积 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 首先根据三角形中线的性质得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵是边上的高 ∴ ∴． 故选：B． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点， 故选： A． 【变式3】（2024·湖南长沙长郡·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______． 【答案】3 【分析】根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 点，关于原点对称， ， ． 故答案为：3． 【变式4】（2025·湖南湘西·模拟）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不能，理由见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质作出的中垂线所在的直线即可求解． （2）若直线平分的面积，那么，得出，则，进而可求解． （3）根据勾股定理得：，求得，，进而得出，，进而可求证结论． （4）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，利用全等三角形的判定及性质可推出结论，，则可说明是的“等分积周线”． 【详解】（1）解：， 为等腰三角形， 则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线， ， ，， 如图所示，所在的直线即为所求：    （2）解：不能， 理由：如图2，    若直线平分的面积，那么， ， ， ， ∴过点C不能画出一条“等分积周线”． （3）证明：连接、，设，如图：   垂直平分， ，，， ，，，， 和中，根据勾股定理可得出： ，即， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， ∴直线为四边形的“等分积周线”． （4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，    理由：由作图可得：， 在上取一点G，使得，则有， ， ， 在和中 ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 是的“等分积周线”． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、应用与设计作图、全等三角形的判定及性质、勾股定理，根据题意正确分割出“等分积周线”是解题的关键． 命题点四 三角形的角平分线及其计算 ►题型01 角平分线的有关计算 【典例】（2025·湖南·模拟）如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【答案】A 【分析】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质． 【详解】解：∵折叠后点落在边上的处， ∴与关于折痕对称， 根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即， 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线， 由于，即折痕把分成了两个相等的角， 所以折痕是的角平分线． 【变式1】（2025·湖南·二模）如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)的度数为 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质和证明全等三角形，证明全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到对应边相等，再进行等角代换得到相等的角，即可证明； （2）根据角平分线并结合全等三角形得到，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵在等边中，是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． ►题型02 角平分线与尺规作图综合 【典例】（2025·湖南长沙·一模）某节数学课开展“仅用无刻度直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下： (1)图1所示的作图方法的依据是__________________．图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为__________________． (2)在图3或图4中任选一个，填写已知条件，并给出完整的证明过程．下面就图______进行证明（请务必写清所证图形序号）． 已知：______＝______，______＝______． 求证：平分． 证明： 【答案】(1)三边分别相等的两个三角形全等（或），等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一） (2)图3，，，证明见解析；图4，，，证明见解析 【分析】（1）根据图1、2所示的作图方法，得出作图的依据； （2）选择图3，先证明，从而可根据平行线的性质得出，再根据等边对等角得出，从而可得，于是有OP平分；选择图4，先证明，从而可得，再证明，从而可得，于是可证明，从而可得，于是有OP平分成立． 【详解】（1）解：图1所示的作图方法的依据是三边分别相等的两个三角形全等（或），图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一）， 故答案为：三边分别相等的两个三角形全等（或），等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一）； （2）解：选择图3 已知，． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 故答案为：图3，，； 选择图4 已知，． 证明：∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴平分． 故答案为：图4，，． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，用证明三角形全等（），全等的性质和（）综合（或者）全等的性质和综合（），三线合一，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ；； A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图可知为的角平分线，即得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（2025·湖南·模拟）（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．    (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②不成立，或 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可； （2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可； （3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 和分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 由（1）可得， ， ， 即． （3）解：①当直线与线段没有交点时，， 理由如下： ∵，， ∴， 即； ②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论： a．如图1，当在线段上，在射线上时，， ， ∵，， ∴， 即， b．如图2，当在射线上，在线段上时，， ， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 命题点五 与三角形有关的角 ►题型01 与平行线有关的内角和问题 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 【变式1】（2024·湖南长沙·一模）如图，已知直线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义和直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据平行线的性质得到的度数，再根据垂线的定义和直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（2025·湖南长沙长郡·模拟练习五）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． (1)求证：AB＝FE； (2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数． 【答案】(1)见解析 (2)120° 【分析】（1）根据“AAS”证明，即可证明； （2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键。 【变式3】（2025·湖南·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4】如图，在中，点E在边上，连接，过点E作，交于点D．若平分平分．设． （1）当时，求的度数． （2）试用含的代数式表示． （3）若（k为常数）．若和k都为正整数，直接写出k的值． 【答案】（1）20°；（2）β=90°-α；（3）1或2或11 【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠CEF=∠AED=80°，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论； （3）根据题意列方程，求出整数解即可得到结论． 【详解】解：（1）∵β=80°， ∴∠CEF=∠AED=80°， ∵EC平分∠BEF， ∴∠BEC=∠CEF=80°， ∴∠DEB=180°-80°-80°=20°； （2）∵DF∥BC， ∴∠ADE=∠ABC=α， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DEB=∠EBC=α， ∵EC平分∠BEF， ∴β=∠CEF=（180°-α）=90°-α； （3）∵β=kα， ∴90°-α=kα， ∴α=， ∵和k都为正整数， ∴或或， ∴k的值为1或2或11． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，列代数式，平行线的性质，二元一次方程的解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． ►题型02 与角平分线有关的内角和问题 【典例】（2025·湖南十三州市·模拟联考）如图，在中，，，于点D，是的平分线，是边的垂直平分线，分别交边，于点．若，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接，先证明，再利用是的角平分线得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则，可判断△CAF为等腰直角三角形，所以，即可求出的值． 【详解】解：连接，如图，   ，是斜边上的高线， ，， ， ， ， 是的角平分线， ，即， 是边的垂直平分线， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式1】（2025·湖南·一模）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南祁阳·模拟）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，______°．    【答案】 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用垂直平分线的性质和角平分线的定义可得， 再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵中，，， ． 由作图可知，D点在线段的垂直平分线上， ， ， ． 由作图可知，是的角平分线， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，线段的垂直平分线的作图与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的运用以上图形的性质求解角的大小是解本题的关键． 【变式3】（2025·湖南武冈·联考模拟）如图，在中，，三个内角的平分线交于点O． (1)若，求的度数； (2)过点O作，交于点D．试说明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由平分，平分，得到，由三角形内角和定理得到答案； （2）由三角形外角的性质求得，由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． （2）说明过程如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 由（1）可知，． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、角平分线的有关计算等知识，熟练熟练掌握角之间的关系是解题的关键． ►题型03 三角形中折叠问题 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． ►题型04 利用三角形的外角性质求角度 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，在等边中，于点D，延长至点E，使得，连接，若，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据等边三角形性质，得，根据， ，，得，根据，可得，即得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，是解题的关键． 【变式1】．（2025·湖南娄底·三模）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（    ） A． B． C． D．125° 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质求得，即可求解． 【详解】解，如图， 由题意知：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，已知直线，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，由三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理和外角性质，以及等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由作图可知：垂直平分，然后解即可； （2）由作图可得：平分，然后由三角形的外角性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求证． 【详解】（1）解：由作图可知：垂直平分， ∵，， ∴ （2）证明：由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ►题型05 三角形的外角定义及性质实际应用 【典例】（2025·湖南长沙·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的 外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为___________． 【答案】/110度 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角，得到，再利用三角形的外角的性质，进行计算即可．熟练掌握等边对等角，三角形的外角的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴； 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南衡阳·二模）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质、三角形的外角性质是解题的关键． 先求出，再根据三角形的外角性质求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点六 三角形的中位线 ►题型01 与三角形中位线有关的求解问题 看到两个中点，要立刻想到连接它们构造中位线，从而得出平行和一半的关系。 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形中，，点，分别为边，的中点．若四边形的面积为，，则的长为（     ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 取边的中点，连接，，根据已知数量关系求出、的长度，结合中位线的性质，得出，，，再利用勾股定理解得的长． 【详解】如图，取边的中点，连接，， 四边形面积为，， ， 又， ，， ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，． 又，，， ，，， 在直角中，由勾股定理，得， 即的长度是． 【变式1】（2025·湖南·一模）如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，先求解，再利用三角形的中位线的性质求解即可. 【详解】解：在菱形中， ， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 故选：A 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形的周长为15，则的长为______． 【答案】15 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，推出四边形为平行四边形，由此得到，求得． 【详解】解：∵D，E，F分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形． ∵四边形周长为15， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等； （2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定，中位线的性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． ►题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例】（2025·湖南娄底·一模）如图，，在上分别截取线段，使； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点 作交于点 ， 作交于点，交于点，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据尺规作图——作角平分线即可判断；根据平行线的性质及等角对等边即可判断；由等边三角形的判定即可判断；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， 综上可知：正确， 故选：． 【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，，D是边AC上一点，连接，E，F分别为的中点，连接，． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)若，，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先得到是的中位线，得到，，然后求出，得到，进而证明即可； （2）首先得到，由（1）知，四边形是平行四边形，，得到，，根据三角形中位线定理得到，然后得到，即，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，．     ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵F是的中点，， ∴．     由（1）知，四边形是平行四边形，， ∴，．     ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 在中，，，即， 解得（舍去负值）， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． （1）根据三角形的中位线性质得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明； （2）根据三角形的中位线性质得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵为边的中线， ∴D为的中点， ∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∴， ∵D是斜边中点，是直角三角形， ∴， ∴． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如图，中，分别以，为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于，两点，过，作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由尺规作图可知是的垂直平分线，根据点是的中点，可得是的中位线，根据三角形中位线定理可证，，又因为，可证，从而可证四边形是平行四边形，又因为，可证结论成立； （2）四边形是菱形，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形的中位线定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，利用的正切求出的长度，根据菱形的四条边都相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、三角形中位线定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形中位线定理找到边、角之间的关系． ►题型03 三角形中位线的实际应用 【典例】（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是______． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 突破一 与三角形有关的线段中最值问题 【典例】如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质等，由作图可知，为线段的垂直平分线，即得，可得，即得到的最小值为的长，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式1】如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． 根据题意得出最大的情况是解题的关键． 连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，根据勾股定理求出，延长交于点，此时最大，，由，此时，然后 根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∴， 延长交于点，此时最大，， ∵，此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 【变式2】【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）；方法应用： 【分析】问题解决：（1）利用证明，即可得出结论； （2）连接，当三点共线时，有最小值，由（1）知，则有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 方法应用：如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】问题解决： （1）证明：∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）连接， 当三点共线时，有最小值， 由（1）知，则有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴； 方法应用： 解：如图作，使得米．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，米， ，， ∴， 在中，米， ∴钢丝绳与长度之和的最小值为米． 【点睛】本题考查两点之间线段最短、矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 【变式3】同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析，； (3)的最小值为． 【分析】（1）由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求的长，由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可求解； （2）由旋转的性质知，点与点重合，，，则点在射线上，根据垂线段最短，当时，有最小值，据此可求解； （3）由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，于， ，平分， ， 又．， ，，， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图， 由旋转的性质知，点与点重合，，， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， ∵点是边上的中点， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：取的中点，连接，， ，，， ，， 点是的中点， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 突破二 三角形三条重要线段与函数综合 【典例】如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 【变式1】如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，求得是解题的关键． 先求出为中边的中线，求出面积的比例，再推导为中边的中线，根据中线得出为重心，求出，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵的中点为， ∴为中边的中线， ∴，即． 四边形的面积等于的面积，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵和高相等， ∴， ∴为中边的中线．     ∴为的重心， ∴， ∵设和过点的高为， ， ∴， ∴， ∴． ∵设，， ∵， ∴，即，即 ∴，即． ∵点、点在双曲线上， ∴， 将代入①中得：，即， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图（）， 中，，为的中点，点在线段 上，，、交于点，连接、． (1)证明：； (2)如 图（），若，直接写出的值； (3)在一般情况下，探究的值(用含的式子表示)． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为； (3)的值为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，中点定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，然后通过相似三角形性质即可求证； （）连接，由，则，证明，又为的中点，所以，得，，，证明，可得，故有，则，从而求解； （）过作，所以，，所以，，证明，所以，得，，通过中点得，，从而可得，，，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 突破三 三角形三条重要线段有关的新定义 【典例】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【变式1】兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长． 【问题拓展】 （3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1）；；（2）8；（3）见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，连接，利用证明，可得，在中，利用三角形三边关系解答即可； （2）证明，即可解答； （3）延长至点G，使，连接，由（1）得：，可得，，再由垂直平分，可得，然后根据勾股定理证明即可． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，延长至点G，使，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2】学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【答案】学习材料2：；；；；（1）是；（2）或11 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学习材料2：根据前后步骤之间的逻辑关系，结合图形填空即可； （1）画出图形，由旋转的性质得：点共线，，则是等腰三角形，等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）由旋转的性质得：点共线，，，根据是关于点的“奇妙三角形”，得到或，据此分情况讨论，先根据求出，再由学习材料可得，代入计算即可． 【详解】解：学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， ∵点是的中点， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：；；；； （1）解：等腰直角三角形是“奇妙三角形”，理由如下： 在中，，，点是的中点， 将绕点旋转得到，如图②所示： 由旋转的性质得：点共线，， ∴是等腰三角形， ∴等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）∵中，， ， N是的中点， ∴将绕点旋转得到，如图所示： 由旋转的性质得：点共线，，， ∵是关于点的“奇妙三角形”， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴或， 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去）； 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去） 综上， 或11． 1.（2025·湖南·模拟）下列说法正确的是（    ） A．车辆的三角警示牌能收纳，说明三角形不具有稳定性 B．三角形的角平分线、高、中线都是线段 C．钝角三角形的三条中线和三条高都在其内部 D．五边形的外角和与内角和相等 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性，三角形高线，中线，角的平分线的性质，多边形的外角和，内角和定理解答即可． 【详解】解：A. 车辆的三角警示牌能收纳，说明三角形具有稳定性， 故原说法错误，不符合题意； B. 三角形的角平分线、高、中线都是线段 故原说法正确，符合题意； C. 钝角三角形的三条中线在形内，一条高在其内部，两条在形外， 故原说法错误，不符合题意； D. 五边形的外角和，内角和，不相等， 故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，三角形高线，中线，角的平分线的性质，多边形的外角和，内角和定理，钝角三角形的高线分布，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 2.（2025·湖南长沙·三模）已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．了解我省初中生每周上网时长情况，可采用抽样调查 B．反比例函数的y随着x的增大而减小 C．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 【答案】B 【分析】本题考查抽样调查，反比例函数的性质，事件的分类，重心的定义，根据这些知识点逐个选项判断即可． 【详解】A、了解我省初中生每周上网时长情况，可采用抽样调查，说法正确，不符合同意； B、反比例函数在每一个象限内y随着x的增大而减小，说法错误，符合题意； C、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，说法正确，不符合同意； D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，说法正确，不符合同意； 故选：B． 4.（2025·湖南湘西·模拟预测）如图所示，已知点,分别是中、边的中点，，相交于点，，则四边形的面积是（　　）      A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，解题关键是根据线段的比值得出相应面积的比值，根据点、分别是中、边的中点，得出与的比值，再根据三角形的面积比即可得出结论． 【详解】解：点、分别是中、边的中点， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 故选：C ． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与交于点，点分别为的中点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系以及，即可求解． 【详解】解：点分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 6.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段=______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，再证明，利用全等三角形的性质可得，，然后利用中位线定理求得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， 又， ， ，， 又E是斜边的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是利用全等三角形的性质证明相关线段相等，角相等． 7.（2025·湖南怀化·二模）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则_____°． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，设，则，在中，由三角形内角和定理建立方程求解，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8.（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 9.（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 10.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D，交于点F； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据垂线的尺规作图方法，进行作图即可；②根据角平分线的尺规作图的方法，进行作图即可； （2）根据中垂线的性质，推出，根据三角形的内角和定理，求出，从而得到，利用角平分线平分角，即可得解． 【详解】（1）解：①分别以为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交交于点D，交于点F，如图所示，即为所求； ②以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，画弧，交于一点，连接点与两弧的交点，交于点，如图所示，即为所求； （2）解：∵垂直平分线段， ∴，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴，（等边对等角） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 【点睛】本题考查基本作图—作垂线，作角平分线，以及中垂线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握基本作图的方法，以及中垂线的性质，是解题的关键． 11.（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义， 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，再根据直角三角形的性质得，然后根据题意可知，进而求出，则答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵与互为“完美关联角”， ∴， 即或， 解得或． 在中，或． 故答案为：或． 12.（2025·湖南·模拟）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 _____． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，点到圆上的距离，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值， ∴的最大值为3， 答案为：3． 13.（2025·湖南·模拟预测）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，请从“①，②”这两组条件中任取一组作为已知条件，填在横线上____________(填序号），再解决以下问题：     (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)①或②证明见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． （1）若选择①，先根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，结合已知得到，进而利用证明结论成立； 若选择②，先根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，结合已知得到，进而利用证明结论成立； （2）若选择①，根据全等三角形的性质可得，，再利用等边对等角求得的度数即可求解； 若选择②，利用全等三角形的性质得到，再利用等边对等角求得的度数即可求解． 【详解】（1）证明：若选择① ∵和相交于点F， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． 若选择② ∵和相交于点F， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：若选择① ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴． 若选择② ∵ ∴ 在中， ∵， ∴， ∴． 1.（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 2.（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3.（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 4.（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5.（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 6.（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 7.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 8.（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 9.（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 10.（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 11.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $