专题2.3解二元一次方程组十大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题2.3解二元一次方程组十大题型（一课一讲） （内容:解二元一次方程组及综合） 【浙教版】 题型一：带入消元法解二元一次方程组 【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 由①得．③ 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 故原方程组的解是； （2） ，得，解得． 把代入①，得， 解得， 故原方程组的解是． 【变式训练1-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解： 由②得③ 把③代入①得 ， 解得， 把代入③中，得 ， ∴方程组的解为． 【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②，得．③ 把③代入①，得． 把代入③，得， 原方程组的解为 （2） ，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 【变式训练1-4】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②代入①可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为． （2）解：， 得， 将代入①可得， 故方程组的解为． 【变式训练1-5】（24-25七年级上·山西晋中·期末）解二元一次方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由①，得③， 将③代入②，得， 解得， 将代入③，得， 原方程组的解是． 题型二：加减消元法解二元一次方程组 【经典例题2】（24-25七年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）用加减法解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理，得 ①-②，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以原方程组的解是 （2） ①+②，得，解得． ②-①，得，解得， 所以原方程组的解是 【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） ②－①，得，解得． 把代入①，得，解得． 所以方程组的解是 （2） ①＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． （3） ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． 所以方程组的解为 【变式训练2-2】（24-25七年级上·福建漳州·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解：方法一：①+②，得， 解得，， 将代入①，得， 解得，， 所以原方程组的解是； 方法二：由①，得③， 将③代入②，得， 解得，， 将代入③，得， 解得，， 所以原方程组的解是． 【变式训练2-3】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 将③代入②中，得，解得， 将代入③中，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组整理，得， 得，解得， 将代入③中，得， ∴原方程组的解为：． 【变式训练2-4】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【详解】解：， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【变式训练2-5】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：，得， ． 将代入①，得． 原方程组的解为； （2）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 原方程组的解为； （3）解：，得． 解得． 把代入①，得． 解得． 原方程组的解为； （4）解：，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 题型三：二元一次方程组中看错问题 【经典例题3】（2023·广东惠州·二模）小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得． (1)求的值； (2)求出原方程组正确的解． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得， ，解得； 在解方程组的过程中，小明看错常数“”，解得， ，解得； ；； （2）解：由（1）知， 由①②得，解得， 将代入①得， 原方程组的解为． 【变式训练3-1】（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，； （2）解：把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【变式训练3-2】（23-24七年级上·江西景德镇·期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北·期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值 . 【答案】0． 【详解】把代入方程②，得4×（-3）-b×（-1）=-11， 解得b=1， 把代入方程①，得5a+5×4=15，解得a=－1， 所以==1+（－1）=0． 【变式训练3-4】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）在解方程组时，小聪正确的解得，小虎因看错a而解得，若两人的计算过程均没错误，求a，b，c的值． 【答案】a=-3，b=1，c=-2 【详解】将代入，得， 将代入bx-cy=5中，得7b+c=5， 解方程组，解得， ∴a=-3，b=1，c=-2． 【变式训练3-5】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为， (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，，(2)2 【详解】（1）解：将；分别代入得： ， 解得：， 将代入中得：， 解得：， 则，，； （2）解：把，，代入得， 8的立方根是2， 的立方根为2． 题型四：判断解题过程是否正确 【经典例题4】（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质(2)二，合并常数项时计算错误(3) 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 【变式训练4-1】（24-25七年级下·全国·期中）下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 【答案】(1)甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错(2)见解析 【详解】（1）解：甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错． （2）甲同学：，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 【变式训练4-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图． 解法一： ①＋②，得． 解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．× （2）解：选择解法一：①＋②，得，解得． 把代入①，得，解得， 该方程组的解为 选择解法二：由②，得 ③． 把③代入①，得，解得． 把代入①，得， 该方程组的解为 【变式训练4-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）嘉琪同学解方程组的过程如下： 解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是 你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程． 【答案】错误，过程见解析 【详解】解：错误． 正解如下： ，得 ，得 解得： 把代入②，得 所以这个方程组的解是． 【变式训练4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)正确，不正确(2) （2）由②得，把①代入，得，求解即可． 【详解】（1）解：小丽：，得，正确； 小华．由②得③，把①代入③，得，故不正确； （2）解：， 由②，得， 把①代入，得， 解得， 把代入①得，， 所以方程组的解是． 【变式训练4-5】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ； (2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质(2)二，合并常数项时计算错误(3) 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， ③－②得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 题型五：二元一次方程组中同解问题 【经典例题5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 【变式训练5-1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：，则 ∴， 故答案为：． 【变式训练5-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 【变式训练5-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）解：由（1）可知方程组， 解得， ∴． 【变式训练5-4】（23-24七年级下·广东江门·期中）关于的方程组与的解相同， (1)求这个相同解． (2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由方程组，解得， ∴这个相同解是． （2）把代入与， 得， 解得， ∴，它的平方根是． 【变式训练5-5】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解集为， 方程组与方程组的解相同， ， 解得：， 题型六：已知二元一次方程组的解求参数 【经典例题6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 【答案】 【详解】解：， ，得，即． 把代入①，得． 由题意得，即， 解得． 【变式训练6-1】（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组 的解为 (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ，； （2），， ， 的立方根为． 【变式训练6-2】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 【变式训练6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【答案】 【详解】解：解方程组得 因为方程组的解满足 所以， 整理，得． 因为， 所以， 整理，得． 因为均为正整数，所以当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，的值为． 【变式训练6-4】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练6-5】（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值． 【答案】 【详解】解： 由题意得：， 解得， 将，代入， 得：， ∴， 题型七：构造二元一次方程组求解 【经典例题7】（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 【变式训练7-2】（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 【变式训练7-3】（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0(2)． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 【变式训练7-4】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，，求和的值． 【答案】(1)5 (2)， 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：根据题中的新定义得： ， ， 根据题中的新定义化简得：， 解得：． 【变式训练7-5】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2(2)(3) 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 题型八：二元一次方程组的特殊解法-选择题 【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 【变式训练8-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 【变式训练8-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 【变式训练8-3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 【变式训练8-4】（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 【变式训练8-5】（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知关于，的方程组的解为， 那么将关于，的方程组变形得， 则， 解得：， 即该方程组的解为：， 故选：A． 题型九：二元一次方程组的特殊解法---整体换元法 【经典例题9】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：设， 则原方程组化为， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设， 则原方程组化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：设， 则原方程组化为， 整理得， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴，∴，∴． 【变式训练9-1】（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 【变式训练9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得 故原方程组的解为 【变式训练9-3】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【变式训练9-4】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式训练9-5】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 题型十：二元一次方程组的特殊解法---化繁为简 【经典例题10】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1)(2)，验证见解析 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 【变式训练10-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设，， 则原方程组变为 整理，得 解得 解得 请用这种方法解方程组： 【答案】 【详解】解：设，， 则原方程组变为， 解得 ， 解得 【变式训练10-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【详解】解：∵， ， 关于x，y的方程组的解是， 由得， 把代入， 解得， ∴， 解得． 【变式训练10-3】（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 【变式训练10-4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的平方根． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， 将代入得：， ∴方程组的解为：； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【变式训练10-5】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） 把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， 得，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3解二元一次方程组十大题型（一课一讲） （内容:解二元一次方程组及综合） 【浙教版】 题型一：带入消元法解二元一次方程组 【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 【变式训练1-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）解方程组：． 【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) 【变式训练1-4】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）解方程组： (1) (2) 【变式训练1-5】（24-25七年级上·山西晋中·期末）解二元一次方程组：． 题型二：加减消元法解二元一次方程组 【经典例题2】（24-25七年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）用加减法解下列方程组： (1) (2)． 【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) (3) 【变式训练2-2】（24-25七年级上·福建漳州·期末）解方程组： 【变式训练2-3】解下列方程组： (1)； (2)． 【变式训练2-4】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： 【变式训练2-5】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 题型三：二元一次方程组中看错问题 【经典例题3】（2023·广东惠州·二模）小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得． (1)求的值； (2)求出原方程组正确的解． 【变式训练3-1】（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【变式训练3-2】（23-24七年级上·江西景德镇·期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北·期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值 . 【变式训练3-4】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）在解方程组时，小聪正确的解得，小虎因看错a而解得，若两人的计算过程均没错误，求a，b，c的值． 【变式训练3-5】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为， (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 题型四：判断解题过程是否正确 【经典例题4】（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【变式训练4-1】（24-25七年级下·全国·期中）下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 【变式训练4-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【变式训练4-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）嘉琪同学解方程组的过程如下： 解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是 你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程． 【变式训练4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【变式训练4-5】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ； (2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ． 题型五：二元一次方程组中同解问题 【经典例题5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练5-1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【变式训练5-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【变式训练5-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练5-4】（23-24七年级下·广东江门·期中）关于的方程组与的解相同， (1)求这个相同解． (2)求的平方根． 【变式训练5-5】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 题型六：已知二元一次方程组的解求参数 【经典例题6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 【变式训练6-1】（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组 的解为 (1)求，的值； (2)求的立方根． 【变式训练6-2】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【变式训练6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【变式训练6-4】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【变式训练6-5】（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值． 题型七：构造二元一次方程组求解 【经典例题7】（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值． 【变式训练7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【变式训练7-2】（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【变式训练7-3】（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【变式训练7-4】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，，求和的值． 【变式训练7-5】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 题型八：二元一次方程组的特殊解法-选择题 【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【变式训练8-3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为（　 　） A． B． C． D． 题型九：二元一次方程组的特殊解法---整体换元法 【经典例题9】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【变式训练9-1】（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【变式训练9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【变式训练9-3】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【变式训练9-4】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【变式训练9-5】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 题型十：二元一次方程组的特殊解法---化繁为简 【经典例题10】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【变式训练10-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设，， 则原方程组变为 整理，得 解得 解得 请用这种方法解方程组： 【变式训练10-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【变式训练10-3】（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【变式训练10-4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的平方根． 【变式训练10-5】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $